Основные формулы и методы ДУрЧП (1134182)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Îñíîâíûå îðìóëû è ìåòîäû ÄÓð×ÏÎçåðîâ Ñåðãåé, 302 ãðóïïà27 ìàÿ 2004 ãîäà0.1åøåíèå ÄÓð×Ï ìåòîäàìè ïÿòîãî ñåìåñòðàÎáùèé âèä ÄÓð×Ï âòîðîãî ïîðÿäêà, ðàññìàòðèâàåìûõ â êóðñå ñëåäóþnnPP2u∂uaij (x) ∂x∂i ∂y+bi (x) ∂x+ c(x)u = f (x). àññìàòðèâàþòñÿ îíèùèé:jii,j=1i=1nïðàêòè÷åñêè âñåãäà íàä R è êðàéíå ðåäêî íàä C êàêèå áû ïðîìåæóòî÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ íàä ïîëåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë íå èñïîëüçîâàëèñü. ÏåðnPâîå ñëàãàåìîå íàçûâàåòñÿ êâàäðàòè÷íîé îðìîé Q(ξ) =aij (x)ξi ξj , ãäåi,j=1∂ξi = ∂xè êàê èçâåñòíî èç ëèíåéíîé àëãåáðû, ïîäõîäÿùåé çàìåíîé ïåðåìåíi22222íûõ ïðèâîäèòñÿ ê âèäó Q(ν) = ν1 + ν2 + ... + νs − νs+1 − ...

− νs+k . Èìåííîâ ýòèõ êîîðäèíàòàõ è ïðîâîäèòñÿ ðåøåíèå ÄÓð×Ï.Êëàññèèêàöèÿ ÄÓð×Ï: åñëèk = 0,òî óðàâíåíèå ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà(íàïðèìåð, ê ýëëèïòè÷åñêèì îòíîñÿòñÿ óðàâíåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ). Åñëèk = 1, s > 0,òî ãîâîðÿò î óðàâíåíèè ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà(ñþäà óõîäÿò âñåâîçìîæíûå óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå êîëåáàòåëüíûå ïðîöåññû); åñëèk > 1, s > 0 òî ãîâîðÿò î óëüòðàãèïåðáîëè÷åñêîì òèïå. Ïàðàáîs = 1, k = n − 1,n-ì ñâîáîäíîì ÷ëåíå óðàâíåíèÿ (âòîðîå ñëàãàåìîå èç îáùåãîëè÷åñêèé (â óçêîì ñìûñëå) òèï óðàâíåíèé âîçíèêàåò ïðèïðè÷åì ïðèîïðåäåëåíèÿ ÄÓð×Ï) ñòîèò íåíóëåâîé êîýèöåíò (âîçíèêàåò â óðàâíåíèÿõ òåïëîïðîâîäíîñòè).Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè â îáëàñòè Ω - ut (x, t) = a(x, t)△u+f (x, t) Ω×(0, ∞) , îáû÷íî äîïîëíÿåìîå ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè âèäà: ut (x, t) = a(x, t)△u + f (x, t) Ω × (0, ∞)u(x, 0) = u0 (x) Ω.u(x, t) = u1 (x) ∂ΩÏðè t → ∞ ïàðàáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè ïåðåéäåò â áîëåå ïðîñòîå ýëëèïòè÷åñêîå óðàâíåíèå ñòàöèîíàðíîãî òåïîëîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ△u + f (x) = 0.Óðàâíåíèå êîëåáàíèé íàòÿíóòîé ñòðóíû (ãèïåðáîëè÷åñêèé òèï) -kuxx (x, t) + f (x, t),âèÿìè, ÷òî è óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè.Àêêóðàòíî ïåðåïèøåì åãî â∂ 2∂x∂∂y2 utt −uxx = 0, òî åñòü−u=∂∂∂∂âèäå∂x − ∂y∂x + ∂y u = 0.

