CM_FAQ6 (2) (1135271)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

FAQ: Численные Методы, часть VI

Разностные схемы

22. Явная разностная схема для первой краевой задачи для уравнения теплопроводности. Сходимость, точность.

См. [8, стр. 272]

Будем рассматривать первую краевую задачу для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами в области G={0<x<1,0<t£T}:

, (22.1)

со следующими начальным и граничными условиями:

u(x,0) = u₀(x) , (22.2)

u(0,t) = m₁(t), u(1,t) = m₂(t). (22.3)

Определим равномерную сетку w_ht с шагом h по пространственной перменной и шагом t по временной переменной. Для сеточной функции y(x,t) введем обозначение y_iⁿ=y(x_i,t_n), где i = 0...N (hN = 1), n = 0...K (Kt=T). Правую часть заменим приближенно сеточной функцией j_iⁿ.

Явная разностная схема для уравнения (22.1) будет выглядеть следующим образом:

. (22.4)

Уравнение (22.4) решается по слоям, соответствующим моментам времени. Если решение найдено на слое n, то решение на слое n+1 вычисляется по явной формуле.

Утверждение 22.1. Схема (22.4) устойчива только при условии

. (22.5)

23. Чисто неявная схема для первой краевой задачи для уравнения теплопроводности. Сходимость, точность.

Чисто неявной схемой для уравнения (22.1) называется схема вида

. (23.1)

Данная схема также решается послойно; и на каждом (n+1)-ом слое приводит к трехдиагональной системе с количеством неизвестных (N - 1).

Утверждение 23.1. Схема (23.1) абсолютно устойчива.

Утверждение 23.2. Схема (23.1) имеет первый порядок аппроксимации как по t и второй порядок а по h, если только j_iⁿ = f(x_i,t_n+1)+O(t+h²).

24. Симметричная разностная схема . Сходимость, точность.

Шеститочечной симметричной схемой для уравнения (22.1) называется схема вида

. (24.1)

Данную схему также можно решать методом прогонки.

Утверждение 24.2. Схема (24.1) имеет второй порядок аппроксимации как по t, так и по h, если только j_iⁿ = f(x_i,t_n+0.5t)+O(t²+h²).

25.Основные понятия теории разностных схем: аппроксимация, сходимость, устойчивость.

См. [1, стр. 60], [8, cтр. 286].

Для того, чтобы написать разностную схему, приближенно описывающую данное дифференциальное уравнение, нужно совершить следующие три шага:

1. Заменить область непрерывного изменения аргумента областью его дискретного изменения (сеткой).

2. Заменить дифференциальный оператор некоторым разностным оператором.

3. Сформулировать разностный аналог для краевых условий и для начальных данных.

Сетка - это некототорое конечное множество точек (узлов сетки), находящихся в области изменения аргумента. Функция, определенная в узлах сетки, называется сеточной функцией.

В простейшем случае определяется равномерная сетка, где узлы отстоят друг от друга на фиксированны шаг h (в двухмерном случае возможны различные значения шагов h и t по пространственной и временной координатам). Через w_h будем обозначать равномерную сетку с шагом h, через B_h - пространство функций, определенных на такой сетке. Через B₀ обозначим пространство функций непрерывного аргумента. Отображение p_h вида B₀®B_h, служащее для сравнения сеточных функций с обычными, называется оператором проектирования. В пространствах B₀ и B_h выбираются какие-либо нормы (обычно, индуцированные скалярным произведением). Эти нормы называются согласованными, если для любой функци uÎB₀ выполняется условие

. (25.1)

Утверждение 25.1. Требование согласованности норм обеспечивает единственность предела сеточных функций при |h|®0.

Пусть исходная дифференциальная задача имеет вид

Lu(x) = f(x), (x Î G Í R^m), (25.2)

а соответствующая ей разностная задача на равномерной сетке имеет вид

L_hy_h(x) = j_h(x). (x Î w_h), (25.3)

где j_h(x) = p_hf(x), а L_h - разностный аналог оператора L.

