Ильичев А.Т., Крапоткин В.Г., Савин А.С. Линейные операторы (2003) (1135791), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Пример 25, Пусть Р(х) = ас + охи +... + о„х" — много- член, с; с Ж, По аналогии можно определить операхор (операторный многочлен) Р(.4) = ос + ах А+... + а„А", где А: Х -+ Х вЂ” линейный оперкгор. Из предмдущего примера следует, что оператор Р(А.): Х -~ Х линейный. Боли Р(А) = 6 — нулевоМ оператор, то оператор А называется нулем операторного многочлена Р, Пример 2б. Пусть действие оператора А: Жз -~ Жз на про- .
извольный вектор, имеющий координаты х, у, «, определено равен- ствомА(л,у,«) =(О,х,у).Найти(„4 ~ б)(х У «)нАз(и «) Реииние: (А+ВПх у «) = А(х,у, )+8(в,у,«)=(О,х,у)+(х,у, )= = (в~в+у>у+«)) А'( У )=А(А( (х,у )))=А(А(б,*,у))=А(О,О, )=(О,О,О). Таким образом, Аз =- 9 — нулевой оператор. Пример 27. Пусть действие операторов А: Жз -+ Жз, В: Жз -~ Жз на произвольный вектор г с координатами и, у, « определено в некоторых фиксированных базисах пространств Жз, Жз равенствами А(и,у,«) = (2х1у+«), В(х,у>«) = (Й-«~у).
Найти результаты действия операгоров А+ В, ЗА, 2А — ЗВ на вектор т = (х, у, «). Реииние: (А+ В) (х, у, «) = А(х, у, «) + В(и, у, «) = = (2х,у+ «) + (ж — «,у) = (Зх — «,2у+ «); (ЗА)(а, у, «) = ЗА(х, у, «) = З(2и, у + «) = (бх, Зу + 3«) ", , 15 (2 1 — 5В)(х У,х) = 2А(х,д, ) — 5В(х,у, ) =2(2~,„+ ) 5(х — х, У)=(4х,2У+ 2з) — (5х — бх,бу) — ( х+ ба Зу+ 2 ) Пример 26.
Пустьдействиеоператоров ~,1зз +ззз В Вз на произвольный вектор с координатами х, у, х определено в некоторых фиксированных базисах пространств йз, Кз равенствами А(х, у, з) = (2х, у+ х); Б(х, у) = (у, х), Определить действие операторов ВА и Вз, Решение: ВА(х) у, х) = В(А(х> у, з) ) = В(2х) у + х) = (у + з, 2х); В'(х,у) =В(В(х,у)) =В(у, ) =(х,у), т.е. Вз = Е, где Š— единичный оператор.
Пример 29, Пусть действие оператора А: Кз -+ мз на произвольный вектор с координатами х, у определено в некотором базисе пространства Жз равенством А(х, у) = (х + 2У„Зх + 4У), Найти Р(А) = Аз — 5А — 2Е, где Š— единичный оператор. Решение: Первый способ: Аз(х,у) = А(А(х,у)) = А(х+ 2У,Зх+ 4У) = = ((х+2У)+2(Зх+4У), 3(х+2У)+4(Зх+4У))=(7х+10У, 15х+22У); (5АПх, у)=5А(х, у)=5(х+2у, Зх+4у)=(бх+10у, 15х+2М Р(А) (х, у) =(А'-5А-ЗЕ)(, у)=А~(х, у)-(5А)( ', у)-2Е(х, у) = = (7х+ 10У,15х+ 22У) — (5х+ 10У,15х+ 20У) — (2х,2у) = (0,0) Второй способ, Линейность оператора А установлена в примере 4. Подействуем на базисные векторы еь ез оператором А; т.