Èùåì çà-Ïðèìåð: ïóñòü çàäàíî óðàâíåíèå0.utt (x, t) =îáû÷íî äîïîëíÿåìîå òåìè æå ñàìûìè ãðàíè÷íûìè óñëî-1∂ξ = ∂t − ∂xξ = ξ(x, y), îòêóäà (ñ ó÷åòîì) ïîëó∂ν = ∂t + ∂xν = ν(x, y)∂ξ = tξ ∂t + xξ ∂x = ∂t + ∂xtξ = 1, xξ = 1÷àåì⇒, à èç ýòîé ñèñòå∂ν = tν ∂t + xν ∂x = ∂t − ∂xtν = 1, xν = −1ìû òðèâèàëüíî âûâîäèòñÿ, ÷òî t = ν − ξ, x = ν − ξ (ñîáñòâåííî, äî ýòîéìåíó â âèäå(ξ, ν) :çàìåíû ìîæíî áûëî è òàê äîãàäàòüñÿ). Ïîñëå çàìåíû ïåðåìåííûõ ïî ýòî-ìó ïðèíöèïó ïîëó÷èì óðàâíåíèå ∂ξ ∂ν u = 0 ⇒ ∂ν u = w(ξ) ⇒ u(ξ, ν) =Rνw(ξ)dν + g(ξ) = f (ν) + g(ξ), ãäå f è g - ïðîèçâîëüíûå äèåðåíöèðóåìûå0óíêöèè.

Òî åñòü óðàâíåíèå êîëåáàíèé íàòÿíóòîé ñòðóíû â äàííîì ñëó÷àåäàåò ðåøåíèå â âèäå äâóõ âîëí, ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ â ðàçíûå ñòîðîíûïî ñòðóíå:u(x, t) = f (t − x) + g(t + x).auxx + 2buxy + cuyy +dux + euy + f u ñ ïîñòîÿííûìè êîýèöèåíòàìè, íàä êîòîðûì îñóùåñòâëÿåòñÿ çàìåíà ξ = ξ(x, y); ν = ν(x, y). Òîãäà ðåçóëüòèðóþùåå óðàâíåíèåˆ x + êuy + f u èìååò êîýèöèåíòû, îïðåäåëÿåìûåâuxx + 2b̂uxy + ĉuyy + duÇàìå÷àíèå: ïóñòü äàíî óðàâíåíèå ñ ëåâîé ÷àñòüþïî îðìóëàì:â = aξx2 + 2bξx ξy + cξy2b̂ = aξx νx + b (ξx νy + ξy νx ) + cξy νyĉ = aνx2 + 2bνx νy + cνy2dˆ = aξxx + 2bξxy + cξyy + dξx + eξyê = aνxx + 2bνxy + cνyy + dνx + eνy×àñòî ÄÓð×Ï óäàåòñÿ ðåøàòü, ðàçëàãàÿ ðåøåíèå â ðÿä ïî íåêîòîðûìäîñòàòî÷íî õîðîøèì óíöèÿì, ïîäîáðàííûõ òàê, ÷òîáû äèåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð îò ðàçëîæåíèÿ â ðÿä ïî ýòèì óíêöèÿì äàâàë áû ðÿä òàêîãîæå âèäà (ïî òåì æå óíêöèÿì).

Íàïðèìåð, ðàññìîòðèì ïåðâóþ ñìåøàííóþçàäà÷ó äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè: ut (x, t) = a(x, t)△u + f (x, t) (0, π) × (0, ∞)u(x, 0) = u0 (x).u(0, t) = u(π, t) = 0Î÷åâèäíî, ÷òî íà (0, π) ëþáàÿ óíêöèÿ ðàçëàãàåòñÿëåå òîãî - ñ ó÷åòîì ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (íîëü â x = 0â ðÿä Ôóðüå, áîè âx = π ),ëþ-áàÿ óíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ ýòèì óñëîâèÿì ðàçëàãàåòñÿ â ðÿä Ôóðüå∞Pïî ñèíóñàì: u(x, t) =ck (t)sin(kx), ïîñëå ïîäñòàíîâêè â ÄÓ ïîëó÷èòk=1∞∞PPñÿc′k (t)sin(kx) = −k 2 ck (t)sin(kx).

