А.Д. Вентцель - Курс теории случайных процессов (1134103), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Первое. Так как при обычном доказательстве теоремы Колмогорова о конечномерных распределениях фактически повторяется одно из доказательств компактности гильбертова кирпича, автор дал доказательство, явно опирающееся на эту компактность (9 6.1). Окончательная формулировка теоремы дается в терминах борслевских измеримых пространств. Второе: в книгу включены элементы теории, связанной со слабой сходимостью распределений в функциональных пространствах (9 5.4, подготовительный материал 9 5.2). В первом издании эта проблема всего лишь упоминалась.
Третье: при рассмотрении стохастических интегралов за основу берутся интегралы не относительно процессов с нскоррелированными приращениями, а относительно случайных мер с некоррелированными значениями Я 2.2). Вообще, больше внимания уделяется стохастическим мерам, в частности, рассматривается пуассоновская мера Я !.2).
Построение стохастического интеграла от случайных функций Ц 12.1) дается тоже на основании стохастических интегралов относительно случайных мер, как это было показано в статье Ж. Пелломсля (!. РеПашпаИ «Бпг Г!и!епга!е з(ос)заз!!9це е1 1а десогпроз!1!оп бе ВооЬ вЂ” Меуег, Аз!ег!яйце» (т'о1. 19. Рпй)(са(!оп бе 1а Ьос!е1е Ма!пегпа!!г!пе де Ргапсе, 1973)) и в ряде других; в педагогической практике — в ротапринтиых лекциях Н. В. Крылова «Введение в теорию случайных процессов» (Ч.
1. — Мл Изд-во МГУ, 1986). Рассмотрение стохастических интегралов относительно случайных мер облегчает применение этого аппарата за пределами материала, затронутого в книге. Далее, более широко изложен аппарат, используемый для учета зависимости в теории случайных функций: свойства независимости случайных функций от будущего, включая предсказуемость Я 6.2), и аппарат компенсаторов, используемый при применении мартингалов (9 7.2). Наконец, упорядочено изложение теории марковских процессов (вместо первых трех параграфов гл. 8 первого издания написаны два новых). ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Книга написана иа основе лекций по теории случайных процессов, прочитанных автором в 1969 г. студентам 111 — 1У курсов механико-математического факультета МГУ.
Эти лекции были изданы ротапринт- но (А. Д. Вентцель, Случайные процессы (Лекции для студентов !11 курса), М., 1969; Случайные процессы (Лекции для студентов ! У курса), М., 1970)), затем значительно переработаны. Интерес к изучению теории случайных процессов очень широк, и, по-видимому, нет необходимости указывать здесь, какая это важная часть теории вероятностеп и как много она имеет приложений. Автор видел свою цель не в том, чтобы формулировать и доказывать теоремы в наиболее окончательной форме, а в том, чтобы ознакомить читателей с сущностью применяемых методов на простом по возможности материале.
В связи с этим книга содержит не очень много больших теорем и довольно большое число иикротеорем (часть из них в виде задач). Хотя между микротеоремами и теоремами нет совершенно резкой грани, автор считает понятие микро- теоремы приипипиальио важным. Тот, кто овладевает каким-либо разделом математики, должен придумывать такие микротеоремы в большом числе; из них 60 ~/о должны легко доказываться, ЗО 7а — оказываться неверными и легко опровергаться, а в остальных 1О 70 разобраться труднее — из них могут получиться даже настоящие хорошие теоремы. Часть материала дана в виде задач. Решения задач составляют отдельную часть книги, чтобы боль- шс была вероятность того, что читатель будет решать их сам. Решения даются не для всех задач и не очень подробно; предполагается, что читатель напишет их решения с нужной степенью подробности сам для себя (а также восстановит опущенные части доказательств в основном тексте и сделает недостающие чертежи).
