Н.И. Ионкин - Электронные лекции (2009) (1135239), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Ïóñòü ó íàñ åñòü äâå çàäà÷è:Lh yij = φij ,xij ∈ ωhLh Yij = Φijxij ∈ ωhÏóñòü íà ãðàíèöå âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ:yij ≤ Yij ,xij ∈ Γh|φij | ≤ Φij ,xij ∈ ωh|yij | ≤ Yij ,xij ∈ ωhÒîãäà âñþäó âûïîëíåíî:Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó ëèíåéíîñòè çàäà÷è äëÿ V:Lh Vij = Φij + φijLh ωij = Φij − φijÏðàâûå ÷àñòè îáîèõ óðàâíåíèé íå ìåíüøå íóëÿ â ñèëó âûøåóêàçàííûõóñëîâèé. À ýòî, â ñèëó äîêàçàííîãî óòâåðæäåíèÿ, îçíà÷àåò âûïîëíåíèåóñëîâèÿ, êîòîðîå òðåáîâàëîñü äîêàçàòü:|yij | ≤ Yij ,xij ∈ ωhÑõîäèìîñòü ðàçíîñòíîé çàäà÷è Äèðèõëå100Ïåðåïèøåì çàäà÷ó äëÿ ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè â âèäå:Lh Zij = ψijZij = 0,xij ∈ ωh(2)xij ∈ ΓhÄëÿ äîêàçàòåëüñòâà ñõîäèìîñòè ðàçíîñòíîé ñõåìû íåîáõîäèìî ïîäîáðàòü ìàæîðàíòóYòàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå:Lh Yij = K1 , K1 = const > 0Yáóäåì èñêàòü â âèäå:(i) 2(j) 2Yij = (l12 + l22 − (x1 ) − (x2 ) )K,ãäåK>0Yij Lh ≥ 0, xij ∈ ωhYij Lh = 4KÏîëîæèì4K = ||ψ||C :0 = |zij |Γh ≤ Yij |Γh ,4K = ||ψ||C ≥ |ψij |, xij ∈ ωh(|zij | ≤ Yij , zij ∈ ωh )l12 + l22||ψ||C ⇒ ||z||C =≤ M ||ψ||C4ψ = O(h21 + h22 ) ⇒ ||ψ||C ≤ M (l12 + l22 ) ⇒ ||z||C =≤ M 2 (h21 + h22 )||z||C ≤ Yij ≤ (l12 + l22 )K =Òåì ñàìûì, ìû äîêàçàëè ñëåäóþùóþ òåîðåìó:Òåîðåìà 1.
Ïóñòü U (x1 , x2 ) ∈ C 4 (D). Òîãäà ðàçíîñòíàÿ ñõåìà(3) - (4)ñõîäèòñÿ è èìååò ìåñòî îöåíêà:||yij − Uij ||C ≤ M1 (h21 + h22 )ÃäåM1íå çàâñèò îòh1èh2 .Äîêàçàòåëüñòâî. Èç ïîëó÷åííîé îöåíêè:||ψ||C ≤ M2 (h21 + h22 )||yij − Uij ||C ≤ M (l12 + l22 2)(h1 + h22 )4(3)Ìåòîäû ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé çàäà÷è Äèðèõëå4101Ìåòîäû ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîé çàäà÷è Äèðèõëåd2 u d2 u+= f (x1 , x2 ) ∈ Ddx21 dx22(1)U |Γu = µ(x1 , x2 )(2)Ðàçðåøèì ñèñòåìó îòíîñèòåëüíî öåíòðàëüíîãî óçëà:(22yi+1,j + yi−1,j yi,j+1 + yi,j−1+ 2 )yij =+− fij2h1 h2h21h22Áóäåì îáîçíà÷àòü èòåðàöèþ ïîä íîìåðîì(s)s − yij(3).Ïðîñòàÿ èòåðàöèÿ (ìåòîä ßêîáè)Ïîëó÷àåì ñëåäóþùèé èòåðàöèîííûé ïðîöåññ:(s)(s)(s)(s)22 (s+1) yi+1,j + yi−1,j yi,j+1 + yi,j−1=( 2 + 2 )yij+− fijh1 h2h21h22s = 0, 1, . .
