Ильичев А.Т., Крапоткин В.Г., Савин А.С. Линейные операторы (2003) (1135791), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Нулевой оператор 9: Х -+ Ь. Линейность этого оператора установлена в примере 1. В произвольном бикнсе Вь = = (ез,..., е„), Ось = О, Й = 1,..., и, где д — нулеюй элемент пространства Х, имеющий в базисе Вь представление д = 0 е~+ . + +О е„. Поэтому Определение. Пусть 7; Ю' — действительные линейные пространства с базисами Вм = (ег, ..., е„) и Вх = (дт,., д ) соответственно. Матрвцей А линейного оператора А: У -+ Иг относительно базисов Вь н Ву называется матрица О ...
0 О = М(~Э,Зь, Вь]— 0 ... 0 Пример 16. Единичный оператор Е . Х -+ Х. Линейность этого оператора установлена в примере 2, В произвольном базисе Вь = О ... О о о =оо' 10 -6 7ез =-ешс от+созе ез, 7 ез — — совр ег+ вшу ез, /'сое х — аш у'~ 1зшу созх / А ( тогда по условию задачи = (ег,...,е),беь = еь = О ° ег+...+1 еь+...+О е,поэтому Пример 17.
Оператор Р: Вз -+ Кз проектирования на ось Ох. Его линейность вытекает из известных свойств проекций. В каноннчесюм базисе (ег,йз) 7гег = ег = 1 ез + О ез, 'Рез = = У = О. аз+ О ез, позтомуметрицаоператораР имеетвид а вго действие на произвольный вектор г = (хг, хз) описывается как умножение матрицы Р на столбец юординат вектора р: Пример 13.
Операшр 7: Вз -+ Вз поворота любого вектора на угол х. Установите его линейность самостоятельно из геометрических соображений. В каноничвсюм базисе (ег, ез) следовательно, матрица оператора 7 имеет вид Пример Ю. Действие оператора А: Жз -~ Из на произвольный вектор у = (хг, хз, хз) нз пространства Жз определено равенством Ах, = (хз + хз, хг + хз), Оператор А линейный (доказываетск способом, изложенным в примере 4). В каноническом базисе ег = (1, О, О), ез = (О, 1, О), ез = (О, О, 1) Аег = (О, 1) Аез = (1, 1), . Аез -- (1, О). Отсюда находим матрицу оператора А Пример 20, Пусть в пространстве йз фиксирован некоторый баь зис (е~, ез,'.
Известно, что линейный опврато~ А: Из -+ мз переводит векторы х = (2,3), у = (3,5) в ве торы Ах = (2, 0), АД = (О, 3). Найдем матрицу оператора А заданюм базисе (еы йз). ' Первый способ основан на непосредственном определении ко ординат образов базисных векторов. Так как х = Жг + Збз, у = Зег + Без, Ах = 2еп Аи = Зез, то Ах = А(2ег + Зез) = 2Аег + ЗАез = 2ет, Ар = А(Зег + без) = ЗАег + 5Аез = Зез. Эта система линейных уравнений относительно Аег, Аез разрег шама, посюльку, в силу линейной независимости векторов У, 7, ве определитель отличен от нуля. Отскда находим Аег — — 10ег— -9ез, Аез = -бег + без.
Коэффициенты этих разложений образуют столбцы матрицы А оператора А в базисе (еы ез): Второй сиособ основан на непосредственном определении матричных элементов. Пусть матрица оператора А есть с Н 3 0 ' с е* 5 3 с 2с+ЗН = 0; Зс+ 5Н = 3. < 2с+35=2; За+55= 0; «0 -6 б Т»~з = — саа х = — з(п х = -.~т. сх Н Щ = — ашх = саа х = уз, бх или юроче «0 Отсюда приходим к системе четырех уравнений, распадаклцейся на две: Эти системы уравнений имеют решения: а = 10, Ь = — 6, с = = -9, З = 6.
В результате получаем матрипу оператора А Пример 21. Пусть линейньгй оператор днфференгшрованил б Т» = — определен на линейной оболочке Ь = Т,ф, уз) двух лнбх пейна независимых функций У~ —— вт х„уз = ссп х. Очевидно, что Р: Ь -> Ь. Найдем матрицу оператора В в базисе (у1, Я. Имеем Таким образам, в базисе «,гг, Ь» Щ1 = (О, 1), Т»,гз = (-1, О), по- зтаму 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МАТРИЦЫ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА ПРИ ПЕРЕХОДЕ К НОВЫМ БАЗИСАМ Определение. Матрицей перехода от (старого) базиса В = «ет,..., е,„) к (новому) базису В' = (а'г,... „в'„) одного и того же линейнога пространства называется матрица Рп ° ° у1ь ° ° ° р1е Р = М(В -+ В ( = х-й столбец юторай образован юардинатамн нового базисного вектора еа = ри,е1 + ...