Задачи, данные обычным шрифтом, нужно решать сразу же; с задачами, набранными петитом, можно подождать до конца параграфа или главы. Задачи, при номерах которых стоит звездочка,— не обязательные, на них ничто не опирается. Конечно, за пределами книги неизбежно должны были остаться целые разделы теории. Хорошо будет, если читатель постарается пополнить свои знания по теории случайных процессов и возьмется за изучение какой- нибудь книги, более богатой материалом, например книги Дуба (1956). Дело не только в новом материале, но и в общем подходе, методах, новых точках зрения. Вопросы принадлежности приводимых результатов тем илп иным авторам, истории н литературы по предмету затрагивались лишь эпизодически; литературные ссылки даются в основном тогда, когда приводятся без доказательства какие-либо вспомогательные сведения.
Отбор материала обусловлен в основном педагогическими соображениями. Что касается общего подхода к материалу, — систематически подчеркивается связь теории с фактами функционального анализа. Когда был выбор: провести какое-либо рассуждение, касающееся случайных процессов, независимым образом или сослаться на тот или иной аналитический результат (например, изоморфность всех бесконечно- мерных гильбертовых пространств),— предпочтение отдавалось последнему. Книга делится на главы, главы — на параграфы; параграфы — на пункты; 1, 2 и т. д., пункты — иногда на подпункты: а), б) и т. д. (при ссылках, например, так: п.
2а)). Нумерация формул, теорем, задач и т. п, своя в пределах каждого параграфа (при ссылках в пределах одного параграфа указывается номер формулы, задачи и т. пл за пределами параграфа дается также номер параграфа). В решениях задач формулы нумеруются в пределах одного решения: («-), ( ) и т. дл ссылка например, просто иа формулу (5) или задачу 3 означает, что формула или задача находится в том же параграфе, что и данная задача. Ссылки на список литературы даются указанием фамилии автора (фамилий авторов) и года издания, Автор выражает благодарность прочитавшим различные части рукописи и сделавшим замечания по ее улучшению: С.
А. Молчанову, Е. Ь. Дывкину, Е. С. Вентцель и в особенности А. Н. Ширяеву; О. А. Бояриновой, без самоотверженной помощи которой книга, конечно, не вышла бы; а также Т. Пахомовой, В. Орлову, Н. Гоз и другим студентам, взявшим на себя часть работы. введение При изучении самых разных явлений действительности мы сталкиваемся с процессами, предсказать течение которых заранее не можем. Например: колебания высоты полета самолета около того значения, которое он должен выдерживать; движение отдельной молекулы в газе, заключенном в сосуд; размножение бактерий в питательной среде.
Мы не можем заранее предсказать, например, будет лн в такой-то момент времени колония состоять из 1001 или 1002 бактерий и в каком месте какая бактерия будет находиться. Такие процессы можно изображать случайным движением точки в специально подобранном для каждой задачи пространстве. Так, колебания высоты полета опишет точка, движущаяся по числовой оси; движение молекулы — точка, движущаяся в области трехмерного пространства, имеющей форму сосуда (в сущности, и сама молекула — почти что точка).
Для описания размножения бактерий придется построить более сложное пространство. Пусть питательная среда заключена внутри стеклянной трубочки, толщиной которой мы можем пренебречь. Составим пространство из одной точки -;:, отрезка [О, 1] (1 — длина трубочки), треугольника ((х, у): 0<у<х -1), тетраэдра ((х, у, з): 0 =г<у< < х < 1), четырехмерного симплекса ((х, у, з, и)." 0<п<г<у<х<1) и т. д.— возьмем счетную сумму множеств возрастающей размерности (рис.
1). Точка ч будет означать, что ни одной бактерии у нас не осталось; точка х на отрезке (О, 1) — что есть ровно одна бактерия и она находится на расстоянии х от левого конца трубочки; точка (х, у) треугольника — что есть две бактерии на расстояниях от левого конца соответственно х и у, и т. д. При делении какой-либо из бактерий точка, изображающая состояние системы, будет перескакивать в симплекс следующей размерности, а когда одна бактерия гибнет, в симплекс предыдущей размерности, Иногда приходится рассматривать и более сложные пространства.
