А.Н. Зубков - Курс лекций по теории случайных процессов (1134117), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Свойства винеровского процессаЛемма 9.6. Стандартный винеровский процесс имеет модификацию с п.н. непрерывными траекториями. Проверим условия теоремы Колмогорова. Положим a= 4. w(t + h) − w(t) ∼ N (0, h) (h > 0). M(w(t +h) − w(t))4 = 3h2 (интеграл берётся по частям), а 3h2 = o|h|ln6 |h|(например) — теорема Колмогорова работает.1Лемма 9.7. Если w(t) — стандартный винеровский процесс, то процессы wa (t) = √ w(ta) (для любогоa 1a > 0) и w∗ (t) = tw, w∗ (0) = 0 имеют такие же распределения, как и w(t).t Независимость приращений очевидна (в силу монотонности преобразований).
Очевидно, что wa (0) = 0.Распределение приращений:N (0, a(t − s))w(at) − w(as)√√wa (t) − wa (s) =∼= N (0, t − s);aa 11111∗∗w (t) − w (s) = tw− sw= (t − s)w−s w−wtttstУменьшаемое и вычитаемое суть приращения на непересекающихся отрезках и потому независимы.(t − s)w(1/t) ∼ N (0, (t − s)2 /t), s(w(1/s) − w(1/t)) ∼ N (0, s2 (1/s − 1/t), откуда(t − s)21 1w∗ (t) − w∗ (s) ∼ N 0,+ s2−= N (0, t − s).tstВ частности, M(w∗ (0))2 = 0, то есть w∗ (0) = 0 п.н.
Лемма 9.8.+∞Zv22P sup w(u) > x = 2P{w(t) > x} = √e− 2t dv2πt06u6txПоложим τx = inf{u : w(u) > x} — первое пересечение уровня x. w(τx ) = x. Имеем:{τx > v} =sup w(u) < x ∈ Fv := σ(w(u), u 6 v);06u6v{τx = v} =∞\n=1()supw(u) < x, sup w(u) = x106u6v− n06u6v∈ Fv ,поэтому τx — момент остановки относительно {Fv }. Если τx = v, то w(t) − w(v) = w(t) − w(τx ) — не зависитот {w(y), y 6 v} и имеет распределение N (0, t − v). Отсюда (при v < t) P(w(t) > x | τx = v) = P(w(t) 6 x |1τx = v) = 12 (симметричность нормального распределения). Далее, P(w(t) >x | τx ) = 2 на {τx < t}.
Поэтому11P{w(t) > x} = MP(w(t) > x | τx )I{τx <t} = 2 P{τx < t} = 2 P sup06u6t w(u) > x . Приведённое выше доказательство не является вполне строгим, поскольку мы на самом деле не обосновалито, что P(w(t) − w(v) | τx )(ω ∈ {τx = v}) = P(w(t) − w(τx (ω)) | τx )(ω) хотя бы почти всюду. На множествах{τx = v} это действительно так, но их несчётное число, поэтому про поведение этой условной вероятностина их объединении ничего сказать нельзя.
Для того, чтобы найти распределение sup[0,t] w(u), нам потребуетсянесколько лемм.37Лемма 9.9 (Марковское свойство винеровского процесса). Для любого a > 0 процесс Y (t, ω) = W (t +a, ω) − W (a, ω) является стандартным винеровским и не зависит от σ-алгебры Fa = σ{X(t), t 6 a}. То, что Y (0) = 0 и что конечномерные распределения {Y (t)} совпадают с нужными, очевидно. Длятого, чтобы доказать независимость σ-алгебр σ{Y (t)} и Fa , достаточно для любых конечных наборов 0 6t1 < . .
. < tn 6 a, 0 6 s1 < . . . < sm доказать независимость событий {ω : X(t1 ) ∈ B1 , . . . , X(tn ) ∈ Bn } и{ω : Y (s1 ) ∈ C1 , . . . , Y (sm ) ∈ Cm } = {ω : X(s1 + a) − X(a) ∈ C1 , . . . , X(sm + a) − X(a) ∈ Cm }, что очевидно, таккак эти события выражаются через независимые группы приращений процесса X, а именно,(X(t1 ), . . . , X(tn ) − X(tn−1 )) и (X(s1 + a) − X(a), . . . , X(sm + a) − X(sm−1 + a)).
