Главная » Просмотр файлов » Kiritchenko_Summary_2018_Rus_title

Kiritchenko_Summary_2018_Rus_title (1136186), страница 4

Файл №1136186 Kiritchenko_Summary_2018_Rus_title (Геометрия сферических многообразий и многогранники Ньютона-Окунькова) 4 страницаKiritchenko_Summary_2018_Rus_title (1136186) страница 42019-05-20СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

В случае произвольной редуктивной группы можнотакже моделировать исчисление Шуберта на многообразии флагов / с помо­щью многогранников. Напомним, что кольцо Чжоу * (/) (как группа посложению) является свободной абелевой группой с базисом из циклов Шуберта[ ], которые нумеруются элементами ∈ группы Вейля группы . Поэто­му для построения полезной модели важно понять, какие линейные комбинацииграней многогранника соответствуют циклам Шуберта. В случае = (C)для этой цели мы использовали комбинаторный митоз Кнутсона–Миллера, од­нако для других групп никаких подходящих алгоритмов не было. В работах[8,9] мною разработаны такие алгоритмы для произвольной (в частности,для = (C) получается митоз Кнутсона–Миллера).Зафиксируем приведённое разложение самого длинного элемента 0 ∈ на простые отражения: 0 = 1 .

. . (то есть, = dim / ). Выпукло геомет­рические операторы Демазюра , построенные в [9] элементарными методами,18сопоставляют каждому простому отражению операцию на многогранникахв R , повышающую размерность на один. В частности, по разложению 0 идоминантному весу можно индуктивно получить многогранник (возможно,виртуальный), который кодирует характер Вейля. Для этого вначале определя­ется линейный оператор : R → R , сопоставляющий целым точкам в R весагруппы (напомним, что через обозначается ранг группы ).Теорема 4.2.

[9,Theorem 3.6] Для каждого доминантного веса в решёткекорней группы , и каждой точки ∈ Z такой, что ( ) = 0 , выпуклаяцепь := 1 2 . . . ( )даёт характер Вейля ( ) неприводимого -модуля , то есть,( ) =∑︁() .∈ ∩ZНесложно проверить, что для произвольного элемента ∈ найдётсяприведённое разложение = 1 . . . ℓ , которое является подсловом в разложе­нии 0 .

В [9] по каждому простому отражению строится операция (геометри­ческий митоз) на гранях многогранника . В частности, при дополнительныхпредположениях можно индукцией по ℓ получить набор граней, кодирующийхарактер Демазюра () многообразия Шуберта , соответствующий веcу:Теорема 4.3. [8, Corollary 3.6] Пусть ⊂ R — допустимый -сбалансированныйпарамногогранник, и S ⊂ множество всех граней, которые получаютсяиз 0 ∈ последовательным применением операций ℓ ,. .

. , 1 . Предполо­жим, что для всех 1 < ≤ ℓ, набор граней . . . ℓ (0) удовлетворяетусловиям (3) и (4) [8, Theorem 3.4]. Тогда0 () = 0 ∑︁∈S ∩Z() .19Например, для = 4 (C) и разложения 0 = 2 1 2 1 получается много­гранник ⊂ R4 , который оказывается многогранником Ньютона–Окуньковамногообразия флагов = 4 / и линейного расслоения для нормирова­ния, связанного с флагом 2 1 2 1 id ⊂ 2 1 2 1 ⊂ 2 1 2 1 ⊂ 2 1 2 1 ⊂ сдвинутых многообразий Шуберта [8, Proposition 4.1].

Здесь 1 и 2 обознача­ют простые отражения, связанные с коротким и длинным простыми корнями,соответственно. Этот многогранник определяется 8-ю неравенствами, причёмможно выбрать координаты (1 , 2 , 3 , 4 ) в R4 так, что ровно 4 неравенстваоказываются однородными: 0 ≤ 1 , 0 ≤ 24 ≤ 3 ≤ 22 [9, Example 3.4], [8,Example 2.9]. Однако, комбинаторно не эквивалентен ни струнным много­гранникам, ни ВЛФФ-многограннику [10, Section 3.4].

