А.В. Булинский, А.Н. Ширяев - Теория случайных процессов (1134115), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Pn { Sn(), $#) 6.11. . () Xni i = 1 : : : mn n 2 N, s 2 (2 3] #)%:(Pn W) 6 cL1ns=(s+1)(6.44) W { : C O0 1], c n.+ " O?], O?], ), (6.44) %, %%,< & %'% c.+ ) , ,%% & % %% %%. = C (T X ) ^(f ) = supf(f (x) f (y)) : d(x y) 6 g f 2 C (T X ) > 0 d { T , { X . ( , > 0 ^(f ) C (T X ) R " B(C (T X ))jB(R)-.A 96.32 ().
.. X (n) n 2 N C (T X ), T { , X { , , limlim sup E(^(X (n) ) ^ 1) = 0: #0n!1M C (T X ), X { , T { ( , ). 0 C (T X ) (. (3.20)).E. 6.33. C, X (n) !D X , .. L(X (n)) ) L(X ) D C (T X ) , Xj(Kn) !XjK C (K X ) K T , , YjK Y = fYt t 2 T g YjK = fYt t 2 K g.2 , . 6.9 6.11 E. 6.34. + 1 2 : : : { ... Rm, E1 = 0,Ek1k2 < 1, k k { . C, XXt(n) = n;1=2 k + (nt ; Ont])nt]+1 t > 0 n 2 N:k6nt n ! 1 m { (O] ).E. 6.35. + X (n) n 2 N { Rd t 2 Rd X . @ C (Rd X ), > 0E((Xs(n) Xt(n))) 6 kt ; skd+ s t 2 Rd k k { Rd.123 C6.8 , % %% %% %, & '% Rm.
+X { X { . 9 $% Q 2 P (X ) " X : E ! X , X 2 FjB(X ), , L(X ) = Q, 'Q : X ! C , 'Q(x) = E expfihX xig x 2 X hy xi x " y 2 X . +C { X , .. fx 2 X : (hx z1i : : : hx zn i) 2 B g B 2 B(Rn), z1 : : : zn 2 X .E. 6.36. ( C6.8) C, C B(X ). C, Qn ) Q P (X ), 'Qn ! 'Q . =, 'Qn ! 'Q, ' : X ! C fQng .
@ ' = 'Q Q 2 P (X ) Qn ) Q.= O?]. & % %% C (T X ) '%&%, & % %% D(O0 1]q ) D(O0 1)q ), q > 1. 2 , O0 1]q O0 1)q , ) , , t =6 0 ( f t , f (s) s ! t s 6= t , sk > tk , k = 1 : : : qQ ). 2% %% ,< % % &%, ,, . 0 , , ) " " , ,) " " (, fx(t) = 1 x1)(t) fy (t) = 1 y1)(t) C x ! y, D).0 " O?], O?]. 0 ) ,(a)(a)&'< %. + Y1 Y2 : : : { ... P (Y1(a) = ;a) = P (Y1(a) = a) = 1=2 a > 0:+ 1() 2() : : : { ... , " > 0, fYn(a)g fm()g a .
+P()k a ;a k = j=1 j(), k = 1 2 : : :( t = 0 ). @ , k()P kj=1 Yj(a) " P)Ok()) k(+1). *, Xt(a) = j6N (t) Yj(a),t > 0, N(t) = maxf k : k() 6 tg ( N(0) = 0, X0(a) = 0). 8 , N() { . * 124E. 6.37. * .-.. X (a) , a ! 0, ! 1 , a2 = 2 > 0 ( ) , )). 1 X (a) DO0 1)?( C { + , %%. K , ( " ") 1 2 : : : R (Rm ), 1 2 : : : , , ) , fW (t) t > 0g , ( !) L(1 2 : : : ) = L(1 2 : : : ) Xk ; W (t) = O(h(t)) .. t ! 1k 6t(6.45) h { .
' (6.45) ) .. ! 2 E C (!) > 0, jXk 6tk ; W (t)j 6 C (!)h(t) t > t0(! C (!)). (6.45) XPk 6tk ; W (t) = o(g(t)) .. t ! 1(6.46)), j k6t k ; W (t)j=g(t) ! 0 t ! 1 .. ! 2 E, g { .A 96.38 (I%). 1 2 : : : { , E1 = 0 E12 = 1. (6.46), g (t) = (t log log t)1=2, t > e.C " 0, . 4, . ??. C ) (6.45), " ", -, 4 @ O?], O?].' , ) .= . O?], O?].E. 6.39. 0 ) C6.38 C O0 1], ...
