Kiritchenko_Summary_2018_Rus_title (1136186), страница 3
Текст из файла (страница 3)
подробности в разделе 4.2).В [7] (совместная работа с Павлом Гусевым и Владленом Тимориным), мыизучаем комбинаторику многогранников ГЦ, соответствующих разным частичным многообразиям флагов (или в комбинаторной терминологии разбиениям11 22 . . . ). Заметим, что все многогранники ГЦ для данного разбиения имеют один и тот же комбинаторный тип. Мы определяем рекуррентное соотношение на число вершин (11 22 . . . ) и уравнений в частных производных наэкспоненциальную производящую функцию для чисел (11 22 . . . ). Недавнорекуррентное соотношение обобщили на -векторы многогранников ГЦ в работе [ACK].3.3.
Реинкарнации операторов разделённых разностей (ОРР)ОРР и операторы Демазюра — важные инструменты в исчислении Шуберта и теории представлений. Они использовались в [BGG] и [D], чтобы выразитьпо индукции циклы Шуберта на полных многообразиях флагов как многочлены от первых классов Черна линейных расслоений (как в когомологиях, таки в -теории). Ещё одно приложение — это формула Демазюра для характеров Демазюра многообразий Шуберта [D]. В [4,6] мы определяем аналоги ОРР13в (эквивариантном) исчислении Шуберта для алгебраических кобордизмов.
В[9] определяется выпукло геометрическая версия операторов Демазюра и используется, чтобы строить многогранники, кодирующие характеры Демазюра.В [10] многогранники Ньютона–Окунькова многообразий флагов для одного изгеометрических нормирований явно вычислены с помощью простой выпуклогеометрической конструкции, которая также мотивирована ОРР.Заметим, что классические ОРР и операторы Демазюра можно определить единообразно, используя аддитивный (кольца Чжоу) и мультипликативный ( -теория) формальные групповые законы, соответственно. В [4] (совместная работа с Йенсом Хорнбостелем) мы определяем ОРР для универсальногогруппового закона и применяем их к изучению исчисления Шуберта в кольцеалгебраических кобордизмов (определённом в работах Левина–Мореля и Левина–Пандхарипанде) полных многообразий флагов.
Эта работа мотивированарезультатами Бресслера–Ивенса по исчислению Шуберта в комплексных кобордизмах [BE], и частично была направлена на перенос их результатов в алгеброгеометрический контекст. Мы также вывели версию формулы Пьери–Шевалледля кобордизмов.Есть серьёзные различия между кольцом Чжоу/когомологиями и -теориеймногообразий флагов с одной стороны, и алгебраическими/комплексными кобордизмами с другой стороны. Например, классы многообразий Шуберта дают естественный базис в первых теориях, но не в последних, поскольку многообразия Шуберта не всегда гладкие. Зато многообразия Ботта–Самельсонаобразуют естественное порождающий набор (но не базис) в кольце алгебраических/комплексных кобордизмов.В [6] (совместная работа с Амаленду Кришной) мы описываем кольцо эквивариантных алгебраических кобордизмов многообразий флагов и чудесныхкомпактификаций симметрических пространств минимального ранга.
В частности, пространства ( × )/diag — симметрические минимального ранга. Вслучае многообразий флагов мы использовали комплексные кобордизмы и то14пологические аргументы. Недавно чисто алгебро-геометрический подход былпредложен в [CZZ]. В случае чудесных компактификаций мы использовали подход Бриона–Джошуа, описавших эквивариантые кольца Чжоу [BJ].В [9] определены аналоги операторов Демазюра на выпуклых многогранниках. В общем случае эти операторы переводят многогранник в многогранникили выпуклую цепь ′ на единицу большей размерности, так что экспоненциальные суммы по целым точкам в и ′ связаны с помощью классическогооператора Демазюра. В частности, выпукло геометрические операторы Демазюра можно использовать для индуктивного построения многогранников ГЦв типе и кубов Гроссберга–Каршон в любом типе, начиная с единственнойточки.
В типе 2 они использовались, чтобы построить симплектические ОРРмногогранники, которые комбинаторно не эквивалентны симплектическим многогранникам ГЦ и ВЛФФ. Оказывается, эти многогранники совпадают с многогранниками Ньютона–Окунькова симплектического многообразия флагов дляестественного геометрического нормирования [8]. Недавно Наоки Фуджита высказал гипотезу, что несколько классов ОРР многогранников совпадают с полиэдральными реализациями Зелевинского–Накаджимы (для 2 это следует из[FN, Example 5.10]).В [10] многогранники Ньютона–Окунькова полных многообразий флагов втипе вычислены для геометрического нормирования, заданного флагом сдвинутых подмногообразий Шуберта, которые соответствуют финальным подсловам в разложении самого длинного элемента (1 )(2 1 )(3 2 1 )(.
. .)(−1 . . . 1 )(примеры 1.4, 1.7, 2.3 иллюстрируют это вычисление при = 3, см. такжераздел 4.2). Удивительно, что полученные многогранники совпадают с многогранниками ВЛФФ, хотя последние были изначально построены из другихсоображений. Это совпадение мотивировало дальнейшие исследования (см. подробности в [FaFL]).Список публикаций[1]V. Kiritchenko, Chern classes of reductive groups and an adjunction formula, Ann.
