Список вопросов теоертического минимума. 2017 (1134147)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Вопросы теоеретического минимумапо курсу «Теория случайных процессов».Декабрь 20171. Дать определение двумерной функции распределения случайного процесса ξ(t),t > 0.2. Пусть ξ(t), t > 0, есть некоторый случайный процесс. При каком условии онявляется однородным во времени?3. Пусть ξ(t), t > 0, есть некоторый случайный процесс. При каком условии онявляется процессом с независимыми приращениями?4.

Случайный процесс ξ(t), t > 0, имеет двумерную плотность p(x, y; t, s) и математическое ожидание Mξ(t) = 0 для любого t > 0. Как рассчитать ковариационную функцию R(t, s) данного процесса (записать явную формулу длярасчёта, а не определение)?5. Случайный процесс ξ(t), t > 0, задан как ξ(t) = ν + t, где ν – случайная величина, распределённая равномерно на отрезке [0, 1]. Нарисовать две различныевозможные траектории этого процесса на одном графике.6. Случайный процесс ξ(t), t > 0, задан как ξ(t) = eνt , где ν – случайная величина,распределённая равномерно на отрезке [−1, 1]. Найти вероятность того, чтотраектория этого случайного процесса не убывает при всех значениях t > 0.7.

Случайный процесс ξ(t), t > 0, задан как ξ(t) = eνt , где ν – случайная величина,распределённая равномерно на отрезке [−1, 1]. Найти вероятность того, чтотраектория этого случайного процесса не убывает при всех значениях t > 0.8. Пусть ξ(t), t > 0, – процесс Пуассона с интенсивностью λ. Его траекториипредставляют собой: кусочно-постоянные функции со случайными скачками;кусочно-постоянные функции с постоянными скачками; кусочно-линейные непрерывные функции со случайным наклоном.

Отметьте верные утверждения.9. Пусть ξ(t), t > 0, – процесс Пуассона с интенсивностью λ. Отметьте верныеутверждения из следующего списка: любые два его сечения независимы; Mξ(t)не зависит от t; приращения ξ(t2 ) − ξ(t1 ) и ξ(s2) − ξ(s1) независимы для любыхнепересекающихся промежутков [t1 , t2 ) и [s1 , s2 ).10. Записать формулу, задающее совместное распределение двух сечений процессаПуассона ξ(t) и ξ(2t) (интенсивность процесса равна λ).11. Пусть τk , k = 1, 2, .

. . , – времена ожидания требований в пуассоновом потоке с интенсивностью λ. Отметьте верные утверждения из следующего списка:любые две случайные величины τk и τr независимы при k 6= r; любые два приращения τk − τk−1 и τr τr−1 независимы при k 6= r.12. Пусть τk , k = 1, 2, . . . , – времена ожидания требований в пуассоновом потокес интенсивностью λ.

Записать формулу, задающую совместное распределениеслучайных величин τ1 и τ2 .13. Пусть τk , k = 1, 2, . . . , – времена ожидания требований в пуассоновом потокес интенсивностью λ. Записать формулу, задающую совместное распределениеслучайных величин τ2 − τ1 и τ3 − τ2 .14. Частица совершает симметричные случайные прыжки влево и вправо на расстояние ∆x через промежутки времени ∆t. Пусть w(t) – её координата в моментвремени t. При какой связи между ∆x → 0 и ∆t → 0 в непрерывном пределетаких случайных блужданий мы получаем, что w(t), t > 0, – процесс Винера?15.

Дать определение процесса Винера w(t), t > 0, с параметром σ 2 , начинающегосяв нуле.16. Для процесса Винера w(t), t > 0, записать его ковариационную функцию.17. Пусть w(t), t > 0, – процесс Винера с параметром σ 2 , начинающийся в нуле.Записать двумерную плотность этого процесса.18. Траектории процесса Винера с вероятностью единица при всех t > 0: разрывны,непрерывны, дифференцируемы; монотонно возрастают с вероятностью единица, испытывают единичные скачки в случайные моменты времени, симметричны относительно линии уровня x = 0, т. е. P (w(t) > 0) = P (w(t) < 0).