е. Аег =А(1,0) = (1,3), :Аез =А(0,1) = (2,4), найдем его матрицу (1 и) Поскольку действиям над линейными операторами отвечают такие жо действия нзд вх матрицами, матрица Р линейного оператора Р('А) есть Р =. Аз-5А-2В= -5 4 -2 0 1 = О О Таким' образом, Р(А) = б, где 9 — нулевой оператор, а А есть нуль операторного многочлена Р. Пример 30. Пусть действие операторов А: Жз -+ Жз, В: жз -+ мз, С: Из -+ Кз на произвольный вектор с коордныатами х, у, з определено в некоторых фиксированных базисах про,г аис 1ез Щз А(х, у, з) = (х+ д+ з, х + д); В(х, у, з) = (2х + х, х + у) "С(х,у,х) = (2у,х). Убеднвгпнсь в линейности операторов А, В, С, показать, что они линейно независимы (как элементы пространства линейных опера.
торов, действующих нз йз в йз). Решение. Линейность операгоров А, В, С проверяется самостоятельно. ПустыхА+ ДВ + ТС = 6 — нулевой оператор. Тогда (а,А+,ВВ+7С)(х,у,з) = аА(х,у,з)+Щх,у,з)+ 7С(х,у,х) = = гъ(х+ у+ х„х+у)+ Д2х+ х,х+ у) + у(2у,х) = (О,О) нли покомпонентио с гз(х + у+ з) + )3(2х + х) + я(2у) = 0; а(х+д)+,8(х+у)+ух = О. Эти равенства должны выполняться для любых х, у, х. В частности, положив х = 1, у = -1, х = -2, получим а = 7 = О, Положив х = О, у = х = 1, найдем ~3 = О.
Таким образом, операторы А, В, С линейно независимы, 5. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИИ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА Определение, Ненулевой вектор ж а Х называется собственным вектором линейного оператора А: Х -+ Х, если существует такое число Л, что Аж = Лж. Число Л называется собственным значением оператора А, соответствукяцим собственному вектору ж, Замечание. Собственнью векторы опредвзпотся с точностью до ненулевых числовыхмножителей.
Белие — ' собственный вектор линейного оператора А, соответствующий собственному значению Л, то ~% ф О вектор Йж также является собственным вектором оператора А, соответствующим собственному значению Л, поскольку Аж = Лж =е А(йВ) = Л(йй). Теорема; Собственные векторы, отввчаюгцие различным собственным значениям линейного оператора А, линейно независимьь Пример 31.
Пусть Е: Х -~ Х вЂ” единичный оператор, тогда Уж 6 Х бж = 1 ° Ж, т, е, всякий ненулевой вектор ж б Ь является собственным вектором оператора б, соответствующим собственному значению Л = 1. Пример 32. Пусть И: Вз -+ Вз — оператор поворота каждого вектора нз Вз на угол р = ~г/2. Этот оператор линейный, но ни один ненулевой вектор ж б Вз не преобразуется нм в вектор вида Лж,жо означает отсутствие у оператора И собственных векторов и собственных значений. Пример 33.
Пусть И .. Вз -~ Кз — оператор поворота каждого вектора из Вз на угол у = ~г, Очевидно, что действие оператора И определяется равенством Иж = -ж = (-1) ж, из которого следует, что всякий ненулевой вектор нз В является собственным век~~ром оператораИ, соответспзующим собственному значению Л = -1. б Пример 34.
Пусть Тз =' —: С (В) -+ С"(Е) — операгй тор дифференцирования в линейном пространстве бесконечно диффвренцируемьгх иа всей числовой прямой функций, тогда функция Д1) = вм 6 С~(В), Л ЗЬ 0 моЖет рассматриваться кзк собствен- ный вектор оператора Р с собственным значением Л, поскольку З~ = ЛУ.
