А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Что такое случайный процессй 1. Случайной функцией называется семейство случайных величин, зависящих от параметра 1, пробегающего произвольное множество Т. Этот параметр мы будем писать либо в виде индекса, либо в скобках, например: случайная функция «ь ! е= Т; случайная функция х(!), ! ~ Т. Так как под случайной величиной мы понимаем измеримое отображение основного вероятностного пространства (О, !т, Р) в измеримое пространство (Х, М'), то счучайная функция чь ! е.= Т, — это, если записать более подробно, функция ~~(ы) от пары ! с.= Т. ы с== П, которая при каждом ! в= Т измерима по ьь Чаще всего мы будем рассматривать числовые случайные функции, т. е.
(Х, вс) у нас будет числовой прямой Ж с о-алгеброй борслевских множеств Я' (или комплексной плоскостью с соответствующей о-алгеброй борелевских множеств). Когда Т вЂ” подмножество действительной прямой, а параметр ! интерпретируется как время, вместо термина «случайная функция» употребляется термин случаиный процесс (когда Т состоит из целых чисел, говорят также о случайной последовательности), Мы будем заниматься в основном случайными процессами, а не случайными функциями на более сложных множествах Т Вместо случайный процесс говорят иногда вероятностный или стохастический; иногда мы будем говорить просто процесс (ведь никаких процессов, кроме случайных, мы не рассматриваем).
2. Введем некоторые основные понятия, связанные со случайными функциями. В функции $~(ы) можно зафиксировать элементарное событие ы и получить функцию я (гв). Это— уже неслучайная функция от ! е= Т; она называется реализацией случайной функции (еще выборочной функцией; для случайных процессов также траекторией), Наоборот, зафиксировав г е- =Т, мы получим случайную величину. В связи с понятием эквивалентности случайных величин вводится следующее определение. Случайные функции сг и пи определенные на одном и том же Т и одном и том же вероятностном пространстве (ьз, Я, Р) и принимающие значения в одном и том же пространстве (Х, Ж), называются стохастически эквивалентно!ми, если они совпадают почти наверное при любом фиксированном й при любом ( РДг~ г) =О.
Согласно общему духу теории вероятностей, пренебрегающей событиями, имеющими вероятность О, считается, что подмена изучения некоторой случайной функции изучением какой-либо другой эквивалентной ей случайной функции не наносит ущерба теории и не влияет на практические применения. Далее, если сг при любом Ге= Т вЂ” случайная величина, то (сге ..., -'г ) при любых (!, ..., („е== Т— случайный вектор, принимающий значения в (Х", б'"). Если распределение )г),, ), мы будем кратко 'я обозначать рг, р,, (А) = Р ~(ь,, ..., еь, ) е= А~, А е= Ж . Эти распределения при всевозможных (ь ..., г'„е— = Т называются конечномерными распределениями случайной функции. Конечномерныс распределения имеет смысл рассматривать и для различных ц, гм и когда некоторые из них совпадают. Однако распределения рг для которых накие-то из т совпадают, легко найти через конеч- Ч! номерные распределения, соответствуюшке попарно различным злементам Т.
Так, скажем, Мгах(А) =-!хм(В), где Ь' =. (х, у): (х, х, у) ге А) гы гнат".т(б зев Т, !Ф ю Л ел,"). Легко видеть, что если две ! случайные функции стохасти- рис. 2 чески эквивалентны, то их конечномерные распределения совпадают (но, конечно, не наоборот). Что касается реализаций, то они могут быть у стохастически эквивалентных случайных функций совершенно различными. Например, пусть Т = (О, 1) и дана случайная величина т, 0 ( т ( 1, с непрерывным распределением.
Положим йг = — 0; т)~ = О, если тат, и т)~ = 1, если 1=я. Эти случайные процессы стохастически эквивалентны: Р (йг ~ ть) = =Р (т=Г)=01 траектории т)~ имеют разрыв в точке т, а любая траектория йг — тождественный нуль (рис. 2). 2 1.2. Примеры случайных процессов. Винеровский процесс В этом параграфе мы ознакомимся с целым рядом примеров случайных функций; чтобы знакомство было теснее, предлагаются задачи, связанные с этими случайными функциями. В зада чах речь идет в основном о конечномерных распределениях — это единственное, что мы пока знаем о случайных функциях. 1. 3 ад а ч а 1. Пусть А, Ч и м — случайные величины, причем Л, Ч неотрицательны и имеют произволыюе совместное распределение, а ~р не зависит от них и имеет равномерное распределение на отрезке 10, 2н).
