Богомолов В.Г., Матвеев М.В., Филиновский А.В. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (1993) (1135793), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Такой ае геометрический с>а>сл частные произвол>в>е инент н при тт в й , но для того, чтобы провести соответствувщуо плоскость. требувтсн фиксировать больнее число координат. Для вычисленил частиьщ производных испальзувт те че правила, что и лля вычисления производных функций одной переменной (проиэвоаная суммы двух >1з>нкция равна сунне вх производных и т.д.), считея все пароконные, кроне овнов, конствнтэыи. Частные и ново ныв выси по 'ко Чвстныв проиэвслные функции ьь переменных, воли онн опреавлены л некоторой облвсти Ъ , твккв яаляптся' функцияни гл переменных и томе могут иметь частные проиэводные.
Последние нэзыаавтся частнннн проиэвольиьии второго порядка. Нэпример, функция ~ГМ дЪ двух переменных мсквт иметь первые честные п~ьиваодные Й вЂ” и втоРые ~л, — Лы, —, л . ДРУгие Ф ру, В~в В ру Юрам ' ФУФ обоэнвченккь л Запись у" или обоэнвчвет, что 'сначала дифрврвнцирувт аУ аа ар по у , потом пс а . Для дэечлы непрерывно диффервнцируемык 4рнкций 1т,е. для функций, имешщнх непрерывные вторыв честные пронэводныв) поряпок лиф$ервнцировэния невакен; вк кч кент н и нвонольких и ененн О~~дщщленнв~ьЯ. ЕсЛи а пространстве я1 фиксироване системе кооркинвт ось, ..., ц„и функция у ф~аь,' ..., а„Ъиыеет частные проиэвоаные первого порядке по всем своим лргунвнтэм, то вектор с коорлинатвни ~м Га' „, а ъ .„, рь' б ос' ...
а ъл < 1а назыааетоя грапиентом дикции т а точке (и',, ао ), Изаеотно, что з кмкяой точке грахиент перпенкикулярен к лрохоллцей через ету точку линни (поверхности) уровня функции ПППмер 3 1. Пуоть известно, что (дикция у(м у) принимает поотолнные анечення на прямых с уравнеинен ало + ау~с, т.е. ~(м у) у(п.м + йу) . Показать, что грахиент зтой Чрнкцин а лапой точке коллинеарен лектору а коораннетами (В, 6). 1енйниу: 9 (ах+ бу) а, — у(аа + бу) а, ау ак Зх ° ау ( — ) /( — ) ~ а/й. рг ПК р ар зз ные и по н п злвн Пусть функция и переменных у у <д„..., х )опрааелвна з некоторой окреотноотн точки Н' (.М „„в~), Е ° (рл, „6„)- евиннчный вектор. Провепен через точку К прянув в йапревлении вектора л .
Либая точка г( отой пряной ннеет коорпинвты (~ (Ю,,~' ЮС„), т у йщ-у(~,' (е,,...,~' еу„ъ являвтоя функцией заной пврененной х Оп еление 3,2. Производной ((рнкцин ь в точке М а непС равленнн 8 незываетоя пропел'И ь( л(м ьа ь ",и тй„) Л е~пь (воли он оуцеотвует). Геометричеокий оныол пронзиааной по напраеленнп в случае функции двух израненных х ~ у см, уэ - ето тангено угле наклона по отноаенип к плоскооти П Оу пряной, каоательной в точке У (а, ра, у(ме, у )) к кривой Е,, лекемей з переоеченни поаерхнооти Г' (грм(мка ((рнкцни й юг (оо, р) ) н плоокоати П прохоллцвй через точку Р параллельно вектору й и оон и (ом рио.
