Н.И. Ионкин - Электронные лекции (2009) (1135239), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

. , um (t))T .(2)Îïðåäåëåíèå. Ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íàçûâàåòñÿ æåñòêîé, åñëè:1.ReλAk > 02.s=(óñòîé÷èâîñòü ïî Ëÿïóíîâó),max1≤k≤m |ReλAk|min1≤k≤m |ReλAk|>> 1(s ÷èñëî æåñòêîñòè).Ââåäåì ïîíÿòèå æåñòêîñòè äëÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû:du= f (t, u(t)), t > 0u(0) = u0dtÏóñòüv(t)(3) íåêîòîðîå ðåøåíèå çàäà÷è (3), òîãäà ðàññìîòðèì â îêðåñò-íîñòè äàííîãî ðåøåíèÿ ðàçíîñòü:z(t) = u(t) − v(t)Äàëüíåéøåå îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè è ïðèìåðû ðàçíîñòíûõ ñõåì.Èíòåãðèðîâàíèå æåñòêèõ ñõåì ÄÓ121dzk= fk (t, v(t) + z(t)) − fk (t, v(t)), k = 1, mdtÐàçëîæèì fk (t, v(t)+z(t)) â îêðåñòíîñòè òî÷êè (t, v(t)), óäåðæèâàÿ òîëüêîïåðâóþ ïðîèçâîäíóþ:fk (t, v(t)+z(t)) = fk (t, v(t))+Îáîçíà÷èì∂fk∂fk(t, v(t))z1 (t)+.

. .(t, v(t))zm (t)+o(|z|)∂u1∂um∂z= J(t, v(t))z∂t(4)Ïî îïðåäåëåíèþ,J(t, v(t))z = (∂fi (t, v(t)))ij , i, j = 1, n.∂ujÒåïåðü ââåäåì ÷èñëî æåñòêîñòè s êàê îòíîøåíèå:Îïðåäåëåíèå. Ñèñòåìà1.ReλJk < 0,2.s(t) >> 1.Ÿ6s=maxReλJk.minReλJk(3) íàçûâàåòñÿ æåñòêîé, åñëè:Äàëüíåéøåå îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè èïðèìåðû ðàçíîñòíûõ ñõåì. Èíòåãðèðîâàíèå æåñòêèõ ñõåì ÄÓÐàññìîòðèì ëèíåéíóþ çàäà÷ó:du= Λu,dtt>0(1)u(0) = u0Ïðè ýòîìΛ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèå ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ Jñèñòåìû (4).Îïðåäåëåíèå.

Îáëàñòüþ óñòîé÷èâîñòè ðàçíîñòíîãî ìåòîäà äëÿ çàäà÷è (3) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê êîìïëåêñíî ïëîêîñòèτ Λ ∈ C,äëÿ êîòîðûõ ìåòîä óñòîé÷èâ.Ïðèìåð:µ=Äàëüíåéøåå îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè è ïðèìåðû ðàçíîñòíûõ ñõåì.Èíòåãðèðîâàíèå æåñòêèõ ñõåì ÄÓ122ßâíàÿ ñõåìà Ýéëåðàyn+1 − yn= λyn , yn+1 = (1 + µ)ynτÌåòîä ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì, åñëè |q| < 1, q = 1 + µ. Òîãäà îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè îïðåäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâîì:|1 + µ| ≤ 1|1 + µ0 + iµ1 | ≤ 1(1 + µ0 )2 + µ21 ≤ 1 äàííîì ñëó÷àå îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âíóòðåííîñòüêðóãà ñ öåíòðîì â òî÷êå (0, -1) è ðàäèóñîì 1 â êîîðäèíàòàõµ0 , µ1 .Íåÿâíàÿ ñõåìà Ýéëåðàyn+1 − yn= f (tn+1 , yn+1 )τyn+1 − yn− λyn+1 = 0τyn+1 (1 + τ λ) = ynÎáîçíà÷èìq=1.1 − τλÍàéäåì îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè:||q| ≤ 11|≤11 − τλ|1 − µ| ≥ 1(1 − µ0 )2 + µ21 ≥ 1Îáëàñòüþ óñòîé÷èâîñòè íåÿâíîé ñõåìû Ýéëåðà ÿâëÿåòñÿ âíåøíîñòü êðóãà ðàäèóñà 1 ñ öåíòðîì â òî÷êå (1, 0).Îïðåäåëåíèå.