.(s)yij = µij(0)yij − çàäàíîÄëÿ äîñòèæåíèÿ çàäàííîé òî÷íîñòè òðåáóåòñÿ ïîðÿäêà(N 2 ), ãäå N = max(N1 , N2 ).n0 () ∼ (h−2 ) ∼Ìåòîä Çåéäåëÿ(s+1)(s)(s+1)(s)22 (s+1) yi−1,j + yi+1,j yi,j−1 + yi,j+1( 2 + 2 )yij=+− fijh1 h2h21h22(s+1)yij= µij , s = 0, 1, . . .ïðè s = 0,yij0 − çàäàíîÎñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ðàçíîñòíûõ ñõåì. Àïïðîêñèìàöèÿ.Óñòîé÷èâîñòü.
Ñõîäèìîñòü.102Ïîêàæåì, êàê íàõîäèòü ðåøåíèå: Íà÷íåì ñ óçëà (1, 1), äàëåå äâèæåìñÿ ââåðõ äî (1, n), ïîòîì èç òî÷êè (2, 1) äâèæåìñÿ ââåðõ è ò.ä. Çäåñòáóäåò ðèñóíîê ìåòîäà. Ñ òî÷êè çðåíèÿ îðãàíèçàöèè àëãîðèòìà - íåçíà÷èòåëüíîå óñëîæíåíèå. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ñõîäèìîñòè ìåòîä àíàëîãè÷åíìåòîäó ßêîáè: äëÿ ïîëó÷åíèÿ òðåáóåìîé òî÷íîñòè òðåáóåòñÿ ïîðÿäêàn0 () ∼ O(N 2 )Ïîïåðåìåííî-òðåóãîëüíûé èòåðàöèîííûÿ ìåòîä (ìåòîä Ñàìàðñêîãî)Ïåðåïèøåì íàøó ñèñòåìó â âèäå ÑËÀÓ:Ay = φ, ãäå A∗ = A > 0, A = R1 + R20, 5a110......0 ...0, 5a22 0 . . .0 R1 = .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .am1am2 . . . . . . 0, 5amm0, 5a11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 00, 5a22 aij . . . . R2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .000, 5ammy (s+1) + y (s)+ Ay (s) = φτïàðàìåòðû, y0 çàäàíî. Ïðè(E + ωR1 )(E + ωR2 )Ãäåω > 0, τ > 0- èòåðàöèîííûåïðàâèëüíîéw(s+1) âû÷èñëÿåòñÿ ïî ÿâíûì ôîðìóëàì (òàê êàêîðãàíèçàöèè ïðîöåññàE + ωR1- íèæíÿÿ òðåóãîëüíàÿ ìàòðèöà):(E + ωR1 )w(s+1) = φ − Ay (s) (E + ωR2 )v (s+1) = w(s+1) y (s+1) = y (s) + τ v (s+1)τñõîäèòñÿ äëÿ ëþáûõ4Ïðè ýòîì n0 () ∼ O(N ).Ïðè5ω>y (0) .Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ðàçíîñòíûõ ñõåì.Àïïðîêñèìàöèÿ.