Теорема. Пусть линейный оператор А: Х -+ Х действует в конвчномерном линейном пространстве, А = М[А, Вг., Вг) — матрица оператора А в некотором базисе Вг., тогда собственные значения оператора А н толью они являются вещественными корнями " уравнения без(А — Л.Е) = [А — Л Е[ = О, где  — единичная матрица. Определение, Многсчлен Р(Л) = бв$(А — ЛВ) = [А — ЛВ[ называется характеристическим многочленом матрицы А. Уравнение [А — ЛВ[ = О называется характеристическим. Пример 35. Показать, что харжтеристический многочлен матрицы линейного оператора А: Х -+ Х не зависит от базиса. Реиенив.
Если А = М[А, Вь, Вг.) и А' = М[А,В~ь, ВД вЂ” ья~- трицы оператора А в базисах Вг. и В~ соответственно, Р— мнгрица перехода от базиса Вь к базису В', то [А' — Л.Е[= [Р ~АР— ЛВ[= [Р гАР— Р 'ЛЕР[= = [Р ~(А — ЛЕ)Р[ = [Р г[[(А — ЛВ)ЦР[ = [А — ЛВ[. Таким образом, характеристические многочлвны матрицлннейного оператора А: Х -+ Х в произвольных базисах пространства Х совпадают.
Определение, Характеристическим многочленом линейного оператора А: Х .-+ Х называется характеристический многочлен вго матрицы в каком-либо базисе. Замечание. Если оператор А; Х -+ Х действует в п;мерном пространстве, то его характеристический многочлен имеет вид сЫ(А — ЛВ) = а„Л" + а ~Л" ~ +... + ас. Коэффициенты характеристического многочлена не зависят от базиса, т,е, являются инварнантами оператора А В частности, ас = беФА, а„1 = (-1)" 1й" А, а„= (-Ц", позтому характеристический многочлен оператора А, действующего в двумерном пространстве, имеет внд бвс(А — ЛЕ) = Лз — (гг А)Л+ беФА. базисе магРицой А= 2 1 -2 4 — Л. -1 -2 Йе» 2 1 — Л -2 = О. 1 -1 1 — Л (1 — л)(л' - бл+ 6) = о.
г я (4 — Л,)хя — хз — 2хз = О; 2х1+ (1 — Л;)хя — 2хз = О," хт — ха + (1 — Л;)хз = О. Зхг — хз — 2хз = 0; 2х1-2хз = 0; хг -хз = О. с (1-Л)х;+2хз=О; бх1+ (4- Л;)хз = О, < 2хг — — 2хз; х1 — хз = О, Алгоритм нахождения собственных значений и собственных векторов: 1, Найти собственные значения Л, как вещоственные корни характеристического уравнения бе»(А — ЛЕ) = О, 2. Для каждого Л; репппь однородную систему линейных уравнений с матрицей А — Л;Е.
Решения этих систем представшпот собой юординаты собственных векторов, отвечающих собственным значениям Л,, в том базисе, в ютором задана матрица А оператора А. Пример 36. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора А: 6»з -+ мз, заданного в иеютором базисе В матрицей Решение. Запишем характеристичесюе уравнение »'1- л де»(А — ЛЖ) = дв» ~ Л б 4-Л) =Лз — (» ~)Л+ ~ ~=Ля — бл — 6=0 Найдем корни характеристичесюго уравнения: Л1 = 6, Лз = — 1. Координаты хы хз собственных векторов в базисе В определяются яак решения систем уравнений Посюльку определители зтих систем равны нулю, калщая из них зквивалентна одному из своих уравнений, При Л1 = 6 из люх1 2 бого уравнения системы следует, что — = —, соогаетствущий собхз 5' ственный вектор имеет вид о1 = (2сг,бгя), гдо а ф О.
При Лз ее — 1, — = -1 соответствующий собственный вектор оз = (,6, —,6), где хя ,6~ О. Пример 37. Найти собственньш значения и собственные векторы линейного оператора А: Из -+ Нз, заданного в некотором реиление. Запишем характеристичосюо уравнение Раскрыв опредошпель по первой строке, приведем харяктеристичесюе уравнение к виду Корни характеристнчесюго уравнения: Л1 = 1, Лз = 2, Лз = 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