На самом деле верно ещё более сильное утверждение.Лемма 9.10 (Строго марковское свойство винеровского процесса). Пусть {W (t), t > 0} — винеровский процесс, Ft = σ{X(s), s 6 t} — его естественная фильтрация и τ — момент остановки относительнопотока Ft . Тогда процесс {Y (t, ω) = X(t + τ (ω)) − X(τ (ω)), t > 0} также является винеровским, причём независящим от σ-алгебры Fτ . Доопределим на множестве {τ = ∞} (оно имеет меру ноль, так как τ – момент остановки) процесс Yтождественно нулевыми траекториями. Покажем, что мы получили действительно случайный процесс, т.е., чтоY (t) есть случайная величина для любого t. Определим последовательность дискретных марковских моментовτn , сходящуюся к τ , следующим образом:τn (ω) =∞Xk2−n I(k−1)2−n <τ (ω)6k2−nk=1Очевидно, что τn −→ τ и что это марковские моменты относительно Fn , т.к.
{τn 6 t} = {τ 6 k2−n } ∈ Fk2−n ⊂п.н.Ft , где k = max{l : l2−n 6 t}. Так как траектории W (t) непрерывны п.н., то W (t + τn ) −→ W (t + τ ), n −→ ∞.Для любых n ∈ N, z ∈ R, t > 0 имеем−n{ω : W (t + τn (ω), ω) 6 z} = ∪∞, ω), τn (ω) = k2−n ∈ F .k=1 ω : W (t + k2п.н.Следовательно, W (t + τ ), а заодно и Y (t) являются случайными величинами как пределы сходящихся почтинаверное случайных величин.
Докажем, что Y (t) не зависит от Fτ и заодно проверим, что это винеровскийпроцесс. Для этого, как и в предыдущей лемме, достаточно проверить, что для любого A ∈ Fτ , любых точек0 6 t1 < . . . < tm и любого B ∈ B(Rm ) P {A ∩ {ξ ∈ B}} = P {A} P {ξ ∈ B}, где ξ = (Y (t1 ), . . . , Y (tm )) ∈ Rm .Достаточно показать это для замкнутого B, поскольку для любой меры P в Rm и для любого борелевского Bнайдётся такое замкнутое подмножество Fε ⊂ B, что P(B \ Fε ) < ε. Итак, нам нужно показать, что MIA Iξ∈B =MIA MIξ∈B . Мы это докажем, если покажем, что для любой непрерывной и ограниченной функции выполненоMIA f (ξ) = MIA Mf (ξ).
Действительно, тогда, взяв fk (x) = max(0, 1 − kρ(x, B)), получим требуемое из теоремыЛебега (fk (x) −→ IB (x), k −→ ∞). Опять же по теореме Лебега имеемMIA f (ξ) = lim MIa f (ξn ),nгде ξn = (W (t1 + τn ) − W (τn ), . . . , W (tm + τn ) − W (τn )) −→ ξ, n −→ ∞. Воспользовавшись счётной аддитивностью интеграла Лебега, получаемп.н.MIA f (ξn ) =∞XMIA f (ξn )Iτn =k2−n =k=1∞Xk=1MIA∩{τn=k2−n } f (ξn,k ),где ξn,k = (W (t1 + k2−n ) − W (k2−n ), . . .
, W (tm + k2−n ) − W (k2−n )). Т.к. A ∈ Fτ , то A ∩ {τn = k2−n } = A ∩{(k − 1)2−n < τ 6 k2−n } ∈ Fk2−n . По предыдущей лемме ξn,k не зависит от Fk2−n . При этом распределение ξn,kсовпадает с распределением (W (t1 ), . . . , W (tm )). ПоэтомуMIA f (ξn ) = Mf (W (t1 ), . . . , W (tm ))∞Xk=1MIA∩{τn =k2−n } = Mf (W (t1 ), . . .