Óñòîé÷èâîñòü. Ñõîäèìîñòü.Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ëèíåéíóþ äèôôåðåíöèàëüíóþ çàäà÷ó:Lu(x) = f (x), x ∈ G(1)Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ðàçíîñòíûõ ñõåì. Àïïðîêñèìàöèÿ.Óñòîé÷èâîñòü. Ñõîäèìîñòü.103Ñ÷èòàåì, ÷òî êðàåâûå è íà÷àëüíûå óñëîâèÿ áóäóò ó÷èòûâàòüñÿ ëèáîâèäîì îïåðàòîðàL,ëèáî âèäîì ïðàâîé ÷àñòè. Ïðèíöèïèàëüíî, ÷òîëèíåéíûé ïåðàòîð. Ââåäåì íà ìíîæåñòâåGñåòêóGh ,ãäåhL-- íåêîòîðàÿx èç íåïðåðâûíîãî ïðåâðàùåòñÿ â äèñêðåòíîå:x ∈ Gh . Òåì æå îáðàçîì ñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ôóíêöèè y(x) åå ðàçíîñòíûé àíàëîã yh (x). Àíàëîãè÷íî ïîñòóïàåì ñ îïåðàòîðîì L : Lh yh =φ(x), x ∈ Gh . Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé B0 ñ íîðìîé ||u||0 è u(x) ∈ B0 . Ñîîòâåòñòâåííî Bh −äèñêðåòíîå íîðìèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî ñ íîðìîé ||u||h è uh (x) ∈ Bh .íîðìà øàãîâ ñåòêè.
ÒîãäàÎïðåäåëåíèå. Íîðìû B0 è Bh ñîãëàñîâàíû, åñëèlim ||uh ||h = ||u||0h→−0Åñëè íîðìû íåñîãëàñîâàíû, òî ðåøåíèå ðàçíîñòíîé ñõåìû ìîæåò ñõîäèòüñÿ ê ðåøåíèþ, êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì èñõîäíîé çàäà÷è. Ââå-Ph : B0 →− Bh .∀u ∈ B0 : Ph (u) = uh ∈ Bh .äåì îïåðàòîð ïðîåêòðîâàíèÿÒàêèì îáðàçîìÍàïðèìåð:G = {x : 0 ≤ x ≤ 1}.Gh = xi : xi = hi, i = 0, N , hN = 1, h =1> 0;NPh (u|xi ) : uh (xi ) = u(xi );Bh = {y = (y0 , y1 , . .
. , yN )};Ðàññìîòðèì ïðèìåðû íîðì:1.||u||C = maxx∈G |ux | = ||u||0Ñîãëàñîâàííàÿ ñ íåé íîðìà âBh :||y||C = max 0 ≤ i ≤ N |yi | = ||y||h ;R11/2||u||0 = ||u||L2 = ( 0 u2 (x)dx) ,Ñîãëàñîâàííàÿ ñ íåé íîðìà â Bh :2.1/2||y||h = ||u||L2NX=(yi2 h)i=0Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ðàçíîñòíûõ ñõåì. Àïïðîêñèìàöèÿ.Óñòîé÷èâîñòü. Ñõîäèìîñòü.3. Ïîêàæåì, ÷òî íîðìà104P2 1/2( Ni=0 yi )íå ñîãëàñîâàíà íè ñ îäíîé èç íîðì âB0 .Îò ïðîòèâíîãî: ïóñòüu(x) ≡ 1,òîãäà:1/2NX||uh ||h = (1)=√N +1i=0Òîãäà,||uh ||h −−→ ∞,h→0÷åãî áûòü íå ìîæåò.Îïðåäåëåíèå.
Ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿ zh (x) íàçûâàåòñÿ ïîãðåøíîñòüþ ðàçíîñòíîé ñõåìû:zh (x) = yh (x) − uh (x), x ∈ GhÎïðåäåëåíèå. Ñåòî÷íàÿ ôóíêöèÿ ψh (x) íàçûâàåòñÿ ïîãðåøíîñòüþ àïïðîêñèìàöèè ðàçíîñòíîé ñõåìû íà ðåøåíèè èñõîäíîé çàäà÷è:ψh (x) = φh (x) − Lh uh (x), x ∈ GhÎïðåäåëåíèå. Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà àïïðîêñèìèðóåò çàäà÷ó(1), åñëè:||ψh ||h →− 0, h →− 0.Îïðåäåëåíèå. Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà èìååò ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè k , åñ-∃M1 > 0, k > 0,||ψh ||h ≤ M1 hk .ëèêîòîðûå íå çàâèñÿò îòhè èìååò ìåñòî îöåíêà:Îïðåäåëåíèå.
