Резюме диссертации (1136172), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Нашей же целью является рассмотрениеи изучение некоторых новых аналитических решений уравнений Навье-Стокса вслучае осевой симметрии.В дальнейшем будем рассматривать случай, в котором сила f являетсяпотенциальной. Тогда для ее потенциала  имеем равенство(3)f  grad  .В данном случае уравнения, (1) и (3) можно представить в видеvvvv v1  v2 v3 grad q  v, q   p /    .txyz(4)Нужно отметить, что дифференциальные уравнения (2) и (4) описывают векторфункцию v и, вместо давления p, скалярную функцию q. Однако, когда потенциал 1Ландау Л. Д., Лифшиц Е.

М. Гидродинамика. – М.: Наука, 1986.7известен и функция q найдена, давление p может быть определено из равенстваp    (q  ) .Рассмотрим осесимметричные решения уравнений Навье-Стокса. Тогда будемискать компоненты v1, v2 , v3 вектор-функции v и функцию q в следующем виде:v1  y  x, v2  x  y, v3   ,    (t , r , z ),   (t , r , z ),    (t , r , z ), q  q(t , r , z ), r  x  y .2(5)2Здесь функция  представляет собой угловую скорость точек вращающейсяжидкости, а функции  и  описывают изменение ее формы.Подставляя выражения (5) в уравнениe (2), находимrr  2   z  0 ,(6)где r   / r,  z   / z .Подставим теперь формулы (5) в уравнения Навье-Стокса (4).

Тогда придем кследующим трем нелинейным дифференциальным уравнениям в частныхпроизводных:t   (r r  2 )   z  ( rr  3 r / r   zz )  0, t   / t ,(7)t   (rr   )   z   2  (rr  3r / r   zz )  qr / r,(8) t  r r   z  ( rr   r / r   zz )  qz .(9)Рассмотрим полученные уравнения (7)-(9).

Вначале исключим в них функцию q. Сэтой целью, дифференцируя уравнения (8) и (9) относительно соответственнопеременных z и r и используя очевидное тождество qr / z  qz / r , а такжеуравнение (6), придем к системе уравнений z  r r  2 , 2   t  r r   z  ( rr  3 r / r   zz ),(10)2 z  t  rr   z  ( rr  3 r / r   zz ),    z   r / r.1.2. Описание осесимметричных течений вязкой жидкости в виде степенныхрядов по радиальной координатеБудем искать решения уравнений (10) в следующем виде: an (t , z)r 2n ,  n 0 bn (t , z)r 2n ,  n 0 cn (t , z)r 2n ,(11)n 0где an , bn , cn - некоторые функции переменных t и z, в области сходимости данныхстепенных рядов.Тогда приходим к следующей системе рекуррентных соотношений:8an 1 d n 1 n (n  k  1)a c k1k n  k  (k  1)ak cn an  an  4 (n  1)(n  2) n  k 1k 0,n (n  k  1)(2a a k1k n  k  d k cn  k )  kdk cn d n  d n  4 (n  1)(n  2) n  k 1k 0bn  cncn 1  d n ,, cn1  2(n  1)2(n  1) 2(n  1) (12) , (13)(14)в которой три функции a0 (t , z ) , c0 (t , z ) и d0 (t , z ) являются произвольными бесконечнодифференцируемыми функциями.1.3.

Частные решения уравнений Навье-Стокса в виде степенных рядов,сходящихся при произвольных значениях переменныхРассмотрим три случая, в которых соотношения (12)-(14) дают решения уравненийНавье-Стокса в виде рядов (11) при любых значениях переменных t , z и r .1.3.1. Класс решений в замкнутой формеОбратимся к случаю a0  a(t ), c0  g (t )  zh(t ), d0  0 .Тогда из (12)-(14) получаемan 1 an  an (t ), cn 1(t )  0, dn  0, n  0, 1, 2, ... ,(15)an  (n  1)han, n  0, 1, 2, .... , h  h(t ), an  an (t ).4 (n  1)(n  2)(16)Рассмотрим теперь случай aN 1  0 , где N – некоторое неотрицательное целоечисло.

Тогда из (16) получаемan  0, n  N  1(17)и последовательно находим aN , aN 1, ... , a0 из рекуррентного соотношения t a ( )an  4 (n  1)(n  2) An (t )  n 1 d  Cn  , An ( )0tAn (t )  exp  (n  1)  h( )d  , (18)0где n  N , N  1, ... , 0 , aN 1  0 и Cn - произвольные константы.В результате получаем следующие решения уравнений (10):N an (t )r 2n ,n 0   12 h(t ),   g (t )  zh(t ) ,(19)где an (t ) определяются по формулам (17)-(18), N – произвольное неотрицательноецелое число, g (t ) и h(t ) - произвольные дифференцируемые функции и выражения для и  содержат N+1 произвольных констант С0 , C1, ..., CN .91.3.2.