Рассмотрим случайный процесс $~ = Л сов(г11+ гр), — со < 1 ( со, )!окажите, что его ковечномерные распределения не меняются при любом сдвиге времсни )гг +а г„а=рг ~ для 1 "" ч любого действнтельнога Ь. Это — случайное синусоидальное колебание— процесс, рассматриваемый в связи с различными приложениями. 2. Очень важным для нашей теории примером является винероаский процесс. Мы говорим, что случайный процесс гаг — винеровский (буква ш по имени Винера), если выполнены следующие требования: !.
Для любых 1, < Г, < ... < г„приращения цч, — шг,, гаг, — югп ..., юг — гаг, независимы. 1!. Случайная величина юг — ю„з ( 1, имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией г — з (короче: с параметрами (О, г — 8)). И1. Траектории гаг непрерывны. Мы определили винеровский процесс аксиоматически, описанием его свойств; конечно, возникает вопрос: а существует ли математический объект, 18 удовлетворяющий этим аксиомамг Мы отложим доказательство существования винеровского процесса до гл. о. Винеровский процесс служит в каком-то приближении математической моделью движения частицы под действием хаотических ударив молекул; поэтому его называют также броуновским движением.
Винеровский процесс обладает интересными непривычными свойствами. М и к р о т е о р е м а. Сумма квадратов «гриращений винсровского процесса, соответствующая разбиению а = со ( Г! ( ... (1,= Ь отрезка от а до Ь, сходится к Ь вЂ” а в среднем квадратическом при измельчении разбиения: и†! 1 1.гп. ~ ', (ю«. — и«.)2=Ь вЂ” а. (1) «иаир „— ««1-ио« Д о к а з а т е л ь с т в о, Сосчитаем математическое ожидание и дисперсию суммы в (1).
Имеем л — ! л — ! М ~', (и««с+, — ич!)'= ~ М (ш««+, — и««с)2 = «=О «-О и†! п- ! = Е Р (ю«с , — ю«с) = ~~' (Гс.г ! — 1«) = Ь вЂ” а; с=о «-О в силу независимости и««,+, — и««и «=О, 1, ..., и — 1, л-1 л — ! Р ~~'„(и«~.~, — ц««,)2= х Р(и«О, — гв«.)2= л-! = 2: [М (ю«с+! — ~г«с)' — (М (и««с+, — гв,,)')'] = п — ! л — ! =Х (з(г, — г,)2 — (㫄— г,)2)=й Е (г...— г,)2. «=О с-о Но последняя сумма не превосходит гпах(й+! — 6)Х и-! Х х, (1« ! — «с)=(Ь вЂ” а) гпах(Г«.„! — «с), что по пред«-о положению стремится к нулю. Итак, Гл-! ч2 л — ! М ~ Х (гв«с+, — а««с)2 — (Ь вЂ” а) ] = Р Х (н«««~, — и««с)2- О при измельчении разбиения, т.
е. сходимость в сред- нем квадратическом имеет место. Мы видим, что винеронская случайная функция обладает свойстном, непривычным для функций, с которыми мы обычно имеем дело: приращение гладкой функции имеет тот же порядок, что приращение аргумента, и сумма квадратов приращений стре- мится к нулю; а для функций, изменяющихся скачками, такая же сумма стремится к сумме квадратон скачков на отрезке от а до Ь, и предел не зависит непрерывным образом от а, Ь.
Чтобы построить непрерывную (не случайную) функцикх обладающую подобным свойством, пришлось бы проявить много изобрета- тельности. Пример непрерывной, по нигде не дифференпируемой функ- ции строится ие очень просто, а винеровские траектории, как можно доказать, почти все являются такими функциями. 1(стати, заметим, что нз доказанной микротеоремы не выте- кает, что для почти всех траекторий нинеровского процесса и Пш ~ (ш — ш )~ при нзмечьчении разбиения отрезка от а гю г/ до Ь будет существовать: из сходимости в среднем кнадратиче оком вытекает сходнмость по вероятности, но не сходнмость почти наверное; можно лишь утверждать, что для какой-то по- следовательности разбиений с вероятностью ( этот предел сутзте- ствует и ранен Ь вЂ” о 3 а д а ч а 2. Обозначим и„()) ломаную с вершинами в точа 1 ках /г(2", У' Гю „— ш птз Докажите, что последовау' (, тельность случайных функций и„()) с вероятностью ) сходится к ) равномерно на любом конечном отрезке [О, Т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