1 2 : : : p . 2 (k=n Sk = 2n log log n), k = 0 : : : n, n > 3, S0 = 0, Sk = 1 + : : : + k , k > 1.E. 6.40. * ) , ] {: X1 X2 : : : { ... EX1 = 0, EX12 = 1. @ p 1 fSn= 2n log log n n > 3g O-1,1] ( Sn = X1 + : : : + Xn ).0 ) . 6.39 ) h : C O0 1] ! R125E. 6.41. + fXk g fSk g { , 6.40. + f (t) { - , M O0,1]. @ 1RX k Z 1 2 !1=2F (u)du n Sk =n3;1=2lim sup(2n log log n)fn!1k=10 F (u) = u1 f (t)dt u 2 O0 1].' ) , ) . +X { .+ M (X ) { -B(X ) (.. M ), , f : 7! hf i =ZXfd f 2 CK+ { .E. 6.42. C, M (X ) { .
C " , f1 f2 : : : { , CK+ , ( ) =Xk2;k (jhf i ; hfk ij ^ 1) 2 M (X ) . + " B(M (X )) f f 2 CK+ (.. -, " ), B : 7! (B ) B 2 X, 2 M (X ), X = fB 2 M : (@B ) = 0g, M { X .D (E F P ) { X 2 FjB(M (X )), X . % ,) ( ) N (X ) M (X ), ) { .E. 6.43. + Y Y1 Y2 : : : { X { . C, ) "D Y n ! 1.1.
Yn !D2. hf Yni !hf Y i f 2 CK+ (n ! 1).D (Y (B ) : : : Y (B )) B : : : B 2 X k 2 N, 3. (Yn(B1) : : : Yn(Bk )) !1k1kYXY = fB 2 M : Y (@B ) = 0 ..g.=, , , O?], O?]. 8 , ) . - , , O?].126 7. ( & . ( fXt t 2 U g j B(R)- . 4# 2 Rd. 4# d- ! . . 5! d- !." . % , ! # A A.@ .' 4, ) , , % , % -< - '% &%, < &. % t % %, =, , % % t. ' - , t () t. D (t = 0 1 : : : ), . K , , n , n. +, 7 , ).
= 4 ( )), ).1 -% .( ) . G % . + X = fXt t 2 T Rg | , (E F P ) ) t (X B). 0.. X , t 2 T A 2 F6t = fXs : s 2 T \ (;1 t]g, B 2 F>t = fXs : s 2 T \ Ot 1)g P (AB j Xt ) = P (A j Xt)P (B j Xt) ..(7.1)BCDA 2 F6ttB2DB 2 F>t. 7.1J (7.1) , 7&8 7=8 7%8.(, P (A j A) := E(1 A j A) A 2 F - A F , E( j ) := E( j fg) .". .. . @ , - (...) .. - A F ( E( j A)).
K , " : E ! R, 1) A j B(R)-, 2) C 2 AE 1 C = E 1 C :0 ) M{( , Ejj < 1, ) "127(1 2, P (1 = 2) = 1). C = (1 : : : n ): E ! Rn E( j A) == (E(1 j A) : : : E(n j A)) , ) . 7.1. X | % , #t 2 T F G, F6t j B(R)- F>t jB(R)-, E(FG j Xt ) = E(F j Xt)E(G j Xt )(7.2)..2 =, (7.1) (7.2), F = 1 A , A 2 F6t G = 1 B ,B 2 F>t.
(7.2) (7.1). + ... (E( + j A) == E( j A)+ E( j A) .. 2 R - A F , Ejj < 1, Ej j < 1), (7.2) %& F=MXi=1ci1 Ai G =NXj =1dj 1 Bj ci dj 2 R, Ai 2 F6t , Bj 2 F>t, i = 1 : : : M , j = 1 : : : N .3 A jB(R)- h ( sup jh(!)j < H ) !2P2n ;1 %& A j B(R)- hn =rnk 1 Dnk , k=0rnk = ; H + kH 2;n+1 , Dnk = f! : rnk < h(!) 6 rnk + H 2;n+1 g 2 A, k = 0 : : : 2n ; 1.+ " sup jhn(!)j 6 H !2sup jhn(!) ; h(!)j 6 H 2;n+1 n 2 N:!2(7.3)( E(hn j A) ! E(h j A) .. (jE(hn j A) ; E(h j A)j 6 E(jhn ; hj j A) 6 H 2;n+1 ).= , n ! ..
~n ! ~ .. n ! 1 n = ~n.. (n 2 N), = ~ .. 2 7.2. (E F P ) F j B- .. Xt, t 2 U , (X B ). # fXt t 2 U g jB (R)- h (sup jh(! )j < H ) .. ! L1 (E F P ) f1(Xs1 ) : : :fm (Xsm ). H fi | B jB(R)- $%, #) si 2 U , i = 1 : : : m ( m 2 N, si $% fi , i = 1 : : : m).2 + An = fXt t 2 U g , 7.1,2P;1 hn =rnk 1 Dnk , Dnk 2 A. @ (. k=04.3), A = fAg, A L = f! : (Xs1 : : : Xsm ) 2 C g,q(C1j : : : Cmj ) s1 : : : sm 2 U Cij 2 Bi = 1 : : : m j = 1 : : : qQ m q 2 N (7.4) 7 .C=128j =1C " > 0 D 2 A (. 4.2) L" 2 A: P (D 4 L") < ".