Äèôôåðåíöèàëüíàÿ çàäà÷à íàçûâàåòñÿ ïîñòàâëåííîé êîððåêòíî, åñëè:1. ðåøåíèå çàäà÷è ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî,2. ðåøåíèå çàäà÷è íåïðåðûâíî çàâèñèò îòf (x).Îïðåäåëåíèå. Ðàçíîñòíàÿ ñõåìà íàçûâàåòñÿ êîððåêòíîé, åñëè ïðè âñåõäîñòàòî÷íî ìàëûõçàâècÿùàÿ îòh,h:1.∀φ(x)ðåøåíèå !∃, 2.∀M2 = const > 0, M2íå÷òî:||uh ||h ≤ M2 ||ψh ||h(2)Îöåíêà (2) íàçûâàåòñÿ àïðèîðíîé îöåíêîé è îçíà÷àåò óñòîé÷èâîñòüðàçíîñòíîé ñõåìû.Çàìå÷àíèå. Ñëåâà è ñïðàâà íå îáÿçàòåëüíî îäèíàêîâûå íîðìû.Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ðàçíîñòíûõ ñõåì.
Àïïðîêñèìàöèÿ.Óñòîé÷èâîñòü. Ñõîäèìîñòü.105Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî ðàçíîñòíàÿ ñõåìà ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþèñõîäíîé çàäà÷è (1), åñëè:||zh ||h = ||yh − uh ||h →− 0, h →− 0Îïðåäåëåíèå. Ãîâîðÿò, ÷òî ðàçíîñòíàÿ ñõåìà èìååò ïîðÿäîê òî÷íîñòèk,åñëè∃M3 = const > 0è íå çàâècÿùàÿ îòh,÷òî:||zh ||h ≤ M3 hkÒåîðåìà(Òåîðåìà Ôèëëèïîâà). Ïóñòü äèôôåðåíöèàëüíàÿ çàäà÷à êîð-ðåêòíî ïîñòàâëåíà è ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé ðàçíîñòíàÿ ñõåìà òàêæåêîððåêòíà. Òîãäà ðåøåíèå ðàçíîñòíîé çàäà÷è ñõîäèòñÿ ê ðåøåíèþ äèôôåðåíöèàëüíîé çàäà÷è ñ ïîðÿäêîì ïîãðåøíîñòè àïïðîêñèìàöèè.Äîêàçàòåëüñòâî.||yh ||h ≤ M2 ||φh ||h||zh ||h ≤ M2 ||ψh ||hM2íå çàâèñèò îò hÄàëåå:||ψh ||h ≤ M1 hk ,M1íå çàâèñèò îò hÏîëó÷àåì:||zh ||h ≤ M1 M2 hk = M3 hk ,M3||zh ||h = ||yh − uh ||h → 0íå çàâèñèò îò hïðèh→0Çàìå÷àíèå.
Ïóñòü ∃v : yh → v : ||yh − vh ||h → 0 ïðè h → 0. Òîãäà:||uh − vh ||h ≤ || − yh + uh ||h + ||yh − vh ||h → 0ïðèÅñëè íîðìà ñîãëàñîâàííàÿ, òî:lim ||uh − vh ||h = ||u − v||0 = 0 ⇒ u ≡ vh→0h→0Ãëàâà VÌåòîäû ðåøåíèÿ ÎÄÓ è ñèñòåìÎÄÓ1Ïðèìåðû ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøèdudt= f (t, u(t)),u(0) = u0 ;t > 0,(1)u(t) = (u1 (t), u2 (t), .
