Основные формулы и методы ДУрЧП (1134182), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Ïîäñòàâëÿÿ â èñõîäíîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èìF δ (n−1) +...+F δ +F θ+F (1)δ (n−2) +...+F (1) θ+... = f θ+..., ãäå ... - íåêîòîðàÿ(k) (l)ñóììà Fδ , êîòîðàÿ, î÷åâèäíî, ïî ñâîéñòâàì äåëüòà-óíêöèè, çàâèñèòk+lòîëüêî îò çíà÷åíèÿ Fâ òî÷êå 0. Ýòè çíà÷åíèÿ íàì èçâåñòíû - ýòî è åñòüãðàíè÷íûå óñëîâèÿ.′′Ïðèìåð: äëÿ F+ c1 F ′ + c2 F = f èìååì F ′′ θ + 2F ′ δ + F δ ′ + c1 F ′ θ +c1 F δ + c2 F θ = f θ + F (0)δ ′ + (2F ′ (0) + c1 ) δ = f θ + a0 δ ′ + (2a1 + c1 ) δ .

Òî′′′+åñòü îò F + c1 F + c2 F = f â R ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ìîæíî ïåðåéòè(k)′′ê ðåøåíèþ F(0) = ak ê F + c1 F ′ + c2 F = f¯ â R áåç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé′¯(çäåñü f - êàê ðàç ïîñ÷èòàííîå f θ + a0 δ + (2a1 + c1 ) δ ëþáîì ñëó÷àå óêàçàííûé ïåðåõîä ïîçâîëÿåò èçáàâèòñÿ â ÄÓ îò ãðàíè÷íûõ óñëîâèé è ïåðåéòè ê ðåøåíèþ îáûêíîâåííîãî ÄÓ.Lu = f , ãäå L - äèåðåíöèàëüíûéξ - óíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, òî åñòü ðåøåíèå ÄÓ Lξ = δ . Òîãäà ïî ñâîéñòâàì ñâåðòêè L (u ⋆ ξ) = Lu ⋆ ξ = f ⋆ ξè îäíîâðåìåííî L (u ⋆ ξ) = u ⋆ Lξ = u ⋆ δ = u.

Îòñþäà u = f ⋆ ξ - ðåøåíèå èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ. Èñêàòü óíäàìåíòàëüíîå ðåøåíèå Lξ = δ ëåãÎáùèé ïîäõîä ê ðåøåíèþ ÄÓ âèäàîïåðàòîð: ïóñòüêî, åñëè çàìåòèòü, ÷òî ýòî óðàâíåíèå (ïî àíàëîãèè ñ ïðåäûäóùèì ìåòî+äîì) ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ Lξ¯ = 0 â R ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè′ξ(0) = 0, ξ (0) = 1 è ïîëàãàíèþ ξ = θξ .Äâà ïîñëåäíèõ îïèñàííûõ ìåòîäà ïðèìåíèìû è äëÿ ìíîãîìåðíîãî ñëó÷àÿ.

àññóæäåíèÿ â ýòîì ñëó÷àå ïðîâîäÿòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, çà÷à-5ñòóþ - òîëüêî äëÿ ÷àñòè ïåðåìåííûõ (íàïðèìåð, òîëüêî äëÿ îäíîé ïåðåìåííîé èç äâóõ).Ïðèìåð: äëÿ óðàâíåíèÿòàëüíîå ðåøåíèå (ðåøåíèå△v = f â ïðîñòðàíñòâå Rn , n > 2 óíäàìåí11△v = δ ) ξ(x) = − σn−1, ãäå σn - ïëîùàäü|x|n−2n-ìåðíîé ñåðû ðàäèóñà 1. Ñîîòâåòñòâåííî ðåøåíèå èñõîäíîãî óðàâíåíèÿáóäåòv = f ⋆ ξ.Îáîáùåííûé ïðèíöèï ìàêñèìóìà: ïóñòüΩ.△u ≥ 0 Ωu |∂Ω ≤ 0, òîãäàu ≤ 0âÄëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõóðàâíåíèé ñïðàâåäëèâ óñèëåííûé ïðèíöèï ìàê△u − ut ≥ 0 Ω, ãäå- ñîáñòâåííàÿ ïàðàáîëè÷åñêàÿ ãðàíèöàu |≤ 0(∂Ω \ w, ãäå w - âåðõíÿÿ êðûøêà Ω, òî åñòü ìíîæåñòâî òî÷åê (x, t) òàêèõ,n÷òî ∃ε, h : Bε (x) × (t, t + h) ⊂ R \ Ω, à Bε (x) × (t, t − h) ⊂ Ω.ñèìóìà:ÔîðìóëàÏóàññîíà: ïóñòü çàäàíî äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèåut = a2 △u + f (x, t) Rn × (0, ∞).u(x, 0) = u0 (x)Òîãäà ðåøåíèå ýòîãî ÄÓ çàïèñûâàåòñÿ â ÿâíîì âèäå êàê|x−ξ|2Rt RR|x−ξ|− 4a2 (t−τ )f (ξ,τ ) ”“ √u(x, t) =dξdτ + 2a√1πt n u0 (ξ)e− 4a2 t dξne() Rn0 R⋉ 2a π(t−τ )6.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)