Отметьтеверные утверждения.19. Пусть w(t), t > 0, при 0 = t0 < t1 < t2 < t3 есть процесс Винера. Сечения w(tk ),k = 1, 2, 3, этого процесса независимы; сечения w(tk ), k = 1, 2, 3, этого процессаимеют нормальное распределение; приращения w(tk ) − w(tk − 1), k = 1, 2, 3,этого процесса независимы; приращения w(tk ) − w(tk − 1), k = 1, 2, 3, имеютнормальное распределение. Отметьте верные утверждения.20. Записать свойство случайного процесса ξ(t), t > 0, определяющее его как марковский случайный процесс с состояниями x1 , . . . , xs (здесь 2 6 s < ∞).21.

Задана матрица перехода π( · ) для марковского случайного процесса с состояниями x1 , . . . , xs и начальное распределение P (ξ(0) = xi ) = ai , i = 1, . . . s (здесь2 6 s < ∞). Записать формулы, позволяющие рассчитать двумерное совместное распределение сечений ξ(t) и ξ(s) процесса при 0 < s < t, выразив всевероятности через заданные параметры.22. Записать уравнение Чепмена–Колмогорова, связывающее матрицы переходаπ(t), t > 0, для марковского случайного процесса с состояниями x1 , .

. . , xs .23. Записать систему уравнений Колмогорова для (s × s)-матричнозначной функции π( · ), элементы которой заданы как πij (t) = P (ξ(t) = xj |ξ(t) = xi ) (всепараметры ответа выразить через π( · )).24. Марковский процесс имеет состояния и матрицу переходных −λtдва возможныхe1 − e−λt.

Записать для такого процесса сивероятностей π(t) =1 − e−µte−µtстему уравнений Колмогорова для матричнозначной функции π( · ), элементыкоторой заданы как πij (t) = P (ξ(t) = xj |ξ(t) = xi ), i, j = 1, 2.25. Дать определение среднеквадратичной непрерывности в точке t для комплекснозначного случайного процесса с нулевым математическим ожиданием и сформулировать теорему о связи этого свойства со свойствами ковариационной функции этого процесса.26.

Дать определение среднеквадратичной дифференцируемости в точке t для комплекснозначного случайного процесса с нулевым математическим ожиданием исформулировать теорему о связи этого свойства со свойствами ковариационнойфункции этого процесса.27. Дать определение среднеквадратичной интегрируемости на отрезке [a, b] длядля комплекснозначного случайного процесса с нулевым математическим ожиданием и сформулировать теорему о связи этого свойства со свойствами ковариационной функции этого процесса.28.

Пусть интеграл по стохастической мере и скалярное произведение для функцийg( · ), h( · ) определены соответственно какI=Zabg(x) Z(dx),(g, h) =Zbg(x)h(x) dF (x).aЗаписать равенство, которое связывает значение структурной функцию мерыm(∆x) = M|Z(∆x)|2 и весовую функцию F ( · ) (для интервала ∆x ⊂ [a, b)).29. Пусть Z(∆x) – ортогональная стохастическая мера и m(∆x) = M|Z(∆x)|2 –её структурная функция на множестве интервалов ∆x ⊂ [a, b).

Подчеркнитеверные утверждения: P (Z(∆x) > 0) = 1 для любого ∆x ⊂ [a, b); m(∆x) > 0 длялюбого ∆x ⊂ [a, b); Z( · ) аддитивна в среднем квадратичном; m( · ) аддитивна;Z( · ) счётно-аддитивна в среднем квадратичном;30. Спектральная мера интервала [t1 , t2 ) задана как Z[t1 , t2 ) = w(t2 ) − w(t1 ), гдеw(t), t > 0, – стандартный процесс Винера с нулевым средним и параметром σ 2 .Записать явное выражение для случайной величины I, заданной как интеграл(Z 2a1, 0 6 t 6 a,I=g(t) Z(dt), где g(t) =−1, a < t 6 2a.0.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов вопросов/заданий