Èç åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿk=1k=1óíêöèè â ðÿä Ôóðüå î÷åâèäíî ñëåäóåò, ÷òî íåèçâåñòíûå êîýèöèåíòû2ck (t) ñëåäóåò èñêàòü â âèäå c′k (t) = −k 2 ck (t) ⇒ ck (t) = ck e−tk , è ðåøå∞P2ck e−tk sin(kx) (íåèçâåñòíûåíèå ÄÓð×Ï çàïèñûâàåòñÿ â âèäå u(x, t) =k=1êîýèöåíòû ck èùóòñÿ èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé).20.2Ïðîñòðàíñòâà îáîáùåííûõ óíêöèéÑòàíäàðòíûì ïðîñòðàíñòâîì îáîáùåííûõ óíêöèé â ÄÓð×Ï ïîëàãàåòñÿD′ (Ω) - ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ëèíåéíûõ óíêöèîíàëîâ íàä ïðîñòðàí∞ñòâîì ãëàäêèõ èíèòíûõ óíêöèé íàä ìíîæåñòâîì Ω: D (Ω) = {f ∈ C(Ω) |Ñõîäèìîñòü â∀s suppϕs ⊂ KèD (Ω) çàäàåòñÿ òàêèì îáðàçîì: ϕs → ϕ∀n kϕ − ϕs kC m (Ω) → 0 ïðè s → ∞.åñëèsuppf ⋐ Ω}.∃K ⋐ Ω :Íîðìó ìîæíî ââîäèòü íåñêîëüêèìè ñïîñîáàìè, íî ñòàíäàðòíûì ÿâëÿåòPñÿ kψkD ′ (Ω) = supx∈Ω|∂ α ψ (x)|, çäåñü α áåðåòñÿ èç ïðîñòðàíñòâà èíäåê|α|≤m⋗ñîâ N , |α| = α1 + ... + αm , ÷àñòíîå äèåðåíöèðîâàíèå ïî α ñîîòâåòñòâóåò÷àñòíîìó äèåðåíöèðîâàíèþ ïî êàæäîé k-é ïåðåìåííîé ñ ïîðÿäêîìαkèò.ä.D′ (Ω) ëåãêî âëîæèòü L1loc (Ω) - âñåëîêàëüíî-èíòåãðèðóåìûå óíêöèè íà Ω (â ÷àñòíîñòè, âñå íåïðåðûâíûå è1êóñî÷íî-íåïðåðûâíûå óíêöèè), ñîïîñòàâèâ êàæäîé f ∈ Lloc (Ω) óíêöèîRíàë ϕ, äåéñòâóþùèé íà ψ ∈ D (Ω) ïî îðìóëå (ϕ, ψ) =ϕψdx.

ÍåòðóäíîÍåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî âΩïðîâåðèòü, ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíî íåïðåðûâíûé ëèíåéíûé óíêöèîíàë íàD (Ω), ïðè÷åì ñõîäèìîñòü â L1loc (Ω) âëå÷åò çà ñîáîé ñõîäèìîñòü ñîîòâåòñòâó′þùèõ óíêöèîíàëîâ â D (Ω), òî åñòü âëîæåíèå ïîëíîöåííîå - óíêöèè1èç Lloc (Ω) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáîáùåííûå.Ëþáóþ îáîáùåííóþ óíêöèþ ìîæíî äèåðåíöèðîâàòü è ñëåäîâàòåëüíî ëþáàÿ îáîáùåííàÿ óíêöèÿÄèåðåíöèðîâà ∞ðàç äèåðåíöèðóåìà.∂g∂fíèå ïðîâîäèòñÿ ïî îðìóëå(g áåñêîíå÷íî ãëàäêàÿ ïî∂x , g = − f, ∂xîïðåäåëåíèþ).

Ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå îáîáùåííîãî äèåðåíöèðîâàíèÿ äëÿ îáû÷íûõ óíêöèé ïðèâîäèò ê òåì æå ðåçóëüòàòàì, ÷òîè îáû÷íîå äèåðåíöèðîâàíèå, ïîýòîìó îïðåäåëåíèå åñòåñòâåííî.Ïåðåìíîæàòü îáîáùåííûå óíêöèè, ê ñîæàëåíèþ, ìîæíî íå âñåãäà. Îä-íàêî îáîáùåííóþ óíêöèþ âñåãäà ìîæíî óìíîæèòü íà îáû÷íóþ ïî îð′∞ìóëå: åñëè f ∈ D (Ω) , ψ ∈ C(Ω), òî (f ψ, ϕ) = (f, ψ ϕ)- î÷åâèäíî, ÷òîýòî îïðåäåëåíèå äëÿ îáû÷íûõ óíêöèé ñîâïàäàåò ñ îáû÷íûì óìíîæåíèåì.Äëÿ óìíîæåíèÿ îáîáùåííûõ óíêöèé ñïðàâåäëèâà êëàññè÷åñêàÿ îðìó′′′ëà (f g) = f g + f g . Äëÿ çàìåíû ïåðåìåííûõ òîæå ñïðàâåäëèâà ïðèâû÷íàÿ îðìóëà (f (x (y)) , ϕ (x)) =f (y) , ϕ (x (y)) det ∂x∂y .Íîñèòåëü îáîáùåííîé óíêöèè ìîæíî îïðåäåëèòü ïî îðìóëå suppf =SΩ\w. Ýòî çàìêíóòîå ìíîæåñòâî, ñîâïàäàþùåå äëÿ îáû÷íûõ óíêöèéf |w =0ñ îáû÷íûì îïðåäåëåíèåìsupp.Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå (èëè, ñîîòâåòñòâåííî, ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå)îïðåäåëÿåòñÿ äëÿ ëþáîé îáîáùåííîé óíêöèè òî÷íî òàê æå, êàê è äëÿîáû÷íûõ óíêöèé, òîëüêî â êà÷åñòâå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ f íà áàçèñikϕíûå óíêöèè eáåðåòñÿ äåéñòâèå f íà ñîîòâåòñòâóþùóþ óíêöèþ.

Ñíîâàîáîáùåííîå ÏÔ äëÿ îáû÷íûõ óíêöèé ñîâïàäàåò ñ îáû÷íûì.  îòëè÷èåîò îáû÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, êîòîðîå îïðåäåëåíî íå äëÿ âñåõ óíê-3öèé, îáîáùåííîå ÏÔ îïðåäåëåíî è ðàáîòàåò (â ÷àñòíîñòè, äàåò ñõîäÿùèéñÿ ðÿä) äëÿ ëþáîé îáîáùåííîé óíêöèè. Áîëåå òîãî, ÏÔ åñòü íåïðåðûâíûé îáðàòèìûé ëèíåéíûé îïåðàòîð íà ïðîñòðàíñòâå îáîáùåííûõ óíêöèéD′ (Ω). Òî åñòü ñõîäèìîñòü ÏÔ óíêöèè è ñàìîé óíêöèè ðàâíîñèëüíà èâ ëþáûõ îáñòîÿòåëüñòâàõ ìîæíî çàìåíèòü ðàññìîòðåíèå óíêöèè íà ðàññìîòðåíèå å¼ óðüå-îáðàçà.

