А.Н. Зубков - Курс лекций по теории случайных процессов (1134117), страница 10
Текст из файла (страница 10)
. , ξn )}. Если бынашибы ограничены, т.е. существовало бы w : P {ξ1 6 w} = 1, то было бы верно случайные величины ξi былиP Sν(t) = Sν(t)−1 + ξν(t) 6 t + w = 1. Почему бы так, собственно, и не сделать?Введём ∀w случайную величину ξk (w) ⇋ min {ξk , w}7 , разумеется, ξk (w) 6 w п.н., Sn (w) ⇋ ξ1 (w) + . . . +ξk (w) 6 Sn , ν(t, w) ⇋ min {n : Sn (w) > t} > ν(t), U (t, w) ⇋ Mν(t, w) > U (t).Применим к Sn (w) и ν(t, w) тождество Вальда8:MSν(t,w) (w) = Mξ1 (w)U (t, w),Sν(t,w) (w) = Sν(t,w)−1 (w) + ξν(t,w) (w) 6 t + w п.н., следовательно, U (t) 6 U (t, w) = MПоэтомуU (t)1t+w16lim=∀w.lim supt−→∞Mξ1 (w)tM min {ξ1 , w}t−→∞ tНо так как M min {ξ1 , w} −→ Mξ1 = a > 0 (w −→ ∞), то1Mξ1 (w)−→1Mξ1Sν(t,w) (w)Mξ1 (w)6t+wMξ1 (w)= a1 , следовательно, limt−→∞U(t)t∀t, w.= a1 .
8.7.2. Неравенства Дуба и КолмогороваПусть {Xn , Fn } — субмартингал, т.е. Xn измерима относительно Fn , M|Xn | < ∞, M (Xn+1 | Fn ) > Xn ∀n.Лемма 8.16 (Неравенство Маркова). Пусть ξ > 0, Mξ < ∞. Тогда ∀x > 0 P {ξ > x} 6 Mξx .P {ξ > x} = MI {ξ > x} 6 MI {ξ > x} xξ = x1 MξI {ξ > x} 6Mξx .Теорема 8.17 (Doob). Пусть {Xn , Fn } — неотрицательный субмартингал.
Тогда1∀x > 0, n > 0 P max Xk > x 6 MXn .16k6nx9Введём моменты остановкиν ⇋ min {k > 0 : Xk > x} , ν(n) ⇋ min {ν, n} 6 n ⇒ lim inf M|Xm |I {ν(n) > m} = 0.m−→∞Положим ν1 = ν(n), ν2 ≡ n. По теореме 8.9 имеемMXν2 = MXn > MXν1 = MXν(n) .Заметим, чтоmax Xk > x = Xν(n) > x ,16k6nследовательно, MXν(n)MXnP max Xk > x = P Xν(n) > x 66,16k6nxxгде предпоследнее неравенство выполнено в силу неравенства Маркова. Следствие 8.1 (Неравенство Колмогорова). Пусть {Xn , Fn } — мартингал, MXn2 < ∞.
Тогда {Xn2 , Fn }— субмартингал иMXn2P max |Xk | > x 6.16k6nx2Выпуклая вниз измеримая функция от мартингала есть субмартингал. называется уровнем усечения.вопрос: а почему это Mν(t, w) < ∞? А вдруг равно?9 Это называется неравенством Дуба.7w8 Контрольный338.7.3. Теорема Дуба о среднем числе пересечений полосы мартингаломПусть есть случайный процесс Xt и два уровня −∞ < a < b < +∞, и процесс, для простоты, стартует ≪между ними, т.е. X0 ∈ (a, b). Положим ν0 ⇋ 0, ν2k−1 ⇋ min {t > ν2k−2 : Xt 6 a}, ν2k ⇋ min {t > ν2k−1 : Xt > b}.Определим(0,ν2 > n,βn (a, b) ⇋max {k : ν2k 6 n} , ν2 6 n.≫Говоря неформально, βn (a, b) — это количество полных пересечений процессом Xt полосы (a, b) ≪снизу вверх≫ напромежутке (0, n).Обозначим через x+ max {0, x}.Теорема 8.18 (Неравенство Дуба). Если (Xn , Fn ) — субмартингал, то∀n, ∀−∞ < a < b < +∞ : Mβn (a, b) 6M(Xn − a)+.b−a f (x) = (x−a)+ — выпуклая вниз неубывающая функция, следовательно, ((Xn −a)+ , Fn ) — субмартингал.Далее считаем Xn > 0 (заменяем (Xn − a)+ на Xn , вместо [a, b] берём [0, b − a] = [0, c]).