Ðàçíîñòíûé ìåòîä A-óñòîé÷èâ, åñëè îáëàñòü åãî óñòîé÷èâîñòè ñîäåðæèò ëåâóþ ïîëóïëîñêîñòü.Çàìå÷àíèå. Åñëè ðàçíîñòíûé ìåòîä À-óñòîé÷èâ, òî îí àáñîëþòíîóñòîé÷èâ.Äàëüíåéøåå îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè è ïðèìåðû ðàçíîñòíûõ ñõåì.Èíòåãðèðîâàíèå æåñòêèõ ñõåì ÄÓ123Óòâåðæäåíèå.

Äîêàçàíî, ÷òî àáñîëþòíî óñòîé÷èâûõ ìíîãîøàãîâûõðàçíîñòíûõ ìåòîäîâ íå ñóùåñòâóåò.Óòâåðæäåíèå. Äîêàçàíî, ÷òî íå ñóùåñòâóåò àáñîëþòíî óñòîé÷èâûõìíîãîøàãîâûõ íåÿâíûõ ðàçíîñòíûõ ìåòîäîâ, òî÷íîñòü êîòîðûõ âûøå2 ïîðÿäêà.Ðàññìîòðèì ïðèìåð ðàçíîñòíîãî ìåòîäà, èìåþùåãî âòîðîé ïîðÿäîêòî÷íîñòè, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ À-óñòîé÷èâûì.Ñèììåòðè÷íàÿ ñõåìàyn+1 − yn= 0.5(f (tn , yn ) + f (tn+1 , yn+1 ))τÏðîâåðèì, áóäåò ëè äàííàÿ ñõåìà àáñîëþòíî óñòîé÷èâîé:yn+1 − yn− 0.5λ(yn + yn+1 )τ(yn+1 − yn ) − τ − 0.5µ(yn + yn+1 ) = 0(1 − 0.5µ)yn+1 = (1 + 0.5µ)ynyn+1 = qyn , q =(1 + 0.5µ)(1 − 0.5µ)Óñòîé÷èâîñòü|q| ≤ 1|1 + 0.5µ| ≤ |1 − 0.5µ|(1 + 0.5µ0 )2 + µ21 ≤ (1 − 0.5µ0 ) + µ211 + µ0 + 0.25µ20 ≤ 1 − µ0 + 0.25µ20À ýòî âîçèîæíî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëèµ0 ≤ 0.Îïðåäåëåíèå. Ðàçíîñòíûé ìåòîä íàçûâàåòñÿ A(α)-óñòîé÷èâûì (α >0),åñëè îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè ýòîãî ìåòîäà ñîäåðæèò óãîë â ëåâîéïîëóïëîñêîñòè (µ0≤ 0).Çàìå÷àíèå.

ßâíûõ À(α)-óñòîé÷èâûõ ìåòîäîâ íå ñóùåñòâóåò. ÁûëèíàéäåíûA(α)-óñòîé÷èâûåìåòîäû 3ãî è 4ãî ïîðÿäêà.Äàëüíåéøåå îïðåäåëåíèå óñòîé÷èâîñòè è ïðèìåðû ðàçíîñòíûõ ñõåì.Èíòåãðèðîâàíèå æåñòêèõ ñõåì ÄÓ124Ðàññìîòðèì ïðèìåð ðàçíîñòíîé ñõåìû 4ãî ïîðÿäêà, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿA(α)-óñòîé÷èâîÿäëÿ íåêîòîðîãîα > 0:25yn+4 − 48yn+3 + 36yn+2 − 16yn+1 + 3yn= f (tn+4 , yn+4 )12τ.

Характеристики

Список файлов лекций