Б.М. Гуревич - Программа экзамена по случайным процессам (1134152)
Текст из файла
Программа экзамена по случайным процессамЛектор — Б. М. ГуревичVI семестр, 2005 г.1. Общее определение случайной функции и случайного процесса. Теорема Колмогорова о существованиислучайной функции с заданной системой конечномерных распределений (формулировка). Существованиеслучайной функции c независимыми значениями и заданными одномерными распределениями ([В, § 5.1],[ГС, гл. 1 §1]).2. Существование гауссовского процесса с заданными математическим ожиданием и ковариационной функцией. Определение и доказательство существования винеровского процесса ([Л], [В, §5.1]).3.
Определение и свойства ковариационной функции случайного процесса. Критерии существования пределаи среднеквадратической непрерывности случайного процесса, выраженные в терминах ковариационнойфункции ([Л], [В, §1.3, §2.1]).4. Среднеквадратическое интегрирование случайного процесса (аналог интеграла Римана). Интегрируемостьнепрерывного процесса ([Л]).5. Ортогональная векторная мера и интеграл скалярной функции по такой мере. Cтохастический интегралпо ортогональной случайной мере как частный случай. Ортогональная случайная мера, построенная попроцессу с ортогональными приращениями.
Ортогональная случайная мера на R, построенная по винеровскому процессу ([Л], [БШ, гл. 7 §§ 1–7], [В, §2.2], [К, §7]).6. Случайные процессы, стационарные в широком и узком смысле; различие этих двух понятий в общемслучае (примеры) и совпадение — в гауссовском. Спектральное представление ковариационнной функции,спектральная мера и спектральная плотность процесса (теоремы Бохнера – Хинчина и Герглотца: формулировка) ([В, §4.1], [ГС, гл. 1 §5]).7. Спектральное представление стационарного в широком смысле случайного процесса ξt как изоморфизмпространства L2 по спектральной мере и пространства случайных величин, натянутого на все ξt ([В, §4.2]).8.
Представление стационарного в широком смысле случайного процесса в виде интеграла по ортогональнойслучайной мере ([Л], [В, §2.2]).9. Эргодическая теорема для стационарного в широком смысле случайного процесса с дискретным и непрерывным временем ([Л], [БШ, гл. 7 §10], [В, §4.2]).10. Условия применимости закона больших чисел к стационарному в широком смысле случайному процессу,выраженные в терминах спектральной меры ([Л], [В, §4.1, §4.2]).11. Спектральное условие среднеквадаратической дифференцируемости стационарного в широком смыслеслучайного процесса ξt . Спектр процесса ξt′ ([Л], [В, §4.2]).12. Построение процесса Орнштейна – Уленбека с помощью стохастического интеграла по ортогональной случайной мере, отвечающей винеровскому процессу ([Л], [БШ, гл.
8 §13]).13. Процесс, построенный по последовательности независимых показательно распределенных случайных величин: условное распределение моментов скачка, лежащих на отрезке [0, t], при условии, что число скачковравно n ([Л]).14. Процесс, построенный по последовательности независимых показательно распределенных случайных величин как пуассоновский процесс ([Л]).15. Различные виды непрерывности случайного процесса; примеры, иллюстрирующие их несовпадение. Критерий существования непрерывной модификации случайного процесса на отрезке ([Л], [В, §5.2]).16.
Теорема Колмогорова о существовании непрерывной модификации случайного процесса на отрезке. Непрерывная модификация винеровского процесса на полупрямой ([Л], [В, §5.2], [К, §8]).17. Вывод равенства lim Wt t = 0 (Wt — винеровский процесс) из теоремы существования непрерывной модиt→∞фикации ([Л]).18. Доказательство равенства limt→∞W√tt= ∞ (Wt — винеровский процесс). Формулировка закона повторногологарифма для Wt ([Л], [БШ, гл. 3 §8, §11], [В, §7.2]).119. Среднеквадратическая сходимость суммы квадратов приращений винеровского процесса на отрезке к длине этого отрезка. Бесконечность вариации винеровского процесса на отрезке.
Недифференцируемость реализаций винеровского процесса (без доказательства) ([В, §1.2], [БШ, гл. 3 §1]).20. Определение марковского момента и момента остановки относительно потока σ-алгебр. Момент достижения положительного уровня процессом с непрерывными не ограниченными сверху реализациями какмомент остановки.
Применение к винеровскому процессу ([Л], [БШ, гл. 3 §3]).21. Принцип отражения для винеровского процесса ([Л]).22. Распределение момента первого достижения винеровским процессом положительного уровня (применениепринципа отражения) ([ГС, гл. 6 §3]).23. Распределение максимума винеровского процесса на отрезке [0, t] (применение принципа отражения) ([ГС,гл. 6 §3]).24.
Эквивалентность различных определений марковского процесса ([Л], [БШ, гл. 3 §§ 1–3, 5], [В, §8.2]).25. Процесс с независимыми приращениями как марковский процесс и как мартингал ([Л], [БШ, гл. 3 §6]).26. Переходная функция и начальное распределение марковского процесса. Уравнение Колмогорова – Чепменаи его вероятностный смысл. Конечномерные распределения. Однородный марковский процесс. Стационарное распределение ([БШ, гл. 6 §§ 10–12], [В, §8.1 п.п.
1-5, §8.2 п.п. 2, 4]).27. Однородные марковские процессы с дискретным множеством состояний. Стандартные переходные функции. Дифференцируемость переходных вероятностей (формулировка). Конечномерные распределения. Матрица интенсивностей. Мгновенные и регулярные состояния. Консервативные переходные функции ([БШ,гл. 6 §12, §16]; [ГС, гл. 7 §3]).28. Марковские процессы с дискретным множеством состояний. Вывод обратных уравнений Колмогорова([БШ, гл. 6 §17], [ГС, гл.
7 §3], [Ф, гл. 17 §9]).29. Марковские процессы с дискретным множеством состояний. Вывод прямых уравнений Колмогорова ([БШ,гл. 6 §17], [ГС, гл. 7 §3], [Ф, гл. 17 §9]).Литература[БШ][В][ГС][К][Л][Ф]Булинский А. В., Ширяев А. Н. Теория случайных процессов. 2003.Вентцель А. Д. Теория случайных процессов. 1996.Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. 1977.Крылов Н. В. Введение в теорию случайных процессов, ч.
1. 1986.Лекции.Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. т. 1. 1964.Замечание. Лекции указаны там, где соответствующий материал отсутствует в рекомендованной литературе или его изложение в той или иной степени отличается от лекционного. Последних 4 билетов в лекциях небыло.Замечание. Надо иметь иметь в виду, что у большинства указанных выше книг существует более одногоиздания и нумерация параграфов в разных изданиях может быть разной.Последняя компиляция: 28 октября 2005 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
