Kiritchenko_Summary_2018_Rus_title (1136186), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В случае произвольной редуктивной группы можнотакже моделировать исчисление Шуберта на многообразии флагов / с помощью многогранников. Напомним, что кольцо Чжоу * (/) (как группа посложению) является свободной абелевой группой с базисом из циклов Шуберта[ ], которые нумеруются элементами ∈ группы Вейля группы . Поэтому для построения полезной модели важно понять, какие линейные комбинацииграней многогранника соответствуют циклам Шуберта. В случае = (C)для этой цели мы использовали комбинаторный митоз Кнутсона–Миллера, однако для других групп никаких подходящих алгоритмов не было. В работах[8,9] мною разработаны такие алгоритмы для произвольной (в частности,для = (C) получается митоз Кнутсона–Миллера).Зафиксируем приведённое разложение самого длинного элемента 0 ∈ на простые отражения: 0 = 1 .
. . (то есть, = dim / ). Выпукло геометрические операторы Демазюра , построенные в [9] элементарными методами,18сопоставляют каждому простому отражению операцию на многогранникахв R , повышающую размерность на один. В частности, по разложению 0 идоминантному весу можно индуктивно получить многогранник (возможно,виртуальный), который кодирует характер Вейля. Для этого вначале определяется линейный оператор : R → R , сопоставляющий целым точкам в R весагруппы (напомним, что через обозначается ранг группы ).Теорема 4.2.
[9,Theorem 3.6] Для каждого доминантного веса в решёткекорней группы , и каждой точки ∈ Z такой, что ( ) = 0 , выпуклаяцепь := 1 2 . . . ( )даёт характер Вейля ( ) неприводимого -модуля , то есть,( ) =∑︁() .∈ ∩ZНесложно проверить, что для произвольного элемента ∈ найдётсяприведённое разложение = 1 . . . ℓ , которое является подсловом в разложении 0 .
В [9] по каждому простому отражению строится операция (геометрический митоз) на гранях многогранника . В частности, при дополнительныхпредположениях можно индукцией по ℓ получить набор граней, кодирующийхарактер Демазюра () многообразия Шуберта , соответствующий веcу:Теорема 4.3. [8, Corollary 3.6] Пусть ⊂ R — допустимый -сбалансированныйпарамногогранник, и S ⊂ множество всех граней, которые получаютсяиз 0 ∈ последовательным применением операций ℓ ,. .
. , 1 . Предположим, что для всех 1 < ≤ ℓ, набор граней . . . ℓ (0) удовлетворяетусловиям (3) и (4) [8, Theorem 3.4]. Тогда0 () = 0 ∑︁∈S ∩Z() .19Например, для = 4 (C) и разложения 0 = 2 1 2 1 получается многогранник ⊂ R4 , который оказывается многогранником Ньютона–Окуньковамногообразия флагов = 4 / и линейного расслоения для нормирования, связанного с флагом 2 1 2 1 id ⊂ 2 1 2 1 ⊂ 2 1 2 1 ⊂ 2 1 2 1 ⊂ сдвинутых многообразий Шуберта [8, Proposition 4.1].
Здесь 1 и 2 обозначают простые отражения, связанные с коротким и длинным простыми корнями,соответственно. Этот многогранник определяется 8-ю неравенствами, причёмможно выбрать координаты (1 , 2 , 3 , 4 ) в R4 так, что ровно 4 неравенстваоказываются однородными: 0 ≤ 1 , 0 ≤ 24 ≤ 3 ≤ 22 [9, Example 3.4], [8,Example 2.9]. Однако, комбинаторно не эквивалентен ни струнным многогранникам, ни ВЛФФ-многограннику [10, Section 3.4].
Грани многогранника , содержащие 0, можно закодировать следующими диаграммами:+ ⇐⇒ 0 = 4+ ⇐⇒ 0 = 1 + ⇐⇒ 4 =, например {1 = 0, 3 = 22 } кодируется +32+ ⇐⇒ 3 = 22.+Геометрический митоз переводится в простое комбинаторное правило, по которому циклы Шуберта на 4 / можно представить следующими наборамиграней многогранника .++Sid = {0} = + + , S1 =+++ , S2 = + + ,++∪ +S1 2 =++, S2 1 =+ , S1 2 1 =∪ +, S2 1 2 1 = =+,+S2 1 2 =+ ∪+.204.3. Многогранники Ньютона–Окунькова многообразий флаговЗафиксируем разложение 0 = (1 )(2 1 )(3 2 1 ) . . .
(−1 . . . 1 ) самого длинного элемента 0 ∈ . Здесь := ( + 1) обозначает -тую элементарнуютранспозицию (простое отражение в случае группы Вейля ). Обозначим через :=(︀)︀2длину элемента 0 .Зафиксируем полный флаг подпространств ∙ := ( 1 ⊂ 2 ⊂ . . . ⊂ −1 ⊂ C ) (иными словами, зафиксируем борелевскую подгруппу ⊂ ),а также базис 1 ,. .
. , в C , совместимый с ∙ (или максимальный тор в ),то есть, = ⟨1 , . . . , ⟩. Ниже ℓ для ℓ = 1,. . . , обозначает подслово 0 ,которое получается вычёркиванием ℓ простых отражений в 0 , а ℓ обозначает соответствующий элемент в . Рассмотрим флаг сдвинутых многообразийШуберта:−1−10 id ⊂ 0 −1−1 ⊂ 0 −2−2 ⊂ . . . ⊂ 0 1−1 1 ⊂ /,(*)где многообразия Шуберта определяются по флагу ∙ , то есть, = / .Напомним, что открытая клетка Шуберта (относительно ∙ ) определяетсякак множество всех флагов ∙ , которые находятся в общем положении со стандартным флагом ∙ , то есть, все пересечения ∩ трансверсальны. Пусть1 , . .