Нужно доказать, чтоnMβn (0, c) 6 MXc . Введём случайные величины ηt следующим образом:(S1, t ∈ k>1 (ν2k−1 , ν2k ]ηt =S0, t ∈ k>0 (ν2k , ν2k+1 ],т.е. ηt = 1 тогда и только тогда, когда мы идём от нечётного ν к чётному (включая чётный конец интервала).ηt определяется чётностью max {k : νk < t}, следовательно, выражается через X1 , . .
. , Xt−1 , а поэтому измеримаотносительно Ft−1 .ηt − ηt+1 6= 0 ⇔ t ∈ {ν1 , ν2 , . . .} ,(−1, t ∈ {ν2k−1 : k > 0} = {Xt = 0}ηt − ηt+1 =1,t ∈ {ν2k : k > 1} = {Xt > c} .cI {∃k : t = ν2k } 6 (ηt − ηt+1 )Xt ,т.к. на тех ω, где индикатор слева равен 1, ηt − ηt+1 = 1, а Xt > c. Поэтомуcβn (0, c) = c max {k : ν2k 6 n} =nXt=0cI {∃k : t = ν2k } 6nX(ηt − ηt+1 )Xt =n=0nXt=1ηt (Xt − Xt−1 ) − ηn+1 Xn .Учитывая, что ηn+1 , Xn > 0, получаемcMβn (0, c) 6 MnXt=1ηt (Xt − Xt−1 ) =nXt=1M (ηt M (Xt − Xt−1 | Ft−1 )) =nXt=1M (ηt M (Xt | Ft−1 ) − Xt−1 ) ,что в силу того, что ηt ∈ {0, 1} и M(Xt | Ft−1 ) − Xt−1 > 0 даётcMβn (0, c) 6nXt=1M (M(Xt | Ft−1 ) − Xt−1 ) =nXt=1(MXt − MXt−1 ) = MXn − MX0 6 MXn .8.7.4.
Теорема Дуба о сходимости субмартингаловТеорема 8.19 (Дуба о сходимости субмартингалов). Пусть (Xn , Fn ) — субмартингал, supn M|Xn | <∞. Тогда существует такая случайная величина X, что P {limn−→∞ Xn = X} = 1, M|X| < ∞. Рассуждаем от противного. Пусть с положительной вероятностью предела не существует, т.е. для слу∗чайных величин ξ∗ ⇋ lim inf n−→∞ Xn , ξ ⇋ lim supn−→∞ Xn выполненоP {ξ ∗ > ξ∗ } > 0.Заметим, что {ω : ξ ∗ > ξ∗ } = ∪a,b∈Q {ω : ξ∗ < a < b < ξ ∗ }, а посему в силу σ-аддитивности вероятностной мерыX0 < P {ξ ∗ > ξ∗ } 6P {ξ∗ < a < b < ξ ∗ } ,a,b∈Q34следовательно, ∃a, b ∈ Q : P {ξ∗ < a < b < ξ ∗ } > 0, то есть Xn с положительной вероятностью бесконечное числораз пересекает полосу (a, b).
Обозначим β ∗ (a, b) ⇋ supn βn (a, b). Ясно, что βn (a, b) ↑ β ∗ (a, b), n −→ ∞. Имеем∀k < ∞ : P {βn (a, b) > k | ξ ∗ > b > a > ξ∗ } −→1(n −→ ∞).Поэтому P {β ∗ (a, b) = ∞} = P {ξ ∗ > b > a > ξ∗ } > 0, значит, Mβ ∗ (a, b) = +∞.С другой стороны, по неравенству ДубаMβn (a, b) 6M (Xn − a)+M (Xn ) + |a|supn M|Xn | + |a|=6= c < ∞,b−ab−ab−aоткуда по теореме Б. Леви Mβ ∗ (a, b) 6 c < ∞, что противоречит полученному выше. Таким образом, ξ ∗ = ξ∗ .Осталось заметить, что M|X| < ∞ по теореме Фату.