. . , um (t))Tf (t, u(t)) = (f1 (t, u(t)), f2 (t, u(t)), . . . , fm (t, u(t)))TÐàññìîòðèì ïàðàëëåëåïèïåäR = {|t| ≤ a, |u − u0 | ≤ b}Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ f(t, u) óäîâëåòâîðÿåò â R óñëîâèþ Ëèïøèöàïî âòîðîìó àðãóìåíòó, åñëè:|f (t, u) − f (t, v)| ≤ L|u − v|,L = constÏóñòü f(t, u) èç (1) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ëèïøèöà â R. Òîãäà ðåøåíèå (1) u(t) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî ïðè0 < t < T("â ìàëîì").Ïðîèíòåãðèðóåì ïåðâîå óðàâíåíèå èç (1) è ó÷òåì íà÷àëüíîå óñëîâèå:Ztu(t) = u(0) +f (x, u(x))dx0106Ïðèìåðû ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè107Íà ýòîì ïðåäñòàâëåíèè îñíîâàí ìåòîä Ïèêàðà:Ztf (x, un (x))dx,un+1 (t) = u(0) +n = 0, 1, .
. .0Ýòîò ìåòîä íå ìîæåò áûòü ýôôåêòèâíûì ìåòîäîì ðåøåíèÿ çàäà÷è (1),òàê êàê èíòåãðàë íå âñåãäà ìîæíî ïîñ÷èòàòü àíàëèòè÷åñêè, äà è ñõîäèìîñòü áûëà áû ìåäëåííîé. Ïîýòîìó äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåì ÎÄÓ ïðèìåíÿþòñÿ ðàçíîñòíûå ìåòîäû: ïåðâàÿ ãðóïïà ìåòîäîâ - ìåòîäû Ðóíãå-Êóòòà,âòîðàÿ - ìíîãîøàãîâûå ðàçíîñòíûå ìåòîäû (íàïðèìåð, ìåòîä Àäàìñà).Ââåäåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòüωτ :ωτ = {tn = nτ, τ > 0, n = 0, 1, . . . }Ïðèìåð.ßâíàÿ ñõåìà Ýéëåðà.Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:yn = y(tn ), f (tn , y(tn )) = fn .ëåðà èìååò âèä:Âûðàçèìyn+1yn+1 −ynτ= fn ,y(0) = u0 ;Òîãäà ÿâíàÿ ñõåìà Ýé-tn ∈ ωτ ,(2)èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ:yn+1 = yn + τ fnyn+1 ìîæíî íàéòè âu(tn ) ÷åðåç un . Ââåäåì ïîãðåøíîñòü zn = yn − un .Âñå êîìïîíåíòû â ïðàâîé ÷àñòè èçâåñòíû, òî åñòüÿâíîì âèäå. Îáîçíà÷èì|zn | ≤ M τ,M íå çàâèñèò îòτÒàêèì îáðàçîì, èìååì ïåðâûé ïîðÿäîê òî÷íîñòè ïîíîñòü àïïðîêñèìàöèèψníà ðåøåíèè èñõîäíîé çàäà÷è:ψn = −Ðàçëîæèìun+1τ . Çàïèøåì ïîãðåø-un+1 − un+ f (tn , un )τâ ðÿä Òåéëîðà â òî÷êåtn .Òîãäà:un+1 − unτ= u0n + u00n + O(τ 2 )τ2(3)Ïðèìåðû ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè108Ïîäñòàâèì ïîñëåäíåå âûðàæåíèå â (3):τψn = −u0n + f (tn , un ) − u00n + O(τ 2 )2Ó÷èòûâàÿ, ÷òî−u0n + f (tn , un ) = 0,îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì:ψn = O(τ )Ïðèìåð.Ñõåìà ¾ïðåäèêòîð-êîððåêòîð¿(ñõåìà Ðóíãå-Êóòòà).