13), Сяьпоиа но онп ны~ пйоизаййа(х, Спраааалнао рааенотзо -у -(рааУ,Е)- — я,»... + — С„. а Лл» 4юнкцнй даун илйнутрех пе(нининых ото разенотва моамо перепноать а зале М~ - ааа а( ~- Ф еов )а, нлн дй яу Зе 19 — соых т у-соь (з т — соь((, где свес( ° соз(ь, д1 ау ж Ях % -(' рх ссз 1! - направляющие косинусы. Оснозннв свойства п оиззо ной по нап влепим: 1. Скорость роста 4ункции в данной точке нвксимвльнв в направлении грвдиента 4ункции рас~ т' , а нвксинальное значение произвсаной по направлению в данной точке равно ! ог а д. у ! .
2. Проиэвцанвя 4ункции х ° у(а.у1 двух перииенннх по направлению, квоательнсну к линии уровня а данной точке, равна нулю. з 3 маза.~в ю ~~ ь ц у ~-[-~ ° -1 М ле а из !4 ( — . — ) по направлению внутренней но(маля в отой точка к 7 '.тз г з кривой Е , заданной уравнением М вз 4 рэиениа. Кривая П является линией уровня 4ункцни х (см,уу: у, ! (ж,у) ! ((ю, Кую 0~ . Поэтону нвправленивьх внутренней пернели к Е в некоторой точке Совпадает с вектором афтаб х з,канной тачке.
Слаковвтвльно, рх йм Яу з ° й 44' з — -!; 4т1- !( — > -у1,.2 — ф. аз ба в. ~Р. Частные и изз ные ля векто ых н ий в к с ого а г нен в Мат а Якоби и кобивн Пусть запвно отобрвкеннв г: Я В ( у , , у„, Ъ зза т у Гас . зс з поксординатно у. у. (ж и ~ ! ! аь Если 4ункции г имеют частные праиэвсянне, то ив ннх мовно составить катрю!у Ям, ''' ' а~„ ау мп Этв матрица называется матрицей Якоби отобракення ф . Опрапвлитель втой матрицы при л гп называется якобивном, рщв зл, чщ к"г-с -о'-з ~«ц ~ * осн Х нв паоскооть осОу .
Выразить коорвинаты точки проакции через углы гл н сг (рнс. 1а).'Пвйти матрицу Якоби н вычислить 20 лкобивн отобрнввння у ь найти все точки, з которых У * О. Рно. 14 ~ение: м сов у сов 8, р юеьусов4 матрица Якоби а~ еа Ы эч -ЕОЕЫ Е1я Э вм <б соей ) ее В эч аа 3-в1 тув1яЮеовд + со~ь р ьо ВооЕВае1пдеовд, 5 - П нв экваторе (в позывах не взраввлен угол <у ). с оотоя ьного аен 21 3,1. Вычиолять первые и вторые частныв проязвояные длл бинкцня ~4вс, у) ю врц<вв~уу и убапитьоя в опревавливооти равенства :4'„, - У' З.к.ч В проотранствв произвели замену коорвннвт, увеличив нвснтаб по воем оолм в два раза, Что проиэойввт при этом о грааиентомт А' что пронвойпет о коораннатени векторов7 3.3.
Ьа рио..16 линиями изобраввнн линии уровна некоторой 4ункцяи яаух переменнмх, а стрелкзня - ее грааиент, внчиоленный в разных точняк. Что нз риоункак в), б), в) непревнльнот 3,4. Что моано оказать о Ьнкцнн двух переменных, воли известно, что ае граааенты во вовх точках параллельны вруг другут 3.6. Пуоть 4)гнвцня ~< зе, р) мвн~т только от рвеотояниа ло начала коораянат: у (м, )~ ) е<~(з~жл у'). яоиевэть, что если брыкина дяф)ереицн1рвнв, то ее грапиент в точке ( ов, ЯЪ направлен вдоль прямой, ооаяннимлей зту точку е началом коораинвт. $', Рис.
