Программа курса (1134089)
Текст из файла
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ВЕСНА 2017 г.I. Программа курса1. Алгебры и сигма-алгебры событий:— событие как подмножество множества элементарных исходов, операции объединения, пересечения и дополнения, их свойства;— определение и свойства алгебр и сигма-алгебр подмножеств множества Ω, примеры.2. Понятие предела последовательности событий:— определение верхнего и нижнего пределов последовательностей множеств, связь с пределамипоследовательностей индикаторных функций;— существование предела монотонных (по включению) последовательностей множеств.3.
Аксиомы вероятности и следствия из них:— простейшие следствия из аксиом, вероятность дополнения к событию, вероятность объединениясобытий;— теоремы о непрерывности вероятности для монотонных и произвольных последовательностейсобытий.4. Условная вероятность:— вероятностное пространство условной вероятности (аксиоматическое определение);— свойства условной вероятности, формула полной вероятности и формула Байеса.5. Независимость событий:— определение попарной и совокупной независимости;— свойства независимых событий.6. Биномиальная схема независимых испытаний:— вероятностное пространство биномиальной схемы независимых испытаний (аксиоматическоеопределение);— биномиальное распределение и отрицательное биномиальное распределение;— теорема Пуассона, интегральная теорема Муавра–Лапласа и локальная теорема Муавра–Лапласа.7.
Случайные блуждания по прямой:— математическая модель случайных блужданий как последовательности независимых испытаний;— распределение координаты точки на n-м шаге;— принцип отражения и вероятность достижения заданной точки без захода в начальную точкудвижения.8. Цепи Маркова:— цепь Маркова как последовательность случайных величин, совместное распределение первыхn шагов;— определение и свойства матриц перехода за один и n шагов;— финальные вероятности перехода и финальные распределения, теорема Маркова (без доказательства);— теорема о сходимости среднего времени пребывания в данном состоянии к финальной вероятности состояния, эргодичность.9.
Понятие случайной величины:— определение случайной величины, функция распределения, плотность распределения;— типы распределений (дискретное, абсолютно непрерывное);— свойства функции распределения.110. Понятие многомерной случайной величины, независимость случайных величин:— совместная функция распределения, совместная плотность распределения;— независимость случайных величин попарная и в совокупности, теорема о независимости функций от независимых случайных величин.11. Математическое ожидание:— определение случайной величины;— свойства математического ожидания сумм и произведений случайных величин;— неравенства Чебышёва и Коши–Буняковского.12. Дисперсия и коэффициент ковариации:— определение дисперсии случайной величины и матрицы ковариаций случайного вектора;— свойства дисперсии и матрицы ковариаций.13.
Характеристические функции и их свойства.— определение и простейшие свойства (характеристическая функция суммы независимых случайных величин, связь производных характеристической функции с начальными моментамислучайной величины, преобразование характеристической функции при линейном преобразовании случайной величины);— формулы, связывающие характеристическую функцию с функцией распределения и плотностью распределения (без доказательства), теорема о связи сходимости последовательности характеристических функций со сходимостью по распределению (без доказательства).14.
Условные распределения и условные плотности распределения:— определение условного распределения для дискретного и абсолютно непрерывного совместныхраспределений двух случайных величин;— формулы полной вероятности и формулы Байеса для условных плотностей.15. Сходимости последовательностей случайных величин:— сходимости с вероятностью единица (почти наверное), по вероятности, по распределению;— лемма Бореля–Кантелли.16.
Законы больших чисел:— закон больших чисел в форме Чебышева, теорема Бернулли;— усиленный закон больших чисел, сходимость (почти наверное) частоты к вероятности.17. Центральная предельная теорема и интегральная теорема Муавра–Лапласа.18. Основы теории возможностей:— возможность как мера множества, сумма и произведение возможностей;— классы эквивалентных возможностей;— максимальное согласование возможности и вероятности в пространстве с конечным числомэлементарных исходов;— понятие нечёткого элемента, распределение нечёткого элемента, пример расчёта распределения(сумма независимых элементов).Список литературы[1] Ю. П. Пытьев, И. А. Шишмарёв, «Теория вероятностей, Математическая статистика и элементы теории возможностей для физиков», М.: МГУ, 2010.[2] Б. В.
Гнеденко, «Курс теории вероятнстей», М.: Едиториал УРСС, 2005.[3] А. Н. Ширяев, «Вероятность», М.: МЦНОМО, 2004.[4] Р. Феллер, «Введение в теорию вероятнстей и ее приложения», М.:Мир, 1984.[5] Материалы на сайте кафедры математического моделирования и информатики,http://cmp.phys.msu.ru/ru/study/probability.2II.
ВОПРОСЫ БИЛЕТОВНиже приведены вопросы в том виде, в каком они будут сформулированы в билетах; в спискевозможны повторы вопросов.1. Понятие случайного события. Алгебры и сигма-алгебры событий. Примеры и свойства алгебр и сигмаалгебр.2. Понятие предела последовательности событий. Сходимость монотонных последовательностей событий.3. Аксиомы вероятности и простейшие следствия из них.4.
Теорема о непрерывности вероятности для монотонных и произвольных последовательностей событий.5. Пространство условной вероятности. Формула полной вероятности и формула Байеса.6. Независимость событий: попарная и в совокупности. Свойства независимых событий.7. Вероятностное пространство биномиальной схемы независимых испытаний. Биномиальное распределение. Отрицательное биномиальное распределение.8. Биномиальное распределение. Теорема Пуассона.
Интегральная теорема Муавра–Лапласа и локальная теорема Муавра–Лапласа.9. Случайные блуждания по прямой. Распределение координаты на n-м шаге, вероятность блужданийбез захода в ноль.10. Цепи Маркова. Свойства матриц перехода.11. Финальные распределения в цепи Маркова. Теорема Маркова. Эргодичность цепи Маркова.12. Определение случайной величины. Свойства функции распределения. Плотность распределения и еесвойства.13. Независимость случайных величин: попарная и в совокупности. Функции от независимых случайныхвеличин. Свойства моментов суммы и произведения независимых случайных величин.14. Математическое ожидание случайной величины и случайного вектора. Свойства математическогоожидания.
Неравенство Чебышёва.15. Дисперсия случайной величины и матрица ковариаций случайного вектора и их свойства. Неравенство Коши–Буняковского.16. Условные распределения и условные плотности распределения. Формулы полной вероятности и формулы Байеса для условных плотностей.17. Неравенство Чебышёва. Сходимость по вероятности последовательности случайных величин. Законбольших чисел в форме Чебышева. Теорема Бернулли.18.
Сходимость с вероятностью единица (почти наверное). Лемма Бореля–Кантелли.19. Усиленный закон больших чисел.20. Сходимость по распределению последовательности случайных величин. Характеристические функции и их свойства.21. Центральная предельная теорема. Интегральная теорема Муавра–Лапласа.22. Возможность как мера множества. Сумма и произведение возможностей. Классы эквивалентныхвозможностей.23. Согласование мер возможности и вероятности, максимальное согласование.3.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