Îáîçíà÷åíèå ïðÿìîãî óðüå-ïðåîáðàçîâàíèÿîáðàòíîãîfˇÍåêîòîðûå ñâîéñòâà ÏÔ:ˆˆ ) = −i(fˆ)′ ; (fˆ′ ) = −ixfˆ.fˆ = −f ; (xffb,Ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèå ñîõðàíÿåò ÷åòíîñòü è íå÷åòíîñòü óíêöèé. Äëÿ äåéñòâèòåëüíîçíà÷íûõ óíêöèéfb(−x) = fˆ (x).Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå îáîáùåííûõ óíêöèé îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì(f × g, ϕ (x, y)) = (f (x) , (g (y) , ϕ (x, y))) = (g (y) , (f (x) , ϕ (x, y))) (ïðî-âåðÿåòñÿ, ÷òî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî).Ñâ¼ðòêà îïðåäåëåíà íå äëÿ âñåõ îáîáùåííûõ óíêöèé.  åãî îïðåäåëåíèè äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå ñâåðòûâàåìûõ óíêöèé äåéñòâóåò íà óíêöèþϕ (x + y)èç C ∞ Ω2 , à ýòà óíêöèÿ, â îòëè÷èè îò èñõîäíîé ϕ (x), èìåþ-ùåé êîìïàêòíûé íîñèòåëü, êîìïàêòíîãî íîñèòåëÿ, êàê ïðàâèëî, èìåòü íå2áóäåò, ò.å.

â D Ω íå ïîïàäåò è äåéñòâèå íà íåé îïðåäåëèòü íå ïîëó÷àåò-ñÿ. ×òîáû îáîéòè ýòî îãðàíè÷åíèå ðàññìàòðèâàþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ηs2èç D Ω- êîìïàêòíûå èñ÷åðïàíèÿ åäèíèöû (ò.å. ηs → 1): ïîñëåäîâàòåëü2íîñòü ϕηs óæå ëåæèò â D Ω , ϕηs → ϕ è åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü ïðåäåëS = lim (f × g, ϕ (x + y) ηs (x, y)).

Åñëè ïîñëåäíèé ñóùåñòâóåò ∀ηs è íå çàs→∞âèñèò îò ηs , òî ãîâîðÿò, ÷òî ñâåðòêà f ⋆ g îïðåäåëåíà íà ϕ è ðàâíÿåòñÿ S .Ñòðîãî ãîâîðÿ, ÷òîáû ãîâîðèòü, ÷òî f ⋆ g ñóùåñòâóåò, íóæíî, ÷òîáû f ⋆ gñóùåñòâîâàëà äëÿ âñåõ ϕ ∈ D (Ω). Äëÿ îáû÷íûõ óíêöèé, ñâîðà÷èâàþRùèõñÿ â òðàäèöèîííîì îïðåäåëåíèè f ⋆ g (x) =f (x − y) g (y) dy îáîáùåíΩíàÿ ñâåðòêà ñóùåñòâóåò è ñîâïàäàåò ñ îáû÷íîé. Ïðèìåð íåñâîðà÷èâàþùèõñÿóíêöèé:1⋆1- ïðè íåêîìïàêòíîìΩñâåðòêà íå ñóùåñòâóåò íè â îáû÷íîì,íè â îáîáùåííîì ñìûñëå.Ïðåäåëüíûé ïåðåõîä: åñëègs → gè∀s ∃f ⋆ gs è ∃f ⋆ g , òî f ⋆ gs → f ⋆ g(f ⋆ g) ñóùåñòâóåò, òî ñóùåÄèåðåíöèðîâàíèå ñâ¼ðòêè.