п.н.Следствие 8.2. Если Xn 6 0 — субмартингал, то P {∃ limn−→∞ Xn = X} = 1 M|Xn | ↓, n −→ ∞ ⇒ supn M|Xn | < ∞. Следствие 8.3. Если (Xn , Fn ) — неотрицательный мартингал, то P {∃ limn−→∞ Xn = X} = 1. M|Xn | = MXn = MX0 < ∞. Пример 7.1. Пусть µ(t) — ветвящийся процесс, A — мат. ожидание числа потомков, тогда Xn =образуют мартингал, Xn > 0, причём сходимость есть даже при A < 1!µ(n)AnСледствие 8.4 (Теорема Колмогоровао сходимости рядов).
Пусть ξ1 , . . . — независимые случайныеP2величины, Mξk = 0, Dξk = σk2 < ∞, ∞σ=σ 2 < ∞. Тогда сушествует случайная величина S, к которойk=1 kчастичные суммы Sn = ξ1 + . . . + ξn сходятся почти наверное.pPnp√2 Sn — мартингал. По неравенству Йенсена M|Sn | 6 MSn2 = DSn =1 σi 6 σ < ∞. Применяемтеорему Дуба. 9. Процесс броуновского движенияОпределение. Процессом броуновского движения (стандартным винеровским процессом) называется случайный процесс W (t), t > 0, обладающий следующими свойствами:1. P {W (0) = 0} = 1.2.
W (t) — процесс с независимыми приращениями.3. ∀0 6 s 6 t : W (t) − W (s) ∼ N (0, t − s).Лемма 9.1. Совместное распределение значений (W (t1 ), . . . , W (tn )) , 0 = t0 < . . . < tn является многомерным нормальным с ковариационной матрицей Σ = (min(ti , tj )). По определению процесса W (t) плотность распределения вектора (W (t1 ) − W (t0 ), . . .
, W (tn ) − W (tn−1 ))равнаny2Y1− 2(t −tkkk−1 ) .pt1 ,...,tn (y1 , . . . , yn ) = Qn pe2π(tk − tk−1 ) k=1k=1Из теории меры и интеграла хорошо известен следующийФакт 1. Если вектор ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) имеет плотность распределения ρ(x), а H : Rn −→ Rn — невырожден−1(x))ный в каждой точке диффеоморфизм, то вектор ζ = H(ξ) имеет плотность распределения q(x) = |Jρ(H−1 (x))| .H (HРассмотрим линейное преобразование Rn , переводящее (y1 , .
. . , yn ) в (y1 , y1 + y2 , . . . , y1 + . . . + yn ). Как видно,его якобиан равен 1, и поэтому, применяя наш факт, получаем то, что нужно (проведите выкладку с подстановкой H −1 самостоятельно).Пусть s < t. Найдём cov(W (s), W (t)) = cov(W (s), W (s) + W (t) − W (s)) = cov(W (s), W (s)) + cov(W (s), W (t) −W (s)) = DW (s) = s = min(s, t). 9.1. Теорема Колмогорова о непрерывной модификацииОпределение. Случайные процессы ξ(t) и η(t) называются стохастически эквивалентными, если∀t : P {ξ(t) = η(t)} = 1.ξ(t) называется модификацией η(t) (и наоборот).Из определения видно, что если ξ(t) и η(t) стохастически эквивалентны, то P {ξ(tk ) = η(tk ), k = 1, . . .
, n} = 1.35Пример 1.1. Пусть ξ(t) ≡ 0, t ∈ [0, 1], r(t) = IQ (t), γ ∼ R[0, 1]. Положим η(t) = r(t+γ). Тогдаn P {ξ(t) 6= η(t)}o=P {γ + t ∈ Q} = 0. Таким образом, ξ(t) и η(t) стохастически эквивалентны, но при этом P sup[0,1] ξ(t) = 0 =no1, P sup[0,1] η(t) = 1 = 1.Утверждение 9.2. Пусть ξ(t), η(t), t ∈ [0, 1] — два случайных процесса на (Ω, F , P). Если существуетсчетное детерминированное A ⊂ [0, 1] и функционал F : RA −→ R[0,1] , такой, что P {ξ(t) = η(t)} = 1 ∀t ∈ A иP {ξ(t) = F (ξ(x), x ∈ A)(t) ∀x ∈ [0, 1]} = P {η(t) = F (η(x), x ∈ A)(t) ∀x ∈ [0, 1]} = 1, то P {ξ(t) = η(t) ∀t ∈ [0, 1]} =1. Очевидно.