+ р ье в старом базисе В = (е1,. „, е„), й =1,...,а. Переход от (нового) базиса В' к (старому) базису В осущесгщиется с помощью матрицы М(В' -> В(, обратной матрице Р: М(В' - В) = ~ -'. Тюрема. Пусть Х = С(х, В( — столбец юординат вектора х в базисе В, Х' = С(х', В') — столбец юординат вектора х в базисе В'. Тогда С(х, В| = М(В -+ В')С(х, В'(; С(х, В') = М(В' -+ В|С(х, В], нли в кратной записи Х =- РХ'; Х'= Р-'Х. Теорема (заюи преобразования матрицы линейного оператора). Пусть А = М(А, Ви, Виг1 — матрица линейного оператора А: У -+ Яг относительно (старых) базисов Ву и Ви линЫ-, ных пространств «г и Иг соответственно„а Р = М(Вр -~ В' 1, Я = М(Ви -+ ВЯ вЂ” матрицы переходов к (новым) базисам В' и В~, в тех же пространствах, тогда матрица оператора А относительна новых базисов имеет вид А'=М(А Ж Ю==М(В(г -+ Ви)М(А,Вт,Ви|М(В -~ В(), Ди важнейшего частного случая А: У -+ У А' = М(А, В(~, ВЯ = М(В( -~ Ву|М(А, Ву, Ву1М(Ву -+ ВД нлн юроче А' = Р-'АР.
Умножив абе части зтого равенства слева на Р и справа на Р ', найдем А = РА'Р-'. Определение. Следом квадратной матрицы А называется сум- ма элементов„сгожцих на ее славной диагонали. След матрицы обозначается гг А нли Яр А: А=(а;); сгА=~~ ам=ам+ ° ° +о Лемма.
Для любых квадратных млгрнц А и В одинакового размера Сг (АВ) = Сг (ВА). Дохдздюевьсвсво. По правилу умножения матриц и определению следа матрицы ~.~вв) =~(Х;~вг»)-~(~ь;;~) =~.~вв>. Теорема. Определитель и след матрицы линейного оператора А: Х -+ Х незавнсятстбазнсаВь. Доказательство, Зафиксируем два произвольных базиса Вь н В' в пространстве Х, Пусть Р = М(Вь -~ В') — матрица перехода от базиса Вь к базису Вь~, тогда определитель матрицы Х линейного оператора А в базисе В~ равен определителю матрицы А линейного оператора А в базисе Вь, поскольку с1есА'=аес(Р 'АР) =бесР 'йесАс1есР = с1езА. Используя лемму, убеждаемся в равенстве следов матриц А' н А: с А' =сг (Р 1АР) =сг(РР 1А) =з А. Таким образом, имеют смысл понятна «определитель» н вслед линейного оператора» А: Х -+ Х.
Эти величины не изменяются при переходе от одного базиса к другому, т, е. являются икедриавлвзми линейного оператора. Пример 22. В базисе (е1,ез) матрица линейного оператора А: всз -~ мз имеет вид Найти матрицу оператора А в базисе (еЩ), если е~г —— е1 — ез, е~з — — е1 + ез. Решение. Матрица перехода ог старого базиса (е1, ез) к новому базису (ем ез) и обратная к ней имеют соответственно вид 1 1 1 1 1 Тогда Замечание. Сравните определители и следы млгриц А и А'. Пример 23. В базисе (ев1,~~) матрица линейного оператора А: Кз -~ Жз имеет внд Найти матрнлу А оператора А в базисе (е1, ез), если е~ — — ег -ез, ез = ег + ез.
Решение. Матрица перехода Р от старого базиса (е1, ез1 к новому базису (е'„'ез) н обратная к ней Р 1 найдены в примере 22. Таким образом, А вв'в = ( ) ( ) (~,%) — (1 $) Замечание, Сравните определители и следы матриц А и А'. 4. ДЕЙСТЗИЯ С ЛИНЕЙНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ Определение. Операторы А: Х -~ М, В: Х -+ М называются равными, если Чж б Ь, Аж = Ва. При атом пишут А = 6. Определение.
Суммой оперкгоров А: Х, -> М, В . Ь -+ М называется оператор (А+ В): Х -~ М, действующий по правилу (А+ В)х = Ах+ Вх, 'чЖ ~ Х. Определение. Произведением оператора А: Ь -+ М на число Л называется оператор (ЛА): Ь -+ М, действующий по правилу (ЛА)Ж = Л(А«), 'И Е Ь. Определение. Произведением (композицией) операторов А: Хс -+ М, В: Х -+ К называется оператор (АВ): Ь -~ М, действущий по правилу (АВ)Ж = А(В$), ЧБ б Х. Степень оператора А: Х -~ Х определяется индуктивно: где Е: Х -+ Х вЂ” единичный оператор.
Замечание. Вообще говоря, АВ ф ВА Пример 24. Показать, что если А н  — линейнью операторы, то операторы ЛА, А+ В, АВ также линейные (при условии, что А+ В и АВ существуют). Действительно, Ча„б е Ж (ЛА) (аи + Я) = Л(А(ах + Ву)) = Л(аАж + ВАу) = а(ЛАх) + +В(ЛАу) = а(ЛА)х+ ф(ЛА)у; (А+ В)(аз + Ву) = А(ах + Ву) + В(ай+ Я) = аАж +,ВАу+ +аВЖ+,ВВу = а(Ах + Вх) +,В(АУ + ВД) = а(А+В)«+ +В(А+ В)р; (АВ)( *+ )ху) = А(В(аЖ+ Ру)) = А(аВ*+ РВу) = А(В ) + +~ВА(Вуу) = а(АВ)х+ КАБ)У.
Утверждение. Умножению линейных операторов на числа, сложению и умножению линейных операторов соответствуют такие же действия с их матрицами. Замечание. Из примера 24 следует, что множество всех линей.- ных операторов, действующих из линейного пространства Х в жлейное пространство М, представляет собой линейное пространство относительно сложения операторов н умножения нх на числа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