Класс решений, независящий от zРассмотрим случай a0  a(t ), c0  c(t ), d0  d (t ) . Тогда из (12)-(14) находимan 1 an  an (t ), cn  cn (t ), dn  dn (t ), n  0 ,(20)andndn., d n 1 , cn 1  4 (n  1)(n  2)4 (n  1)(n  2)2(n  1)(21)Формулы (21) даютan a ( n) (t )d ( n) (t )1d ( n) (t ),d,c, n  0 , (22)nn 12 (4 )n (n  1)!2(4 ) n n!(n  1)!(4 )n n!(n  1)!где a(0) (t )  a(t ) .В результате получаемa( n) (t ) r 2n1  d ( n) (t ) r 2( n 1),0,c(t).n2 n 0 (4 )n (n  1)!2n 1 (4 ) n!(n  1)!  a(t )  (23)Рассмотрим теперь частный случайa(t )  A0   Am exp   m t , d (t )  D0   Dm exp   m t  ,m1гдеAm , Dm , m ,m(24)m1m  0, m  0, t  0 ,константы,-ибесконечныепоследовательности Am и Dm - абсолютно суммируемы.Тогда из формул (23) находим, используя функции Бесселя 1-го рода J 0 ( x) и J1 ( x) :  A0 2 rm 1Amm  c(t )  D0 r  2 122J 1 ( m / )r exp   m t ,Dmm 1  mJ 0  0, (25)( m / ) r  1 exp   m t  .Рассмотрим теперь жидкость, занимающую цилиндрическую область 0  r  r0 , гдеr0 - некоторый конечный радиус, и пусть задаются для нее следующие граничныеусловия: (t , r0 )  const,  (t , r0 )  0 .(26)Следует отметить, что частный случай   0 рассмотрен в книге2 .При  (t , r )  0 из (25) и (26) получаем(m / ) r0  km , m  1, 2, 3, ...(27)где k1, k2 , k3 , ...

- бесконечная последовательность положительных нулей функцииБесселя J1( x) : 0  k1  k2  k3  ..., J1(km )  0, m  1, 2, 3, ... .Следовательно, функция  (t , r ) приобретает вид2Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. – М.: Наука, 1978., с. 403.10  A0  k m J1 (k m r / r0 ) exp k m2 t / r02 .2r0rm1A(28)mКак хорошо известно, функции Бесселя J  (k m(  ) s) , где   1 и J  (k m(  ) )  0 ,0  k1(  )  k 2(  )  ...  k m(  )  ... , представляют собой ортогональную систему в интервале0  s  1 и любая непрерывная функция f (s) , определенная в данном интервале,может быть представлена в виде рядаf ( s)   f m(  ) J  (k m(  ) s), 0  s  1,(29)m1гдеf m(  )12 2sf ( s) J  (k m(  ) s)ds, m  1, 2, 3, ...

. .( ) J  1 (k m ) 0(30)Поэтому коэффициенты Am в (28) могут быть выбраны так, чтобы удовлетворитьначальному условию при t  0 :  (0, r )   0 (r ) , где  0 (r ) - произвольная непрерывнаяфункция.Аналогично, чтобы удовлетворить начальному условию общего вида для функции при t  0 , нужно выбрать числа  m в виде(m / ) r0  lm , m  1, 2, 3, ... ,(31)где lm - различные положительные нули функции Бесселя J 0 ( x) : 0  l1  l2  l3  ... ,J 0 (lm )  0 .Тогда получаемc(t ) 12D0 r022r02 l 2m exp lm2 t / r02 ,D(32)m1 m  12 D0 (r02  r 2 )  2r02 Dm2m1 l mJ 0 l m r / r0  exp  l m2 t / r02 .Таким образом, получаем класс решенийудовлетворяющих граничным условиям (26).уравнений(33)Навье-Стокса,1.3.3. Класс решений, зависящих от одной функции аргументов t и zРассмотрим случай a0  0, c0  c(t , z ), d0  D  const ,где c(t , z ) - некоторая дифференцируемая функция.