, W (tm ))MIA .Осталось показать, что Mf (Y (t1 ), . . . , Y (tm )) = Mf (W (t1 ), . . . , W (tm )), что немедленно следует из доказанногопри A = Ω. Взяв ограниченные непрерывные fk , сходящиеся к индикаторным функциям, по теореме Лебегаполучим, что конечномерные распределения W и Y совпадают, следовательно, Y — винеровский процесс. Ключевым инструментом для нахождения распределения sup W (t) на отрезках (и много чего другого, насамом деле) является следующаяТеорема 9.11 (Принцип отражения).
Пусть {W (t), t > 0} — винеровский процесс, τ — момент остановки относительно Ft = σ{X(s), s 6 t} Положим0 6 t 6 τ (ω),W (t, ω),Z(t, ω) = 2W (τ (ω), ω) − W (t, ω), t > τ (ω),W (t, ω),τ (ω) = ∞.38Каждая траектория Z получается отражением траектории X относительно линии уровня X(τ ) при x > τ .Оказывается, Z(t, ω) – тоже винеровский процесс. По определению Z(t, ω) = W (t, ω)I{τ >t} + (2W (τ (ω), ω) − W (t, ω))I{τ <t} , следовательно, это случайнаявеличина при каждом t > 0.
Траектории Z непрерывны п.н., поэтому нетрудно показать, что Z(·, ω) естьслучайный элемент со значениями в метрическом пространстве C0 [0, ∞) = {f ∈ C[0, ∞), f (0) = 0}, метрика накотором задаётся равномерной сходимостью на компактах, т.е.ρ(f, g) =∞Xn=12−nsup[0,n] |f (t) − g(t)|1 + sup[0,n] |f (t) − g(t)|.Это доказывается так: во-первых, C[0, ∞) сепарабельно (на любом компакте функция равномерно непрерывнаи к ней сходится последовательность линейных функций с изломами в рациональных точках и рациональнымизначениями в точках излома, а потом берём диагональную последовательность таких функций), следовательно,его борелевская σ-алгебра порождается всеми открытымишарами, а прообраз каждоготакого шара, как нетрудn PoN−k supQ∩[0,k] |x(t)−y(t)|но показать, измерим.
А именно, Br (x) = ∩N y :6 r . Это пересечение замкнутыхk=1 21+supQ∩[0,k]множеств в RN (вектора в RN соответствуют наборам из supQ∩[0,k] |x(t) − y(t)|), оно замкнуто, следовательно,его дополнение открыто и представляется в виде счётного объединения кубов, а прообразы кубов измеримы.Положим Y (t, ω) = W (t + τ (ω), ω) − W (τ (ω), ω). Как мы знаем, это винеровский процесс. Положим X(t, ω) =W (min(t, ω), ω) — это процесс, «остановленный» в точке τ .
Аналогично доказанному получаем, что X, Y —случайные элементы со значениями в C0 [0, ∞). Рассмотрим метрическое пространство V = [0, ∞) × C0 [0, ∞) ×C0 [0, ∞) с метрикой, равной максимуму из покоординатных расстояний и рассмотрим отображение h : V −→C0 [0, ∞), задаваемое следующим образом:h(b, f, g)(t) = f (t)I[0,b] (t) + (f (b) + g(t − b))I(b,∞) (t).Как легко видеть, оно непрерывно и для почти всех ω (кроме тех, для которых τ бесконечен или траекторияодного из процессов разрывна)h(τ (ω), X(·, ω), Y (·, ω)) = W (·, ω), h(τ (ω), X(·, ω), −Y (·, ω)) = Z(·, ω).Если мы докажем, что на (V, B(V )) случайные вектора (τ, X, Y ) и (τ, X, −Y ) имеют одинаковое распределение, то в силу измеримости h получим утверждение теоремы.
Докажем, что (τ, X) измерим относительно Fτ ,тогда в силу независимости Y от Fτ распределение распадётся в произведение распределений (τ, X) ⊗ (±Y ),распределения же Y и −Y совпадают в силу симметричности винеровского процесса. Для измеримости вектораотносительно Fτ необходима и достаточна измеримость каждой его компоненты. Fτ -измеримость τ следует изопределения Fτ (проверьте), для того, чтобы доказать Fτ -измеримость X, введём Fτ -измеримую последовательность Xn , сходящуюся к X п.н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