Грани многогранника , содержащие 0, можно закодировать следующими диаграммами:+ ⇐⇒ 0 = 4+ ⇐⇒ 0 = 1 + ⇐⇒ 4 =, например {1 = 0, 3 = 22 } кодируется +32+ ⇐⇒ 3 = 22.+Геометрический митоз переводится в простое комбинаторное правило, по ко­торому циклы Шуберта на 4 / можно представить следующими наборамиграней многогранника .++Sid = {0} = + + , S1 =+++ , S2 = + + ,++∪ +S1 2 =++, S2 1 =+ , S1 2 1 =∪ +, S2 1 2 1 = =+,+S2 1 2 =+ ∪+.204.3. Многогранники Ньютона–Окунькова многообразий флаговЗафиксируем разложение 0 = (1 )(2 1 )(3 2 1 ) . . .

(−1 . . . 1 ) самого длин­ного элемента 0 ∈ . Здесь := ( + 1) обозначает -тую элементарнуютранспозицию (простое отражение в случае группы Вейля ). Обозначим че­рез :=(︀)︀2длину элемента 0 .Зафиксируем полный флаг подпространств ∙ := ( 1 ⊂ 2 ⊂ . . . ⊂ −1 ⊂ C ) (иными словами, зафиксируем борелевскую подгруппу ⊂ ),а также базис 1 ,. .

. , в C , совместимый с ∙ (или максимальный тор в ),то есть, = ⟨1 , . . . , ⟩. Ниже ℓ для ℓ = 1,. . . , обозначает подслово 0 ,которое получается вычёркиванием ℓ простых отражений в 0 , а ℓ обознача­ет соответствующий элемент в . Рассмотрим флаг сдвинутых многообразийШуберта:−1−10 id ⊂ 0 −1−1 ⊂ 0 −2−2 ⊂ . . . ⊂ 0 1−1 1 ⊂ /,(*)где многообразия Шуберта определяются по флагу ∙ , то есть, = / .Напомним, что открытая клетка Шуберта (относительно ∙ ) определяетсякак множество всех флагов ∙ , которые находятся в общем положении со стан­дартным флагом ∙ , то есть, все пересечения ∩ трансверсальны. Пусть1 , . .

. , — координаты на совместимые с (*), то есть, 0 ℓ−1 ℓ ∩ = {1 =. . . = ℓ = 0}.Например, можно отождествить открытую клетку Шуберта с аффин­ным пространством C , выбрав для каждого флага ∙ базис 1 ,. . . , в Cвида:11 = + −11 −1 + . . . + 1 1 ,12 = −1 + −22 −2 + . . . + 2 1 ,..., −1 = 2 + 1−1 1 , = ,так чтобы = ⟨1 , . . . , ⟩. Такой базис единственен, поэтому коэффициенты( )+< являются координатами на открытой клетке.

Несложно проверить,что координаты (1 , . . . , ) := (1−1 ; 1−2 , 2−2 ; . . . ; 11 , 21 , . . . , −11 ) совмести­21мы с (*). Иными словами, каждый флаг ∙ ∈ отождествляется с треуголь­ной матрицей:⎛1112...⎜⎜ 2⎜ 1 22 . . .⎜⎜ ....⎜ ..⎜⎜ −1⎜11 ...⎝101−1100⎞1⎟⎟0⎟⎟⎟0⎟ ,⎟⎟0⎟⎠0а мы упорядочиваем коэффициенты ( )+< этой матрицы, начиная с (−1)-гостолбца, двигаясь сверху вниз в каждом столбце и справо налево по столбцам.В [10, Section 2.2] приводится другой пример координат, совместимых с (*),более естественный с точки зрения геометрии многообразий Ботта–Самельсона,связанных с разложением 0 .Зафиксируем лексикографический порядок на мономах в координатах 1 ,. . .

