Резюме диссертации (1136172), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Частное решение уравнений Навье-Стокса для жидкости с кавитациейБудем теперь искать решение уравнений Навье-Стокса (6)-(9) в видеA2,  Fz2,  Fr,r(63)rrгде A  A(t , r, z ) и F  F (t , r , z ) - некоторые дифференцируемые функции.Тогда уравнение (6) будет тождественно выполняться.Будем далее считать, что потенциал   0 .

Тогда подстановка выражений (63) для ,  ,  в уравнения (7)-(9) даетAt  ( Ar Fz  Az Fr ) / r  ( Arr  Ar / r  Azz )  0 ,(64)Ftz  ( Fr Fzz  Fz Frz ) / r  ( A 2  Fz 2 ) / r 2   ( Frrz  Frz / r  Fzzz ) 1Ftr  ( Fr Frz  Fz Frr ) / r  Fr Fz / r 2   ( Frrr  Frr / r  Fr / r 2  Frzz )  Выберем переменную   r 2 вместо r.

Тогда функцииrpr ,1(65)rp z . (66)p, A и F могут бытьпредставлены какp  p(t , , z ), A  A(t , , z ), F  F (t , , z),   r 2 .(67)Подставляя выражения (67) в уравнения (64)-(66), приходим к следующимуравнениям:At  2( A Fz  Az F )  (4A  Azz )  0 ,(68)14Ftz  2( F Fzz  Fz Fz )  ( A2  Fz 2 ) /   (4Fz  Fzzz )  (2 /  )p , (69)Ft  2( F Fz  Fz F )  (4F  4F  Fzz )  (1 /  ) p z / 2 .Будем искать частные решения уравнений (68)-(70) в видеp  p(t , ), A(t , , z)  F (t , , z),   const  0 .(70)(71)Тогда подставляя выражение для A в (71) в уравнение (68), получаемFt  (4F  Fzz )  0 .(72)После дифференцирования этого уравнения по z и  находимFtz  (4Fz  Fzzz )  0, Ft  (4F  4F  Fzz )  0(73)Подстановка равенств (71) и (73) в уравнения (69) и (70) приводит к уравнениям2( F Fzz  Fz Fz )  (2 F 2  Fz 2 ) /   (2 /  )p ,(74)F Fz  Fz F  0 .(75)Таким образом, приходим к трем уравнениям (72), (74) и (75).Будем искать их частные решения в видеF  U (t , ) sin(z   ),   const ,(76)где U (t , ) - некоторая дифференцируемая функция.Подставляя выражения (76) в уравнения (72), (74) и (75), получаемU t  (4U  2U )  0 ,(77)(2 /  )p  2U (2U  U /  ) ,(78)U 2  UU  0 .(79)Рассмотрим уравнение (78).

Из него находим22  (U ) U 2 2 2p   2 U /  .2  2(80)Принимая во внимание (71) и соотношение   r 2 в (67), из уравнения (80)приходим к следующему выражению для давления p:p  p* (t ) 2U 22r 2,(81)где p* (t ) - некоторая непрерывная и положительная функция.Рассмотрим теперь уравнение (79).

Оно может быть переписано какU / U  U / U ,U  U (t , ) .(82)Интегрируя это уравнение по переменной  , находимU  h(t ) exp  f (t )  ,(83)где f (t ) и h(t ) - произвольные функции.Подставим выражение (83) для функции U (t , ) в уравнение (77). Тогда получим15h  hf h(4f 2  2 )  0 .(84)Из этого уравнения находимh  2h  0,f  4f 2 .(85)Уравнения (85) даютh  h0 exp( 2t ),f 1, h0  const ,4t(86)где t  0 отвечает сингулярности функции f (t ) .В результате получаемr 2 ,U  h0 exp   2t 4t (87) 2r 2 (88)F  h0 exp   t sin(z   ), A  F .4t Используя формулы (5), (63) и (88), приходим к следующим формулам длякомпонент vi вектора скорости:v1  v2 h0r2h0r2r 2 ,[sin(z   ) y  cos(z   ) x] exp   2t 4t(89)r 2 ,[sin(z   ) x  cos(z   ) y ] exp   2t 4t(90)h0r 2 .sin(z   ) exp   2t 2t4t(91)v3  Формулы (81) и (87) даютp  p* (t ) 2 h022r 2r 2 ,exp   22t 2t(92)где p* (t ) может быть произвольной положительной функцией.Полученное решение обладает следующими свойствами при t  0 :1) Функции vi экспоненциально стремятся к нулю при r   и при t   ,когда   0 , и имеют синусоидальную зависимость от координаты z.2) При t  0  и r  0 функции vi стремятся к нулю.3) Как следует из (92), функция p   при r  0 .

Это означает, чторадиальная координата r должна быть положительной, чтобы давления p врассматриваемой жидкости были положительными. Более того, координата r для ееточекдолжнаудовлетворятьнеравенствуr  r0 (t )  0 .Здесьвеличиныr  r0 (t ) отвечают достаточно малой положительной величине давления p в жидкости,16при котором начинает возникать явление кавитации. В этом случае нарушаетсянепрерывность в течении жидкости и возникает полость, заполненная ее паром.Следовательно, полученное решение (89)-(92) применимо к области, занимаемойжидкостью и удовлетворяющей неравенству r  r0 (t )  0 . Что касается областиr  r0 (t ) , то она соответствует полости, заполненной паром данной жидкости.Из (92) находим, что функция r0 (t ) должна удовлетворять равенствуr02 (t ) 2p* (t )  2 exp  2 t  pcav ,2t 2r0 (t )2 h02(93)где pcav - малое положительное давление, при котором в жидкости начинаетпроявляться кавитация.

Величина pcav равна давлению насыщенного пара жидкости.Рассмотрим t  0 и допустим, что p* (t )  pcav . Тогда уравнение (93) имеетрешение r0 (t )  0 , так как функция p в (92) становится большей чем pcav придостаточно больших r и меньшей чем pcav при достаточно малых r. Более того,положительнаяфункцияr0 (t ) ,удовлетворяющаяуравнению(93),являетсяединственной, так как выражение (92) – возрастающая функция от r при любом t  0 .Функция r0 (t ) , как показывает анализ, имеет следующие асимптотики:r0 (t )  O t ln(1 / t ) , t  0 (94)и, значит, r0 (0)  0 иr0 (t ) 2( p* ()  pcav )h0 exp( 2t ), t   .(95)2. Новые классы решений классических уравнений Янга–Миллса2.1.

Стационарное сферически симметричное решение уравнений ЯнгаМиллсаОбратимся к уравнениям Янга–Миллса с SU(2) симметрией, играющих важнуюроль в квантовой теории физических полей. Они могут быть представлены в виде33  F k ,  g klm F l , Am  (4 / c) J k , ,(96)F k ,    Ak ,   Ak ,  g klm Al , Am, ,(97)Райдер Л. Квантовая теория поля. – М.: Мир, 1987.17где ,  0,1, 2,3 , k , l , m  1, 2,3 , Ak , , F k ,-соответственнопотенциалыинапряженности поля Янга–Миллса,  klm - антисимметрический тензор, 123  1 , g константа электрослабых взаимодействий, J k , - три 4-вектора плотностей токов.Рассмотрим уравнения (96)-(97) в случае многочастичных источников, для которыхможет быть применено квазиклассическое приближение и для которых источникиполя имеют видJ 1,  J  , J 2,  J 3,  0,(98)где J  - классический 4-вектор плотности тока.Тогда уравнения Янга-Миллса при потенциалах A2,  A3,  0 будут переходить вуравнения Максвелла относительно потенциалов A1, .

Поэтому они могутрассматриваться как нелинейное обобщение уравнений Максвелла.Рассмотрим нетривиальные решения уравнений Янга–Миллса (96)-(97) систочниками (98) в стационарном сферически–симметричном случае:J 1,0  c (r ), J 1,l  0, l  1, 2,3,J 2,  J 3,  0, r  (( x1 )2  ( x 2 )2  ( x3 )2 )1/ 2 ,(99)где  (r ) - плотность заряда источника, x1, x 2 , x3 - декартовы координаты с началом вцентре источника, r – расстояние от точки источника до его центра.В этом случае решения данных уравнений можно искать в видеAk ,0  0, A1,l  xl [u (r ) x0  u0 (r )], k , l  1, 2,3,A2,l  xl [v(r ) x0  v0 (r )], A3,l  xl [w(r ) x 0  w0 (r )], x 0  ct ,(100)где u, u0 , v, v0 , w, w0 - некоторые функции от r и t - время.Тогда из формулы (97) для напряженностей поля найдемF 1,0l  xl u (r ), F 2,0l  xl v(r ), F 3,0l  xl w(r ),F k ,ml  0, k , m, l  1, 2,3.(101)Формулы (101) означают, что напряженности данного поля Янга-Миллса являетсястационарными, однако им отвечают нестационарные потенциалы вида (100).Подставляя выражения (100) и (101) в уравнения Янга–Миллса (96), получаемследующую систему уравнений:ru  3u  gr 2 (wv0  vw0 )  4 ,(102)rv  3v  gr 2 (uw0  wu0 )  0, rw  3w  gr 2 (vu0  uv0 )  0.(103)Выражая w0 и v0 из уравнений (103) и подставляя в (102), приходим к уравнениюr (u 2  v2  w2 )  6(u 2  v2  w2 )  8 u,(104)являющемуся единственным дифференциальным соотношением, которому должныудовлетворять три функции u(r ), v(r ) и w(r ).18Функции, удовлетворяющие этому уравнению, можно представить в следующейформе:u   R (q ) cos  (q ) / r 3 ,v   R(q)sin  (q) cos  (q) / r 3 , w   R(q)sin  (q)sin (q) / r 3 ,qr00R(q)   cos  (q)dq, q  4  r 2 (r )dr ,(105)(106)где q  q(r ) представляет собой заряд сферической области, ограниченной радиусомr , и  (q) и (q) являются произвольными дифференцируемыми функциями.Для выделения однозначного решения изучаемых уравнений рассмотрим наряду скомпонентами плотности 4-тока источника J k , также следующие компоненты:I k ,  J k ,  ( gc / 4 ) klm F l , Am ,(107)которые, как следует из (96), удовлетворяют дифференциальному уравнениюсохранения  I k ,  0 и потому могут быть отождествлены с компонентами плотностиполного 4-тока.

Используя их, можно добавитьинвариантное условие к уравнениям Янга–Миллса:следующееI k , I k ,  J k , J k , ,релятивистски(108)выражающее сохранение собственной энергии в источнике.Применение условия (108), а также условия равноправия осей с k=2 и k=3 вкалибровочном пространстве, позволяет найти конкретные выражения для функций (q) и (q) , которые приобретают вид (q)  q / K0 , (q)   / 4, K0  const.(109)Тогда для ненулевых компонентов напряженности поля F 1,l 0 находимF 1,l 0  K sin(q / K ) x l / r 3 , K  K 0 / 2, l  1, 2, 3,(110)где q  q(r ) определяется по формуле, указанной в (106).2.2. Решение уравнений Янга-Миллса для нестационарных сферическисимметрических источниковВ диссертации проведено исследование уравнений Янга–Миллса (115)-(116) систочниками вида(4 / c) J 1,0  j 0 (t , r ), (4 / c) J 1,l  x l j (t , r ), l  1,2,3,J 2,  J 3,  0, t  x 0 / c, r 2  ( x1 ) 2  ( x 2 ) 2  ( x 3 ) 2 ,где t - время и r - расстояние от центра источника.Потенциалы поля ищутся в виде(111)19A1,0   0 (t , r ), A 2,0   0 (t , r ), A3,0   0 (t , r ),A1,l  x l  (t , r ), A 2,l  x l  (t , r ), A3,l  x l  (t , r ).(112)Тогда из (97) получаем следующие выражения для напряженностей поля:F k ,ml  0, k , m, l  1,2,3,F 1,0l  x l u (t , r ), F 2,0l  x l v(t , r ), F 3,0l  x l w(t , r ),(113)гдеu  (1 / c) / t  (1 / r ) 0 / r  g ( 0    0 ),v  (1 / c) / t  (1 / r ) 0 / r  g ( 0   0 ),(114)w  (1 / c) / t  (1 / r ) 0 / r  g (  0   0  ).Уравнение Янга–Миллса (96) приводит к системе уравненийru / r  3u  gr 2 ( w  v )   j 0 ,rv / r  3v  gr 2 (u  w )  0,(115)rw / r  3w  gr (v  u )  0,2(1 / c)u / t  g (v 0  w 0 )  j ,(1 / c)v / t  g ( w 0  u 0 )  0,(116)(1 / c)w / t  g (u 0  v 0 )  0.Как известно, следствием уравнений Янга-Миллса являются соотношенияD J k ,  0, где D - ковариантная производная Янга–Миллса.

Характеристики

Список файлов диссертации