Д Далее, движение точки в каком-то пространстве— это функция от аргумента ( (времени) со значениями в этом пространстве; случайное движение -- это функция от времени со случайными значениями в пространстве, о котором идет речь. То есть математическая модель случайных процессов реального мира — зто функция от ?, значения которой — случайные величины; причем мы должны быть готовы к тому, чтобы зто были не случайные величины в узком смысле — не числовые, а принимающие значения в более или менее произвольном пространстве, (Не будем обсуждать условий применимости вообще теоретико-вероятностных понятий к явлениям реального мира.) После того как мы пришли к такой математической модели, ее можно обобщать в различных направлениях. Разумное обобщение — рассматривать случайные функции от аргумента ?, не имеющего смысла времени и могущего принимать значения не на числовой оси, а в каком-нибудь другом множестве.
Это может быть нужно, в частности, для изучения изменчивости тех или иных величин нс во времени, а в пространстве. Предварительные сведения. Обозначения. Прежде всего предполагается, что читатель довольно хорошо владеет математическим анализом (в объеме первых трех лет университетского курса), в частности что он знаком с мерами, интегралом Лебега и с элементами функционального анализа (гильбертово и банахово пространство, линейные операторы). Автор старался придерживаться терминологии книги А. Н. Кол м ог о р о в а и С. В.
Ф о м и н а «Элементы теории функций и функционального анализа», (Мл Наука, 1968) и пользоваться в основном сведениями по теории меры и функциональному анализу, содержащимися в этой книге; когда приходилось выходить за эти пределы, автор старался отослать читателя к какому-нибудь широко распространенному руководству. Миожесша мы обычна обозначаем прописными латинскими или греческими буквамн; системы множеств рукописными (лк, и<, ...); различные функциональные пространства -- жирными (например, С, Гз).
Множество злемеи гав х, для которых выполнено то-то н то-то, мы обозначаем (х: Г!редползгается, что читатель знакам со следующими терминами и фактами. Евклидова пространство, гильбертова пространство, банахово пространство (Кол м о горов и Ф о м и н, !968, гл. ! П, 6 3, 4). Порожденная системой множеств тт и-алгебра (обозначение. о(%')); а-алгебра борелезскпх подмножеств метрического (топологического) пространства Х (т, е п-алгебра, порожденная открытыми множествами; обозначение Ях). Измеримое пространство, измеримое отображенке, измеримая числовая функция.
Мера; термин; почта всюлу относительно меры р (или: р-почти всюду); теорема об однозначном продолжении меры с полукольца на и-алгебру (К о л м о г о р о в и Ф о м и н, !968, гл. Н, й 3, 4). Если м! — какая-то алгебра подмножеств Х, р-- копечная мера на порожденной атой алгеброй и-алгебре о(хй), то для любого множества Л щ п(зй) и любого в 'и О сущес<вует множест'но Лг ец.гз такое, что мера симметрической разности р(Л ДЛ,) меньше ь (см Х а л и ош, 1953, й 13, теорема 4). Гели р — конечная мера па борелсвских подможествах локально компактного метрического пространства Х, то для любого борелевского множества его мера равна верхней грани мер содержащихся в нем компактов (Х а л м о ш, !953, 6 52, теорема 7). Интеграл лебега (обозначепие. ~ Г(х) и (<(х) илн сокращенно ~ < ь<р) 1 л л микр<иеорема о замене переменных в интеграле Лебега: если и-- измеримое отображение измеримого пространства (Х, га) в (У, чу), à — измерил<их числовая Функция ни (У, <г), мерь< и нц (Х, гс) и т ни (У, чр) связинь< соотно<пением з<(В) =- 1<(й< '(В)), то Г (в (х]) П (бх) = ~ Г (д) т (<(у); теоремы о предельном переходе под знаком интеграла (К о лм о г о р о в и Ф о и н и, 1968, гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