Inst. Fourier 5615(2006), no. 4, 1225–1256[2]—, On intersection indices of subvarieties in reductive groups, Moscow Math. J., 7 (2007), no. 3 (выпуск,посвящённый А.Г.Хованскому), 489–505—, Gelfand-Zetlin polytopes and flag varieties, IMRN (2010), no. 13, 2512–2531[4] J. Hornbostel, —, Schubert calculus for algebraic cobordism, J. reine angew. Math. (Crelles), 2011,[3]no. 656, 59–85[5]Кириченко В. А., Смирнов Е.
Ю., Тиморин В. А., Исчисление Шуберта и многогранникиГельфанда-Цетлина, Успехи математических наук 67 (2012), no. 4, 89–128[6]—, A. Krishna, Equivariant Cobordism of Flag Varieties and of Symmetric Varieties, Transform.Groups, 18 (2013), no. 2, 391–413[7]P. Gusev, —, V. Timorin, Counting vertices in the Gelfand-Zetlin polytopes, J. of Comb. Theory,Series A, 120 (2013), 960–969—, Geometric mitosis, Math. Res. Lett., 23 (2016), no. 4, 1069–1096[9] —, Divided difference operators on polytopes, Adv. Studies in Pure Math. 71 (2016), 161–184[10] —, Newton–Okounkov polytopes of flag varieties, Transform.
Groups 22 (2017), no. 2, 387–402[8]4. Основные результатыВ этом разделе собраны более подробные формулировки основных результатов докторской диссертации. Мы постарались сделать изложение как можноболее самодостаточным. Однако мы предполагаем, что читатель знаком с теорией представлений и исчислением Шуберта.4.1. Эйлерова характеристика полных пересечений в редуктивныхгруппахПусть — связная комплексная редуктивная группа размерности и ранга , и пусть : → ( ) — точное представление группы .
Назовём общимгиперплоским сечением , соответствующим , прообраз −1 () пересечения() с общей аффинной гиперплоскостью ⊂ End( ). Несложно показать,что все общие гиперплоские сечения имеют одну и ту же (топологическую)эйлерову характеристику. Ниже приводится явная формула для эйлеровой характеристики ( ). Она следует из [1, Theorem 1.1], [2, Theorem 1.3], из которых также следует аналогичная явная формула для эйлеровой характеристики16полного пересечения гиперплоских сечений.Выберем максимальный тор ⊂ , и обозначим через его решётку характеров.
Выберем камеру Вейля ⊂ ⊗ R. Обозначим через + множествовсех положительных корней группы , а через обозначим полусумму положительных корней группы . Скалярное произведение (·, ·) на ⊗ R задано спомощью такой невырожденной симметрической билинейной формы на алгебре Ли группы , которая инварианта относительно присоединённого действиягруппы (такая форма существует, поскольку редуктивна). Через ⊂ ⊗Rобозначим весовой многогранник представления , то есть, выпуклую оболочкувесов тора , которые встречаются в .Определим полиномиальную функцию (, ) на ( ⊕ )⊗R по формуле:∏︁ (, )(, ) (, ) =.(, )2+∈С геометрической точки зрения этот многочлен считает индекс самопересечения дивизоров на произведении / × / двух многообразий флагов (дивизоры соответствуют весам (1 , 2 ) ∈ ⊕ ).Теорема 4.1. [1,Theorem 1.1], [2,Theorem 1.2] Зададим дифференциальный оператор D на функциях на ( ⊕ ) ⊗ R формулой:D=∏︁(1 + )(1 + ̃︀ ),∈+где and ̃︀ — производные вдоль векторов (, 0) and (0, ), соответственно.
Обозначим через [D] однородную компоненту -той степени в D, еслирассматривать D как многочлен от переменных и ̃︀ . ТогдаZ−1( ) = (−1)(! − ( − 1)![D]1 + ( − 2)![D]2 − . . . + ![D]− ) (, ). ∩Форма объёма нормируется так, чтобы кообъём решётки в ⊗ R былравен 1.17Например, для = 3 (C) и неприводимого представления со старшимвесом 1 + 2 (через 1 и 2 обозначены фундаментальные веса) получаетсятакой ответ:( ) = −3(8 + 167 + 1126 2 + 4485 3 + 7004 4 + 4483 5 + 1122 6 +167 + 8 + 18(6 + 125 + 504 2 + 803 3 + 502 4 + 125 + 6 )++6(54 + 403 + 722 2 + 403 + 54 ) + 6(2 + 4 + 2 )−−6( + )(6 + 135 + 714 2 + 1393 3 + 712 4 + 135 + 6 ++5(4 + 93 + 192 2 + 93 + 4 ) + 3(2 + 5 + 2 ))).4.2. Выпукло-геометрические модели для исчисления ШубертаВ работах [3,5] многогранник Гельфанда–Цетлина используется, чтобы моделировать исчисление Шуберта на многообразии полных флагов в C . Приэтом пересечение циклов на многообразии флагов соответствует пересечениюграней многогранника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