16 3.6. Пусть линии уровня функции т - о(п, и) ииепт зкз. как показано не рис. 16. Нврисоаать качественное располоиенне ливий уровня чзниции у Га у ) , улозлезворяпщей з каппой точке условие Щ О, тле Р' ~~~3. ~,/1ф Рис. 16 3.7. Найти произвпкнув функции т ~ сс -ау у з точке ю 3 «1(4,1) в направлении Ф, соствзляпщен угол «Г с полокитвльннн направлением оси в Оправзлить, пля какого направления зта произзопнзя инсат; а) наибольшее значение, б) нзинвньпез значение, в) равна нули.
3,6. Пусть и е у ( за, р, т. ) - функция трех переменках, м (сез о1<, ссп Р,,сов ф, Р Г«оа Гз,«ззГа„«озфз) Т (сепах„сщй, оозф) три пзайнйо персеняикулярннл иаправянйя,' Дозпззать,что (-'~)'. С'=)'-С '-~ )-(-" )'-(-')'. (-'" ~' 3,9. Найти матрицу Якоби и зычислить якабиан Лля проецирования сферю Ранена нз плоскость (см. закачу 2.
11). ада~лл.и рр~, о ~ 1<, независимых переменных Ж сс ...м„называется рвзйость .А|-~(м, да,,..., ж„с Оч~' ~ьь'и" Рр~ Ф ь 4'" ь ноквт 6ыть првкстаелено в внпе д ~ А, в сс т, ...«А„а сс„о(р) . (4.() а л $!л р ((дос,)+ ...+ (са„) ) О, гие поотоянныв А Д нв зазнслт от да „., а м, то ~ ° а ° "° ° в' ' функция у (а,... ц )называется лиффвренцнруемоЙ з ~очке (~аз ° ° °, ~о) Йз (4.1) следует, что кмфференциррвмзл з точке (ж,, и ) функцея ~( (ц, ж„)имеет е атой точка частяые произзолные, призон И ак ммаомьз.1~мр ц ь а Фс ке ( оз,, ..., ас„) называется линейная относительно йрирацзннй переменных д зс „, доз пасть приращения аминя; и х - А, д ил+... Ан,а ~вв (4.2) Поскольку лифференцивлы независимых переменных равны их пререканиям: ц зс, д ж, с(м дм„, то (4.2) переливатся з вике П~ — ~1 ос, -ь — с(зс е...
+ — Дса (4 3) Ь ПР Ы уц; ' р, '" а„ Приме~ П,А. Пля (рнкцни л(и,д)юсо~ч.му -уз в произвольной точке аичислнть полное прярзценив н Леффорвнцнал. ранение. Прумй способ. Выселим из пререкания фтнлцнл ау сто лннайн)м стноситвльно прараценнл переиеннык до ° ау честь: У(а+да,у+ду) (ос+а~) +(а+да)(уеду)-(у+ду), л т а1(я,у) Им+да)з+(и здо )(у+ау)-(у+ау) )4 И'+ + осу уе) у род~ + (да) + мду + у д м еда'лу -(оу) 23 [ ( й и + у) а к ~ ( к - й у) д ч 1 ~ ( а ос) + о эс д у - ( а у) а э Заесь выракение ~(у (йм~ у) ба~(сс-убэбуесть дичференциел функции, в (6 и)~+ дм бу-(буУ- бесконечно малая болев высокого по явке ывлостн по сравнении с бесконечно малой )» (бм) .
(Вы) . Второй способ. Вычислим частные пронаводныа функции Г(ш,у) и воспользуемся форнулой (4.3). Имеем -и( (йм т у~, йа и йу — „, а~-( - )бм-( й, ау. Испи у бпнкции существуют чаотныа проиэвовнив в некоторой окрестности точки и они непрерывны в данной точке, то функция диффврэнцируеиа в этой точке. ьющоь ий ь~ ~,, р ренцируеыость в точке (0,0). равен~ее. Покакем, что функция Л (м уу не является дифференцнруемой в точке (0,0). Очввнвно, Ж 1 М ) О, дм ! (О,О) йу $(о,оъ Предполагая противное, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