Теорема 9.3 (Колмогоров). Пусть ξ(t) — случайный процесс, t ∈ [0, 1]. Если существуют такие b > a >0, c < ∞, чтоc|h|∀t, t + h ∈ [0, 1] M|ξ(t + h) − ξ(t)|a <,| log |h||1+bто ξ(t) имеет на [0, 1] непрерывную модификацию. Обозначим ∆h ξ(t) ⇋ ξ(t + h) − ξ(t), ε(h) ⇋ | log1|h||β , 1 < β < ab . Имеем по неравенству МарковаP {|∆h ξ(t)| > ε(h)} 6M|∆h ξ(t)|ac|h|c|h|6=⇌ q(h),εa (h)| log |h||1+b−aβ| log |h||1+δгде δ = b − aβ > 0. Как видно, ε(h) ↓ 0, q(h) ↓ 0, (h −→ 0).∞Xε(2−n ) =n=1Положим ξn (t) = ξr2n+ 2n t −r2n∞∞∞XXXc∗c∗∗n−n<∞,2q(2)=< ∞.βnn1+δn=1n=1n=1∆ 21n ξr2nдляr2n6t6r+12n .Докажем несколько вспомогательных лемм.Лемма 9.4.
Последовательность ξn (t) при n −→ ∞ почти наверное сходится к случайному процессу η(t),траектории которого непрерывны почти наверное. =ξn+1 (t) − ξn (t) 6 ξ 2r + 1 − 1 ξ( r ) + ξ r + 1 n+1nn2222 r 1 12r + 12r + 1r+16∆ 1 ξ r + ∆ 1 ξ 2r + 1 .= ξ−ξ+ξ−ξn+1nn+1nnn+12n+12n+122222222 no 11 1r 2r+1 116 P 2 ∆ n+16Pn,r ⇋ P sup rn 6t6 2r+1 |ξn+1 (t) − ξn (t)| > ε 2n+1ξ 2n + ∆ n+1ξ 2n+1 > ε 2n+12222n+11. Поэтому2q 2n+1(P sup |ξn+1 (t) − ξn (t)| > εТ.к.Pn2n+1 q12n+1[0,1]12n+1)6n2X−1r=0Pn,r 6 2n+1q12n+1.< ∞, то по лемме Бореля–Кантелли для почти всех ω ∈ Ω найдётся1n(ω) : ∀n > n(ω) sup |ξn+1 (t) − ξn (t)| 6 ε.2n+1[0,1]P∞P1< ∞, то для m > n sup[0,1] |ξn (t) − ξm (t)| 6 εn = n ε(2−k ) −→ 0 (n −→ ∞).С другой стороны, т.к. n ε 2n+1Поэтому {ξn (t)} почти наверное фундаментальна, стало быть, почти наверное ∃ limn−ξ(t)=η(t),причём→∞ nэта сходимость почти наверное равномерная (sup[0,1] |ξn (t)−η(t)| 6 εn ∀n > n(ω)), поэтому траектории η(t) почтинаверное непрерывны, как равномерные пределы непрерывных (на самом деле кусочно-линейных) траекторийξn (t).
Лемма 9.5. Процессы η(t) и ξ(t) стохастически эквивалентны. Если t — двоично-рациональная точка, то при достаточно больших m η(t) = ξm (t) = ξ(t) (по построению).В противном случае положим rn = [t2n ] — номер интервала n-го разбиения, в который попала точка t.rn1rnОчевидно, что 0 < t − n < n , откуда n −→ t (n −→ ∞). Далее (используя монотонность ε и q),222 n r 1rn orn 1 rnnP ξ n − ξ(t) > ε6 P ξ n − ξ(t) > ε t − n6q t− n 6q.22n2222n36PРяд qпоэтому12nсходится.
Применяем лемму Бореля–Кантелли: выполняется лишь конечное число из этих событий,n r onP ξ n −−−−→ ξ(t) = 1.n→∞2Но для η аналогичное соотношение выполняется в силу непрерывности η п.н.; в двоично-рациональных точкахξ и η совпадают. Отсюда ξ(t) = η(t) почти наверное. Пример 1.2. Пуассоновский процесс с интенсивностью λ ∈ (0; ∞). Траектории разрывны.aM |ξ(t + h) − ξ(t)| > P {ξ(t + h) > ξ(t)} = 1 − e−λh = λh(1 + o(h))при h −→ 0.Нет логарифмического множителя. Теорема Колмогорова неприменима.9.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