, относительно упорядочивания 1 ≻ 2 ≻ . . . ≻ . Пусть обозначаетнормирование младшим мономом на C(0 ) = C( /), связанное с этимикоординатами и порядком. Пусть — линейное расслоение на / , соответ­ствующее доминантному весу := (1 , . . . , ) ∈ Z группы . Обозначимчерез ∆ ( /, ) ⊂ R многогранник Ньютона-Окунькова, соответствую­щий / , и .Теорема 4.4. [10, Theorem 2.1] Многогранник Ньютона–Окунькова ∆ ( /, )совпадает с ВЛФФ-многогранником ().Напомним определение (). Обозначим координаты в R , соответ­−21ствующие (1 , . .

. , ) через (1−1 ; 2−2 , 1−2 ; . . . ; −11 , 1 , . . . , 1 ). Организуем22координаты в таблицу:121131221...1−1...2−2.........−21( )−22−11Многогранник () определяется неравенствами ≥ 0 и∑︁ ≤ − (,)∈для всех путей Дика из в в таблице ( ), где 1 ≤ < ≤ .Например, вычисление многогранника ∆ ( /, ) при = 3 и =(1, 0, −1) проиллюстрировано в примерах 1.4, 1.7, 2.3.23Список литературыACK. B. H. An, Yu.

Cho, J. S. Kim, On the -vectors of Gelfand–Cetlinpolytopes, European J. of Comb., 67 (2018), 61–77B75. Д. Н. Бернштейн, Число корней системы уравнений, Функц. анализ иего прил., 9 (1975), №3, 1–4BGG. И. Н. Бернштейн, И. М. Гельфанд, С. И.

Гельфанд, Клетки Шу­берта и когомологии пространств / , Успехи математических наук, 28(1973), №3(171), 3–26.BE. P. Bressler, S. Evens, Schubert calculus in complex cobordism, Trans.Amer. Math. Soc., 331 (1992), no. 2, 799–813Br89. M. Brion, Groupe de Picard et nombres caracteristiques des varietesspheriques, Duke Math J. 58 (1989), no.2, 397–424BJ.

M. Brion, R. Joshua, Equivariant Chow ring and Chern classes of wonderfulsymmetric varieties of minimal rank, Transform. Groups 13 (2008), no. 3-4,471–493CP83. C. De Concini and C. Procesi, Complete symmetric varieties I, Lect.Notes in Math. 996, Springer, 1983CP85. C. De Concini and C. Procesi, Complete symmetric varieties IIIntersection theory, Advanced Studies in Pure Mathematics 6 (1985), Algebraicgroups and related topics, 481–513CZZ. B.

Calmès, K. Zainoulline, C. Zhong, Equivariant oriented cohomologyof flag varieties, Documenta Math. Extra Volume: Alexander S. Merkurjev’sSixtieth Birthday (2015), 113–144D. M. Demazure, Désingularisation des variétés de Schubert généralisées,Collection of articles dedicated to Henri Cartan on the occasion of his 70thbirthday, I. Ann. Sci.

École Norm. Sup. 4 7 (1974), 53–88FaFL. X. Fang, Gh. Fourier, P. Littelmann, Essential bases and toricdegenerations arising from generating sequences, Adv. in Math. 312 (2017),24107–149FN. N. Fujita and S. Naito, Newton-Okounkov convex bodies of Schubertvarieties and polyhedral realizations of crystal bases, Math. Z. 285 (2017),325–352KaKh. K. Kaveh, A.G. Khovanskii, Newton convex bodies, semigroups ofintegral points, graded algebras and intersection theory, Ann. of Math.(2) 176(2012), no.2, 925–978KaKh2. K. Kaveh, A.G. Khovanskii, Convex bodies associated to actions ofreductive groups, Moscow Math. J. 12 (2012), no. 2, 369–396KaKh3. K. Kaveh, A.G. Khovanskii, Complete intersections in sphericalvarieties, Selecta Math. 22 (2016), no.

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее