Богомолов В.Г., Матвеев М.В., Филиновский А.В. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (1993) (1135793)
Текст из файла
Иосиоасимй гооуиарстаеннмй технический университет . Н.В.Ваум В.Г.Вогомолоа, М.В.Матаееа, А.В.Филнновсиий АИййЕРЕИИИАЕВИОЕ ИСЧИСЕЕНИВ ИУВКИИИ ИКОФЯЬЕИК ПЕРЕМйИИИК Метаиичеокае уиааанаа и тиковому расчету ао курсу 'Матаматачеоиий анализ' Паи раиакцивй А.В.Канаева Иааательотио МГту ИЭИ ИК 22. 161.1 В74 Рсценвеит В.й.йермалее В74 Вегомолов В,Г., Матйеев М.В., Фалвновсавй Ф.В. Диййеренцисльиов исчисление Фрнацай несвольвап аеремснинз: Мотоличесвае уаееспив а тваовщ рссчету ио аурсу Мствмстачесаай еаслас' / Вол р». Копвевс А.В. - М.: Ива-ва МГГУ, - 60 с1ВВй Ф'-7ОВФ4ЭФ7-Ф В иетолачеоввп увеввиивп привезена арсенис теоретнчесане свваениа, ревсбрепнае првиейм, вмвчв зла есмостовтельното ранении, в том числе вппвчв олиипиввного' уровне.
е тевсв условна тапового расчета. дав стузеитев пврвото аурсе роев опсаиальностей (впличсп специсльность ~йриалвлпеп мвтенставв'), в теапе' ллв аруааосой ропоты. Ил. 21, Ваблнотр. 4 наев. ВВК 22.161.1 © ИГРУ а . М,В.Вщ енв, ЮЭ. $1. СКАЛЯРЙЕ ФУНКМИИ ВККТОРНОГО АРГУМ1мТА ОпВейвленИВ Дл~, СкалЯРной брнкцией вектоРного аРгУмента «зывэется веком соответствия 1 , который канкану алвменту Менстсрого мнокестээ 1у ~ эре сопоставляет некото- л Ипе чноло у Йййуцй . Миоаестэо 11 наэыээется областье опре- я .ввленил Функции у, а нноквстэо й, ( лгм>~~ к 1у )- областьв «начений. Функции у. называет телке функцией ц парененнык м„ и' и пннут у~ф~а В тек случаях, когда йноаество 3 не эвдано, рвсснетривавт еотественную область опрапеленяя, т.е. мноаество всея энвченнй аргументе %, для кото1ых выреаение /(4 у кнеет смысл.' ПВнйед Ал1, Найти и нэобравить на плоокооти ж Оа естеатееннУп облэоть опРакеленил ФУнкции ~1м, млъ пгсв1п т,х э + 1п Г1-м,Ъ.
уеуееМВВ. Естественная облаоть определения данной Функции эадевтся Сяалуицкни Нарээвмотэани1 А КМ ЭЭ Е1; 1-ОСЭ е О. ю л ь Уолоэинся обоэначать участок граннцм сплоаной лимией, если он прннаплеэит даннону мнокаотву, и прерывистой линией, если не прннвплекнт. Тогда Тэу вмглиаит, как покаэано на рис. 1. Снос го аоб кен Ху ий и пе енн 1. Рафа~ фикции.
В случае ээ в 2 мокно преастевить фуикцю, построив ее грабил, т.е. мнонаство точен Юэ, ~(мэ,мэ, м,у ц ВА 1эс Ф<а илу гэо ж ьа эу) (область опреаеления В лепит в плоскости Рис. 1 ц', Р м , энвченне Фу«яцик отклаэнвэвтся но третьей оси). Л~~п.н А Р построить гробин Функции /бц„мр 1-(м,-А) -уСэсэ-ЪЪ Выас- э л нмгь, а каков ннокеотво двннал фуйкцня отобракэет прянув, эедан- '-'роэнанкцВ фв е Вь Реаенне. Данная фрницмя опрааелвнэ для вовк значений аргумента, т.е. А) Л(в . (!оокольку камаза нэ наличии Са -!)э у ! и Сх - ъ> принимает незавмоимо от другой вое значения от О до + ее , то область значений ь. ~ (-ее ! 1 ° ГРэрии Функцинф ° эллиптический пвраболоиз о вврзнной (1,3,1). Фиксируя аначвние пвРвого зРгУментз ц' в 3, полУчвем ф(З,!азЪ -Ъ-йбм -ъ3, л откупа видно, что пряйая Ж ° 3 ртобраааетоя в луч (-еч,-ь).
2. Линии и поэеПхноотиурозня. Ощщвление ~Д, Линией уровни анкина у( а, дв) нзэываетоя кривая в плоокоотн м Ом эааэнная уравнением у(м м у с, гле е - конотанта. 4 л Девая константе С рээличныз эначенмя, получает различные линми уровня данной функции. Обычно изобрзават линни уровня, ооотвзтотвузмне значениям конотанты о , отличэвмиыоя олно от другого на поотояннуа величану (Ь /! а е~к ор иуда е" ц р" нера 1.2. Поотронть линна уровню, проходмц(в через точку (2,б). Решение.
Аннин уровйя эааавтся уравнениен ! -(ж -!у -2!Ф -ъъ «о. л э ! г Прн сь ! получаетоя цуотое нноазотво, при с ! - одна точна (1,3), при о с 1 - зллипоы, виденные уравнениями см' -(> см -э) з' а л ~ л !. !" с С(-счй Через точку (2,6) проходит линия уровня, соответотвуецвл значение константы о у ( 2, ЬЪ - 6 .
Это аллино, уравнение которого (м„-1) (Фл -Ъ)у Заметны, что по мере удаления от точ- 9 912 ки (1,3) гуотота семейства линиЯ уровня увзличиваатол. Связь мекку двуыя опособвын нэобраяения ф~нкции двух переменных показана на рио. 2: линия уровня - это проекция на плоокооть х Ож линии переоечения граФикз Функции и' у(а и ) ! л э ! ° л и плоскости, заааввемой уравнениеы Ф ~ о , параллельной плос- 3 кости м„дал. При р = 3 вместо линий Уровня раооывтрнвавт поверхности уровня, прн и ~ 3 - гипврповерхноотн.
П ел и неп внооть нк нй неоколькнх пе енных ы"" з ,,„~,,з. ~ .....,,.—. л-<,...,-~ В и у (у„,. у )ай" нвэываетоя число „оС%,е Ъ (м -и +...+(м -уъ ь " о о 7 оп )уенкв 1,ч. Проколотой 8 -окрестностью точки ;Оп й ( то) Назнаавтоя МНОаеотэО О ('ПЭ: )уСЯЬ")О ч ч )э(м, у) ч Э ). 3 Таким образом, Ой с Ю - ото открытый и -мерный нар рапи. уса с с центром в точке % , нэ которого улвленв сзнв точка % поы~!б.т. ° ~ %" -- Р .Йа мнокества А сй, если У8 ~0 О~(%>ЛА+)й, т.в. квапвя проколотая 8 -окрестность точки сэ сопераит точки нз мноаества А Заметаю, что прааельнав точка нноавствв А ыоавт как прннаэлеазть, твк н не прннаплеавть самому мноаеству д 0прйвйлвйе ~,бь Пусть у; 'ф - лс - йинкцня, Ъ - провальная точка ев области опракэле((ия Р Число й нвзываетсп прааелом йэнищин ~ а точке а по нноавотву З (кинут Фчн /(мЪ й), если Уэ ь О Лб» О, такое, что иэ У й уса ° Йа О (а)ОЬ .слаэует ) у(аъ- й ( чс Если ясно, о каком ыноавстзе Ь кает речь, символ Ь псэ знаком прелвла не скаут.
-„+Длт цт,з. оеь ю'3~ .д- " в точке (0,0); и качестве Э рассмотреть эсо область опрааеления. ~равнине. Точка (0,0) нв прнналлечит естественной области опрелелвння канной (фикции, но лвляется ее праэвльной точкой. Покааэм, что Йпь Фсм, у ) ° 0 . Пуоть $ ь к ч О Половим (м,уэ (о,о)' 5 В~~-1/Иа~ . Для гм,уха 0'йо,о)) инеем и'+у'сб~- Ю -! ю г а л -4 мл'зу' , значит ло руа2(а у ос —;е <Е 2 Дне (гк что н требовалось. Напонним, что длв функций одной переменноа рассматрнввптс~ понятия "привал слева" и "прааел оправа".
В случае функции неся~ лысых переменных вариантов приблиаения к прааельноа точке бесконечно много, панако они все могут бмть описаны в терминах оправ~ ленив 1.6, если соотаатствувщим образом уменьаить область опрелг аения функпдн ~4. Л Ь Щ Я,Р) '-У 1( ' У'~ Наати ПРааак ПРИ (СС у~ ° ( О, О) В СЛУЧаЕ, КОГЛа: а) Ъ вЂ” ЛУЧ выходвщий из начала коораинвт; б) Э - ися область опракеления. ~моиза. Данная функция опраавленв на воен плоскости, эа ~ влечением точки (0,0). Пусть Р - луч, саставляищиа угол су с полоаительныы направлением оси щ . тогда е-к' ) оа Ч-,я' ~а щ з ° а у ар[ар Фоа 2~2. Итак, прааел зависит от направления, и значит, преаела для случая.
когда Э - вся область опралвления, не существует. ПДицед 1Л. Для функции /(а,у) рх~у Дал+ у') найти орг дел в точке (0,0) е случае, коган: а) Ь - луч, выксллщия иэ начала коораинат,' б) Р - парабола у щ ; а) О - всп область а опракеления. Дааемннве. В случае а) для луче, составляющего угол су с полоантельным направаением оси м , имеен ум т врсоа ~у а(н л а 11п~ е'щ ° ! Ю <м,ут (О,ОО,Р Оь а~рсоа у> уе)оазасу т.е, данных прааел не зависит от направления луча. В случае 6) у аа и уа у да~а~ «ь ю Праввл в случае в) мог бы существовать только в том случае, ес пределы в случае а] и 6) равнклнсь друг другу.
Следовательно,:. не существует. аьаа~л, ь ~ С: д - а .. -. ° рю ~ф в точке ам УЪ, если привел сссп у саъ существует и и и ей й кй вен у СйЪ . В противном случае сь назывветск точкой разрква .: ной функции. Точка разрыва Ь нааываетси устраннмой, если сума вует конечныд предел сань у СаЪ, отличный от фсВ~. 0' е 5 йпъь м~тси ".
и~ з~ ь«: в] фса,]с) МпСал+ ЛЪ а еуй если Са.уЪ чьСО,ОЪ , если са,уь со,оЪ; , вслм са,уь есо оъ вэнса т б) усауЪ- й еу сли СауЪ со ОЪ; а) ° если са,цъч со о) Фсс ',у) если Са,у)- Со,о); 4 г] аэ~ ф Ф са,у) ~ ос~у е! $ и Ф у Э ° , если , если гены нн. счсанпно, что в случаях в), б) и в) функции непреныы ы зо всех тсчкнх, отличных от (О,О). В случвях в) и б) сущвз(н ыь+ .твуег конвзн.к пренел (. постону (е ж,у)-(о,о) Функция / непрерывна в (0,0), а ф имеет устрвниыув точку рвз)ывв. В случае в) 1(н~ дозтоыу (л,у) (со~ у 2 (О,О) - неустрнниызл точка разрыве.
Функция 4 непрерывна во всех ссчкзх, нв леквщих нв онрумностн » + ул э 1 , вели ке » * у л 8 л 1 ° ° ° гд ЬМ ач йл+ ~э-! , позтону г«у 3 - неустс ° а сщ,р- (»„ч,з рвниывя точки разрыве. Йтан, данная Функция имеет линии рвзрызз (окрукнооть а~ ь у = ( ). 3 печи дл свыастонтпл ного енени 1. 1. нвйти и изобрвзить нз плоскости щ ()и естественнуи ь облезть опРвлеленнЯ Лвниых ФУнкний' в) У'(к , ослу 4 э л н,кл (-а, -«, 1н((-«,-»л)( б) /(»ымлз~ агсгое е ( ' Е.((-.,-.з >и „г- — — " — ~- З(»»< 1.2. ПостРоить линии УРовнЯ и гРвфик ФУнкций УС», клЪ й 3 ° л з) гг»',,ал) = сг, (паРебалический цилинпР, или "келоб"); б) ~ с »„ сгл) х', ь,'; в) г'(«, ы,~ к,к (квк нвзнввется эти по- вврхности7); г) у(а, » ) мз сс'("ппокноя еелобн); и) Г г(с - мь+ (с, - Зсс, «, ("обезьянье свило"); е) Г(сс сс З е (щ~ сФ , указание к знпвче д)(перейпите к полярник кооркинвтвы, 1.3, Опрелелить зис линий уровня Функций у ( » «.
3 вила: л н)~(«; ы ) ср(ак, Юх,+с); б) У(«'„жлЪ гл(сс, + ссь,) в)/гсг н 3 $((ж1,зр; г) г(й~,»л) 4ф(! сс), (ф) в) у (», »л) су ( а, /х,~ (зпесь сг - некоторви Функция олчсп переменное). 1 А . Придумать Функции, у которых пертини линий уровни ты~ дн- рят, квк покнззно нв рис. 3.
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