Åñëè ñâåðòêàñòâóþò ñâåðòêè∂f∂x , gè∂gf, ∂x,∂∂x(f ⋆ g) =√f[⋆ g = 2π fˆ · ĝ ;ïðè÷åì∂f∂x , g∂g= f, ∂x.fd·g =Ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèå ñâ¼ðòêè:àíàëîãè÷íî√1 fˆ ⋆ ĝ2πÄåëüòà-óíêöèÿ Äèðàêà: ïî îïðåäåëåíèþ ïîëàãàþò (δ, ϕ) = ϕ (0). Ëåãêî′ïðîâåðèòü, ÷òî δ (x) = H (x), ãäå H - òýòà-óíêöèÿ Õýìèñàéäà H (x) =R1, x ≥ 00, x < 0è, êàê ñëåäñòâèå,åñòü 1. Ñâ¼ðòêàf ⋆δ =fH (x) = 0âñþäó êðîìå 0, à èíòåãðàë îòδïîñóùåñòâóåò âñåãäà.(k)Ïðîèçâîäíûå äåëüòà-óíêöèè Äèðàêà(k)k-é ïðîèçâîäíîé äåëüòà-óíêöèè f ⋆ δδ (x) , ϕ = ϕ(k) (0); ñâåðòêà ñ= f (k) - ñîîòâåòñòâóåò îïåðàòîðóäèåðåíöèðîâàíèÿ, ñóùåñòâóåò âñåãäà.Ôóðüå-ïðåîáðàçîâàíèå è äåëüòà-óíêöèè:4ˆ = xkδ̂ = 1; 1̂ = δ ; δ (k)è îáðàò-ixt = (1 + i) δ (x − t) + (1 − i) δ (x + t),xˆk = δ (k) . Áàçèñíûå óíêöèè ed\\cos (xt) = δ (x − t) + δ (x + t), sin (xt) = δ (x − t) − δ (x + t).íî,0.3Ïðèìåíåíèå îáîáùåííûõ óíêöèé ê ðåøåíèþ ÄÓð×ÏÏðèìåð ïðèìåíåíèÿ ê ðåøåíèþ îáû÷íûõ ÄÓ: ïóñòü çàäàí äèåðåíöèLF = F (n) + cn−1 F (n−1) + ...

+ c0 F è çàäàíî äèå-àëüíûé îïåðàòîðLF = f . Òîãäà èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ÏÔ, ïîëó÷èìnn−1P (x) = (ix) + cn−1 (ix)+ ... + c0 - ïîëèíîì. Îò-ðåíöèàëüíîå óðàâíåíèåd = F̂ P (x) = fˆ,LFãäåñþäà, î÷åâèäíî, îáùåå ðåøåíèå çàïèñàííîãî ÄÓ (îäíîãî èç íàèáîëåå îáùèõ −1 fˆ:-)) - ýòî F = FP , ãäå F - îïåðàòîð Ôóðüå.Ïðèìåíåíèå îáîáùåííûõ óíêöèé ê çàäà÷å Êîøè ñ ãðàíè÷íûìè óñëî+(n)âèÿìè: ïóñòü, íàïðèìåð, çàäàíî óðàâíåíèå â Râèäà F+ cn−1 F (n−1) +(k)... + c0 F = f (x), ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè F (0) = ak .

Ïðàâóþ ÷àñòü ìîæíî çàìåíèòü íàf¯ (x) = f (x) θ (x) + ...,ãäå ìíîãîòî÷èå çàìåíÿåò íåêîòîðóþñóììó äåëüòà-óíêöèé, ïîäîáðàííûõ ñïåöèàëüíûì îáðàçîì - òàêèì, ÷òî çà(n)+ cn−1 F (n−1) + ... + c0 F = f¯ (x), ðåøàåìûìäà÷à ïåðåïèøåòñÿ â âèäå F−+â R è áåç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â Rè Rïðîáëåì ñ òàêîé ïåðåîðìóëèðîâêîé íå âîçíèêàåò (ñëåâà - òîæäåñòâåííûé íîëü, ñïðàâà- èñõîäíàÿ óíêöèÿ), òðåáóåòñÿ ëèøü ÷òîáû âñ¼ áûëî õîðîøî â 0. Äåé+ñòâèòåëüíî, ðàç ðàññìàòðèâàåòñÿ F â R , òî òîãäà F ìîæíî çàìåíèòü íàθF è ïîïðîáîâàòü ïåðåéòè ê R.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)