Îáîçíà÷èìtn + 0.5τ ÷åðåç tn+ 1 .2 y 1 −ynn+ 2 0.5τ= f (tn , yn ) ¾ïðåäèêòîð¿,yn+1 −yn= f (tn+ 1 , yn+ 1 ) ¾êîððåêòîð¿,22 0.5τy(0) = u0 ;(4)yn+1 = yn + τ f (tn+ 1 , yn + 0.5τ f (tn , yn ))2Äëÿ äàííîé ñõåìû èìååì:ψn = O(τ 2 )Ðàññìîòðèì îáùèé âèä äâóõýòàïíîãî ìåòîäà Ðóíãå-Êóòòà:yn+1 −ynτ= σ1 K1 + σ2 K2 ,K1 = f (tn , yn ),K2 = f (tn + a2 τ, yn + b21 τ fn ) = f (tn + a2 τ, yn + b21 τ K1 );(5)Çàïèøåì ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè (5) íà ðåøåíèè (1):ψn = −Ðàçëîæèìun+1 − un+ σ1 f (tn , un ) + σ2 f (tn + a2 τ, yn + b21 τ f (tn , un ))τun+1â ðÿä Òåéëîðà â òî÷êåtn .(6)Òîãäà:un+1 − unτ= u0n + u00n + O(τ 2 )τ2Äàëåå ðàçëîæèìf (tn +a2 τ, yn +b21 τ f (tn , un )) â îêðåñòíîñòè òî÷êè (tn , un ):f (tn +a2 τ, yn +b21 τ f (tn , un )) = f (tn , un )+∂fn∂fna2 τ +b21 τ f (tn , un )+O(τ2 )∂t∂uÄàëåå:d2 und∂fn ∂fn= (f (t, un (t))) =+fn2dtdt∂t∂uÏðèìåðû ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ çàäà÷è ÊîøèψnÏåðåïèøåì òåïåðü109ñ ó÷åòîì ïðîâåäåííûõ ïðåîáðàçîâàíèé:∂fn ∂fn0ψn = − un + 0.5τ+fn+ σ1 f (tn , un ) + σ2 f (tn , un )+∂t∂u+σ2∂fn∂fna2 τ + σ2b21 τ f (tn , un ) + O(τ 2 ) =∂t∂u0= −un + (σ1 + σ2 )f (tn , un )+∂fn∂fn+ ((σ2 b21 − 0.5))b21 τ f (tn , un ) + O(τ 2 )+τ (σ2 a2 − 0.5)∂t∂uÏîòðåáóåì, ÷òîáû áûëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:1.σ1 + σ2 = 12.σ2 a2 = σ2 b21 = 0.5(óñëîâèå àïïðîêñèìàöèè)(äëÿ òîãî, ÷òîáû äîñòè÷ü âòîðîãî ïîðÿäêà àï-ïðîêñèìàöèè)Åñëè âûïîëíåíî òîëüêî óñëîâèå 1, òî ψn = O(τ ), à åñëè âûïîëíåíû îáà2óñëîâèÿ, òî ψn = O(τ ).
Ïîëîæèì σ2 = σ , a σ1 = 1 − σ , òîãäà óñëîâèå 1àâòîìàòè÷åñêè âûïîëíåíî.  ïîñëåäíåì ïðèìåðå ïàðàìåòðû èìåëè ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ:a2 = b21 = 0.5, σ = 1.Åñëè âçÿòüσ = 0.5, b21 = a2 = 1,òî ïîëó÷èì ñèììåòðè÷íóþ ñõåìó:yn+1 − yn= 0.5(f (tn , yn ) + f (tn+1 , yn+1 ))τÎáùèé m-ýòàïíûé ìåòîä Ðóíãå-ÊóòòàÐàññìîòðèì îáùèé m-ýòàïíûé ìåòîä Ðóíãå-Êóòòà:yn+1 − yn= σ1 K1 + σ2 K2 + · · · + σm KmτmXσi = 1 óñëîâèå àïïðîêñèìàöèèi=1K1 = f (tn , yn )K2 = f (tn + a2 τ, yn + b21 τ K1 )K3 = f (tn + a3 τ, yn + b31 τ K1 + b32 τ K2 )Îöåíêà òî÷íîñòè íà ïðèìåðå 2-õ ýòàïíîãî ìåòîäà Ðóíãå-Êóòòà110...Km = f (tn + am τ, yn + bm1 τ K1 + bm2 τ K2 + · · · + bmm−1 τ Km−1 )Íà ïðàêòèêå ðåäêî èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû Ðóíãå-Êóòòà äëÿm > 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