. , — координаты на совместимые с (*), то есть, 0 ℓ−1 ℓ ∩ = {1 =. . . = ℓ = 0}.Например, можно отождествить открытую клетку Шуберта с аффинным пространством C , выбрав для каждого флага ∙ базис 1 ,. . . , в Cвида:11 = + −11 −1 + . . . + 1 1 ,12 = −1 + −22 −2 + . . . + 2 1 ,..., −1 = 2 + 1−1 1 , = ,так чтобы = ⟨1 , . . . , ⟩. Такой базис единственен, поэтому коэффициенты( )+< являются координатами на открытой клетке.
Несложно проверить,что координаты (1 , . . . , ) := (1−1 ; 1−2 , 2−2 ; . . . ; 11 , 21 , . . . , −11 ) совмести21мы с (*). Иными словами, каждый флаг ∙ ∈ отождествляется с треугольной матрицей:⎛1112...⎜⎜ 2⎜ 1 22 . . .⎜⎜ ....⎜ ..⎜⎜ −1⎜11 ...⎝101−1100⎞1⎟⎟0⎟⎟⎟0⎟ ,⎟⎟0⎟⎠0а мы упорядочиваем коэффициенты ( )+< этой матрицы, начиная с (−1)-гостолбца, двигаясь сверху вниз в каждом столбце и справо налево по столбцам.В [10, Section 2.2] приводится другой пример координат, совместимых с (*),более естественный с точки зрения геометрии многообразий Ботта–Самельсона,связанных с разложением 0 .Зафиксируем лексикографический порядок на мономах в координатах 1 ,. . .
, относительно упорядочивания 1 ≻ 2 ≻ . . . ≻ . Пусть обозначаетнормирование младшим мономом на C(0 ) = C( /), связанное с этимикоординатами и порядком. Пусть — линейное расслоение на / , соответствующее доминантному весу := (1 , . . . , ) ∈ Z группы . Обозначимчерез ∆ ( /, ) ⊂ R многогранник Ньютона-Окунькова, соответствующий / , и .Теорема 4.4. [10, Theorem 2.1] Многогранник Ньютона–Окунькова ∆ ( /, )совпадает с ВЛФФ-многогранником ().Напомним определение (). Обозначим координаты в R , соответ−21ствующие (1 , . .
. , ) через (1−1 ; 2−2 , 1−2 ; . . . ; −11 , 1 , . . . , 1 ). Организуем22координаты в таблицу:121131221...1−1...2−2.........−21( )−22−11Многогранник () определяется неравенствами ≥ 0 и∑︁ ≤ − (,)∈для всех путей Дика из в в таблице ( ), где 1 ≤ < ≤ .Например, вычисление многогранника ∆ ( /, ) при = 3 и =(1, 0, −1) проиллюстрировано в примерах 1.4, 1.7, 2.3.23Список литературыACK. B. H. An, Yu.
Cho, J. S. Kim, On the -vectors of Gelfand–Cetlinpolytopes, European J. of Comb., 67 (2018), 61–77B75. Д. Н. Бернштейн, Число корней системы уравнений, Функц. анализ иего прил., 9 (1975), №3, 1–4BGG. И. Н. Бернштейн, И. М. Гельфанд, С. И.
Гельфанд, Клетки Шуберта и когомологии пространств / , Успехи математических наук, 28(1973), №3(171), 3–26.BE. P. Bressler, S. Evens, Schubert calculus in complex cobordism, Trans.Amer. Math. Soc., 331 (1992), no. 2, 799–813Br89. M. Brion, Groupe de Picard et nombres caracteristiques des varietesspheriques, Duke Math J. 58 (1989), no.2, 397–424BJ.
M. Brion, R. Joshua, Equivariant Chow ring and Chern classes of wonderfulsymmetric varieties of minimal rank, Transform. Groups 13 (2008), no. 3-4,471–493CP83. C. De Concini and C. Procesi, Complete symmetric varieties I, Lect.Notes in Math. 996, Springer, 1983CP85. C. De Concini and C. Procesi, Complete symmetric varieties IIIntersection theory, Advanced Studies in Pure Mathematics 6 (1985), Algebraicgroups and related topics, 481–513CZZ. B.
Calmès, K. Zainoulline, C. Zhong, Equivariant oriented cohomologyof flag varieties, Documenta Math. Extra Volume: Alexander S. Merkurjev’sSixtieth Birthday (2015), 113–144D. M. Demazure, Désingularisation des variétés de Schubert généralisées,Collection of articles dedicated to Henri Cartan on the occasion of his 70thbirthday, I. Ann. Sci.
École Norm. Sup. 4 7 (1974), 53–88FaFL. X. Fang, Gh. Fourier, P. Littelmann, Essential bases and toricdegenerations arising from generating sequences, Adv. in Math. 312 (2017),24107–149FN. N. Fujita and S. Naito, Newton-Okounkov convex bodies of Schubertvarieties and polyhedral realizations of crystal bases, Math. Z. 285 (2017),325–352KaKh. K. Kaveh, A.G. Khovanskii, Newton convex bodies, semigroups ofintegral points, graded algebras and intersection theory, Ann. of Math.(2) 176(2012), no.2, 925–978KaKh2. K. Kaveh, A.G. Khovanskii, Convex bodies associated to actions ofreductive groups, Moscow Math. J. 12 (2012), no. 2, 369–396KaKh3. K. Kaveh, A.G. Khovanskii, Complete intersections in sphericalvarieties, Selecta Math. 22 (2016), no.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