Пусть u(x) и y_h(x) - соответственно решения дифференциальной и разностной задач. Сеточная функция

z_h(x) = y_h(x) - p_hu(x) (25.4)

называется погрешностью разностной схемы (25.3).

Очевидно, что погрешность z_h(x) удовлетворяет уравнению

L_h(x)z_h(x) = y_h(x) , (25.5)

где y_h(x) = j_h(x) - L_hu_h(x). Сеточная функция y_h(x) называется погрешностью аппроксимации разностной задачи на решении исходной дифференциальной задачи. Эту погрешность можно представить в виде

y_h(x) = y_h,1(x)+y_h,2(x), (25.6)

где величины

y_h,1(x) = (Lu)_h(x) - L_hu_h(x) и y_h,2(x) = j_h(x) - f_h(x) (25.7)

называются соответсвенно погрешностью аппроксимации разностного оператора и погрешностью аппроксимации правой части.

Говорят, что разностная задача (25.3) аппроксимирует исходную задачу (25.2), если ||y_h(x)||_h®0 при |h|®0. Говорят, что схема (25.3) имеет k-й порядок аппроксимации, если существуют положительные постоянные k и M₁ (не зависящие от h), такие, что

||y_h||_h £ M₁|h|^k. (25.8)

Разностная схема (25.3) называется устойчивой (безотносительно к аппроксимации уравнения (25.2)), если существует постоянная M₂ (не зависящая от h), такая, что

||y_h||_h £ M₂||j_h||. (25.9)

Схема называется условно устойчивой, если она устойчива только при определенном ограничении на соотношении шагов по x и t.

Разностная схема называется корректной, если 1) ее решение y_h существует и единственно и 2) она устойчива.

Говорят, что решение разностной задачи (25.3) сходится к решению дифференциальной задачи, если ||y_h­ - p_hu||_h­®0 при |h|®0.

Разностная схема имеет k-й порядок точности, если если существуют положительные постоянные k и M₃ (не зависящие от h), такие, что

||y_h­ - p_hu||_h­ £ M₃|h|^k. (25.10)

Теорема 25.2. Пусть дифференциальная задача поставлена корректно, разностная схема является корректной и аппроксимирует исходную задачу. Тогда решение разностной задачи сходится к решению исходной задачи, причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.

26. Сходимость разностной задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

См. [1, стр. 211], [8, стр. 291].

Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона: требуется найти непрерывную в G’=G+Г функцию u(x₁,x₂), удовлетворяющую в области G уравнению

, (26.1)

а на ее границе Г условию

u(x) = m(x). (26.2)

Предположим, что G - прямоугольник вида {0<x₁<l₁, 0<x₂<l₂}, а функции f и m таковы, что решение задачи (26.1,2) существует, единственно и является гладкой функцией.

Введем в G’ прямоугольную сетку w( h₁,h₂) с шагами h₁ и h₂, такими, что l₁=h₁N₁ и l₂=h₂N₂. Введем обозначения xⁱ₁ = ih₁ , x^j₂ = jh₂, y_ij = y(xⁱ₁, x^j₂).

Разностную схему для уравнения (26.1) удобно записать в каноническом виде, разрешенном относительно y_ij :

. (26.3)

Теорема 26.1. Если решение дифференциальной задачи Дирихле имеет в замкнутой области G’ непрерывные проивзодные до 4-го порядка включительно, то разностная схема (26.3) сходится и имеет второй порядок точности.

27. Методы решения сеточных уравнений разностной задачи Дирихле.

См. [1, стр. 516],[8, стр. 337, стр. 379].

Сеточное уравнение (26.3) приводит к сильно разреженной, симметричной и плохо обусловленной системе линейных уравнений. Для его решения можно использовать самые различные методы:

1. Прямые методы (метод Гаусса).

2. Простейшие явные итерационные методы (Якоби, Зейделя).

3. Метод верхней релаксации со специально подобранными параметрами.

4. Чебышевский метод.

5. Попеременно-треугольные итерационные методы.

6. Метод матричной прогонки.

7. Метод, основанный на быстром преобразовании Фурье.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)