Тогда из формул (12)-(14) находимan  0, d n 1  0, cn  2  и, следовательно,cn 11c , n  0, c1    D  2224(n  2)(34)11cn  (1) ncz( 2n)4n (n!) 2, n  2,(35)где cz( k )   k c / z k .В результате получаем следующее решение уравнений (10):( 2 n 1) 2n( 2n) 2n1 rDr 2 n 1 czn cz r  0,    (1),  c  (1) n. (36)2 n 024n (n  1)!n!4 (n!) 2n 1Рассмотрим теперь частный случайc(t , z )  Cm (t ) sinm (t ) z   m (t ) ,(37)m 1где Сm (t ), m (t ) и  m (t ) - некоторые дифференцируемые функции от t  0 ибесконечная последовательность Cm (t ) - абсолютно суммируема для любых t  0 .Тогда из (36) получаем, используя модифицированные функции Бесселя 1-го родаI 0 ( x) и I 1 ( x ) : 1  Cm (t ) cosm (t ) z   m (t ) I1m (t )r ,r m 1   Dr 2   Cm (t ) sin m (t ) z   m (t )  I 0 m (t )r .12(38)(39)m 11.4.

Частное решение уравнений Навье-Стокса, экспоненциально затухающее прибольших значениях радиальной координатыОбратимся к уравнениям Навье-Стокса (6)-(9) в рассматриваемомосесимметричном случае. Будем искать частное решение этих уравнений в виде  A(t , r ) / r 2 ,   B(t , r ) / r 2 ,   C (t , r ) z / r 2 , q  q(t , r ) .(40)Тогда уравнения (6)-(9) дадутC  rBr ,At  (  B) Ae / r Arr  0 ,(41)Bt  B( Br  B / r ) / r  A2 / r 2  ( Brr  Br / r )  rqr ,(42)Brr  (  B)( Brr  Br / r ) / r  Br 2 / r  Btr  0 .(43)Перейдем теперь к следующим безразмерным аргументам и функциям:  (V* / l* )t ,   (r / l* ) 2 , P( , )  A(t , r ) / , Q( , )  B(t , r ) / ,S ( , )  (q r / r )(l* / V* ) 2 ,(44)где V* - среднее абсолютное значение скорости жидкости и l* - ее характерныйразмер.

В результате из уравнений (41)-(43) получим4P  2QP  Re P  0, Re  V*l* / , P  P( , ) ,(45)12Re Q  4Q  Q(2Q  Q /  )  P 2 /   Re 2 S ( , ) , Q  Q( , ) ,4(Q  Q )  2(QQ  Q 2 )  Re Q  0 ,(46)(47)где Re – число Рейнольдса.Рассмотрим уравнение (47) и будем искать его частное решение в видеQ  Ke f ( ) ,   Re  , K  const .(48)Тогда из (47) найдем(4 f 2  f )(1  f )  0 .Отсюда приходим к уравнениюf  4 f 2 ,(49)f  f ( ) ,(50)1,4(51)которое дает следующее решение:f сингулярное при начальном времени t  0 .Из (48) и (51) находим решение уравнения (47)Q  K exp   Re4.(52)Что касается равнения (46), то оно позволяет найти функцию S ( , ) ,определяющую распределение давления в жидкости.Обратимся к уравнению (45) и будем искать его решение в видеP  P( ),   Re.4(53)Подставляя (52) и (53) в уравнение (45), получаемP( )  (  12 Ke  ) P( )  0 .(54)Отсюда приходим к решениюP( )  M exp    12 KEi(  ) , Ei( x)  x sesds ,(55)где M  const и Ei( x) - экспоненциальный интеграл.Из (55) находим функцию P( ) видаP  M  exp    12 KEi ( ) d ,(56)стремящуюся к нулю при r   .Обратимся к вычислению компонент скорости жидкости.

Как следует из (44), (52)и (53),A  P( ), B  Ke  ,где, учитывая выражение для числа Рейнольдса в (45),(57)13  Rer2.4 4t(58)Из (41), (57) и (58) находим также выражение для функции С:r 2 C  rBr  K e .2tПрименяя теперь формулы (57) и (59), из (5) и (40) находимv1 2 P( ) y  Ke  x,v2 2P( ) x  Ke  y ,rrгде функция P( ) определяется формулой (56).(59)v3  Ke z.2t(60)Выражения (60) экспоненциально затухают при больших значениях радиальнойкоординаты.Полученное решение удовлетворяет следующим начальным и граничнымусловиям:1) vi  0 при t  0 и r  0 ;(61)2) rvi  0, r  , i  1, 2, 3 .(62)Оно описывает первоначально покоящуюся жидкость, на которую при t  0действует источник давления, расположенный на оси r  0 .1.5.

Характеристики

Список файлов диссертации