Случайные процессы, Гуревич, 2004 (1134145)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Программа курса «Случайные процессы»

для 1 потока математиков (6 семестр, 2003/2004 уч. год)

Лектор — Б.М. Гуревич

1. Общее определение случайной функции и случайного процесса. Теорема Колмогорова о существовании случайной функции с заданной системой конечномерных распределений (формулировка). Существование случайной функции с независимыми значениями и заданными распределениями (В: §5.1; ГС: гл.1, §1).

2. Существование гауссовского процесса с заданной корреляционной функцией (Л, В: §5.1).

3. Определение и свойства корреляционной функции случайного процесса. Критерий среднеквадратической непрерывности процесса, выраженный в терминах корреляционной функции (В: §1.3, 2.1).

4. Случайные процессы, стационарные в широком и узком смысле. Различие этих двух в общем случае (примеры) и совпадение — в гауссовском. Корреляционная функция и спектральная мера процесса (Теоремы Бохнера-Хинчина и Герглотца) (В: §4.1; ГС: гл.1,§5).

5. Спектральное представление стационарного в широком смысле случайного процесса ξ_t как изоморфизм пространства функций и пространства случайных величин, переводящий e^iλt в ξ_t
   (В: §4.2).

6. Интеграл от скалярной функции по ортогональной векторной мере, интеграл по ортогональной случайной мере как частный случай. Ортогональная мера, построенная по процессу с ортогональными приращениями (БШ: гл.7, §§1-7; В: §2.2; Кр: §7).

7. Представление стационарного в широком смысле случайного процесса в виде интеграла по ортогональной случайной мере (Л; В: §2.2).

8. Эргодическая теорема для стационарного в широком смысле случайного процесса с дискретным и непрерывным временем (Л; БШ: гл.7, §10; В: §4.2).

9. Условия применимости закона больших чисел к стационарному в широком смысле случайному процессу, выраженные в терминах корреляционной функции и спектральной меры
   (Л; В: §§ 4.1,4.2).

10. Спектральное условие среднеквадратической дифференцируемости стационарного в широком смысле случайного процесса ξ_t. Спектр процесса ξ_t′ (Л; В: §4.2).

11. Различные виды непрерывности случайного процесса. Примеры, иллюстрирующие их несовпадение. Критерий существования непрерывной модификации случайного процесса ξ_t ( на отрезке [a, b] (стохастическая непрерывность) на [a, b] и равномерная непрерывность п.н. ограничения ξ_t |_R, где R — счетное всюду плотное множество (Л; В: §5.2).

12. Теорема Колмогорова о существовании непрерывной модификации случайного процесса с заданными конечномерными распределениями на отрезке (Л; В: §5.2).

13. Непрерывная модификация винеровского процесса W_t на отрезке и на полупрямой. Процесс ξ_t, t≥0, равный tW_1/t при t ≠ 0 и нулю — при t = 0, как винеровский процесс. Доказательство равенства lim_t→∞W_t/t = 0 (Л).

14. Определение марковского момента относительно потока σ-алгебр. Момент достижения положительного уровня процессом с непрерывными не ограниченными сверху реализациями как момент остановки. Применение к винеровскому процессу (Л; БШ: гл.З, §3).

15. Доказательство равенства lim_t→∞W_t/t^1/2=∞ (W_t — винеровский процесс). Формулировка закона повторного логарифма для W_t (Л; БШ: гл. З, §§8,11; В: §7:2).

16. Принцип отражения для винеровского процесса (Л).

17. Распределение максимума винеровского процесса на отрезке [0, t] (применение принципа отражения) (Л; ГС: гл.6, §3).

18. Распределение момента первого достижения винеровскнм процессом положительного уровня (применение принципа отражения) (Л; ГС: гл.6, §3).

19. Недифференцируемость реализаций винеровского процесса (БШ: гл.3, §1; ПУУ: решение задачи 10.134).

20. Эквивалентность различных определений марковского процесса. (БШ: гл.3,§§1-3,5; В: §8.2).

21. Процесс с независимыми приращениями как марковский процесс. (Л; БШ: гл. З, §6).

22. Переходная функция и начальное распределение марковского процесса. Уравнение Колмогорова-Чепмена и его вероятностный смысл. Конечномерные распределения. Однородный марковский процесс. Стационарное распределение (БШ: гл.6 §§10-12; В: §8.1, п.п.1-5, §8.2,п.п.2,4).

23. Однородные марковские процессы с дискретным множеством состояний. Стандартные переходные функции. Дифференцируемость переходных вероятностей (формулировка). Конечномерные распределения. Матрица интенсивностей. Мгновенные и регулярные состояния. Консервативные переходные функции (БШ: гл. 6 §§12,16; ГС: гл.7,§3).

24. Однородные марковские процессы с дискретным множеством состояний. Вывод обратных уравнений Колмогорова (БШ: гл.6 §17; ГС: гл.7,§3).

25. Однородные марковские процессы с дискретным множеством состояний. Вывод прямых уравнений Колмогорова (БШ: гл.6 §17; ГС: гл.7,§3).

26. Процесс, построенный по суммам независимых показательных величин. Условное распределение моментов скачка, лежащих на отрезке [0, t], при условии, что число скачков равно n (Л).

27. Процесс, построенный по суммам независимых показательных величин, как пуассоновский процесс (Л).

ЛИТЕРАТУРА

[В] А. Д. Вентцель. Теория случайных процессов. 1996.

[ГС] И. И. Гихман и А. В. Скороход. Введение в теорию случайных процессов. 1977.

[Кр] Н. В. Крылов. Введение в теорию случайных процессов, Ч.1. 1986.

[Л] Лекции.

[ПУУ] А.В.Прохоров, В.Г.Ушаков, Н.Г.Ушаков. Задачи по теории вероятностей. 1986.

ПРИМЕЧАНИЯ

1. Лекции указаны лишь там, где соответствующий материал отсутствует в рекомендованной литературе или его изложение в той или иной степени отличается от лекционного.

2. Надо иметь в виду, что у большинства указанных выше книг существует более одного издания, и нумерация параграфов в разных изданиях может быть разной.

[Mexmat.Net][http://www.mexmat.net/]

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)