+" n 2 N, k = 0 : : : 2n ; 1 "n 2 (0 1) Lnk 2 A, P (Dnk 4 Lnk ) < "n 2;n .n ;12P+ ~hn =rnk 1 Lnk , k=0Ejhn ; ~hnj 6X2n ;1k=0jrnk jEj1 Dnk ; 1 Lnk j ==X2n ;1k=0H 2;n+1jrnk jP (Dnk 4 Lnk ) 6 H 2n "n2;n = H"n: (7.5)0, Ejh ; h~ nj 6+ H"n , n 2 N, (7.3) (7.5). +"~hn ! h n ! 1 L1(E F P ).
0 , , , , , ) .. = , L 2 A, C (7.4),1 L (!) =qXj =11 C1j (Xs1 (!)) : : : 1 Cmj (Xsm (!)):(7.6)1 , % &%,, %& < ,% %, %' < H . C " , ) , ) Lnk k = 0 : : : 2n ; 1;1 Lnj ) Lbn0 = Ln0 Lbnk = Lnk n kj=0Pnk = 0 : : : 2n ; 1, bhn = 2k=0;1 rnk 1 Lbnk , n 2 N ( " "n , "n2n ! 0, n ! 1). 2% 7.3.
4 % X m n 2 N, # s1 < : : : < sm 6 t 6 t1 < : : : < tn ( T ) , (7.2) F = f1(Xs1 ) : : : fm(Xsm ) G = g1(Xt1 ) : : :gn (Xtn )(7.7) fi gj | B jB (R)- $%, (7.7) fi = 1 Ci gj = 1 Dj Ci 2 B Dj 2 B i = 1 : : : m j = 1 : : : n: (7.8)2 0 ... 7.2 7.1. -, h h~ n , ) 7.2,EjE(~hn j Xt ) ; E(h j Xt )j 6 E(Ej~hn ; hj j Xt) = Ej~hn ; hj:0, fnk g, E(~hnk j Xt) ! E(h j Xt ) .. k ! 1. 2 7.4.
X | % , #m n 2 N # s1 < : : : < sm 6 t 6 t1 < : : : < tn ( T ), B jB (R)- $% g1 : : : gnE(G j Xs1 : : : Xsm Xt) = E(G j Xt) ..,(7.9) G (7.7), (7.7) . $% gj (7.8).1292 + ... (., , O?, . 2, x7]), A j B(R)-.., .. , Ej j < 1, Ej j < 1, E( j A) = E( j A) .. -, Ejj < 1 - A1 A2 F , E(E( j A1) j A2) = E(E( j A2) j A1) = E( j A1) ..(7.10)+ (7.9). @ F G, (7.7), E(FG j Xt) = E(E(FG j Xs1 : : : Xsm Xt) j Xt) == E(F E(G j Xs1 : : : Xsm Xt) j Xt) = E(F E(G j Xt) j Xt) == E(G j Xt)E(F j Xt)( ..., , 1).+ (7.2). 0.. E(G j Xt ) fXtg j B(R)-.+" (7.9) , E1 C E(G j Xt) = E1 C G C 2 fXs1 : : : Xsm Xtg.
9, E(E( j A)) = E A F Ejj < 1, (7.2)E1 C G = E(E(1 C G j Xt )) = E(E(1 C j Xt)E(G j Xt )):0 ,E1 C E(G j Xt) = E(E(1 C E(G j Xt) j Xt)) = E(E(G j Xt )E(1 C j Xt )): 2 7.5. 4 % X ( ) 7.4 n = 1.2 G (7.7), n > 2. @, (7.9) n = 1,E(G j Xs1 : : : Xsm Xt ) == E(E(G j Xs1 : : : Xsm Xt Xt1 : : : Xtn;1 ) j Xs1 : : : Xsm Xt) == E(g1(Xt1 ) : : : gn;1 (Xtn;1 )E(gn (Xtn ) j Xtn;1 ) j Xs1 : : : Xsm Xt) == E(g1(Xt1 ) : : : g~n;1 (Xtn;1 ) j Xs1 : : : Xsm Xt) g~n;1 (Xtn;1 ) = gn;1 (Xtn;1 )E(gn (Xtn ) j Xtn;1 ). 4 (., , O?, . 236]) , E( j ) = '( ), ' | B jB(R)- (" , , ), , jE( j )j 6 H .., jj 6 H ..