Раздаточные материалы (1134074)
Текст из файла
Раздел 1. Теория случайных чисел.Все события делятся на детерминированные, случайные и неопределенные.Если событие наступает в эксперименте всегда, оно называется достоверным, если никогда– невозможным. Это детерминированные события.Статистическое определение вероятности: Если в опыте, повторяющемся n раз, событиеmпоявляется mA раз, тогда относительная частота наступления события: lim hn( A) = A = P( A) .nn →∞Р(А) – вероятность наступления события А.Для достоверного события Ω: Р(Ω)=1. Для невозможного события ∅: Р(∅)=0.0 ≤ P(A) ≤ 1, т.к. 0≤mA≤n Æ 0 ≤ hn(A) ≤ 1Ω mA=n hn(A)=1∅ mA=0 hn(A)=0Все мыслимые взаимоисключающие исходы опыта называются элементарнымисобытиями. Наряду с ними можно наблюдать более сложные события – комбинацииэлементарных.Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если появлениеодного из них не более возможно, чем другого.Классическое определение вероятности: Если n-общее число элементарных событий и всеони равновозможные, то вероятность события А:mР ( А) = A ,nгде mA- число исходов, благоприятствующих появлению события А.Раздел 2.
Сложные события.Теория сложных событий позволяет по вероятностям простых событий определятьвероятности сложных. Она базируется на теоремах сложения и умножения вероятностей.1)Суммой (объединением) двух событий А и В называется новое событие А+В,заключающееся в проявлении хотя бы одного из этих событий.2)Произведением (пересечением) двух событий А и В называется новое событие АВ,заключающееся в одновременном проявлении обоих событий.
А*В=АВ, АА=А, АВА=АВ.3)Событие А влечет за собой появление события В, если в результате наступлениясобытия А всякий раз наступает событие В. А⊂ВА=В: А⊂В, В⊂АДва события называются несовместными, если появление одного из них исключаетвозможность появления другого.Если события несовместны, то АВ=∅.События А1, А2, …Аn образуют полную группу событий в данном опыте, если ониявляются несовместными и одно из них обязательно происходит:AiAj=∅ (i≠j, i,j=1,2…n)A1+A2+…+An=ΩА - событие противоположное событию А, если оно состоит в не появлении события А.А и А - полная группа событий, т.к.
А+ А =Ω, А А =∅.Теорема сложения вероятностей.Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей событий:Р(А+В+С+…) = Р(А) + Р(В) + Р(С) +…Следствие. Если события A1+A2+…+An - полная группа событий, то сумма ихвероятностей равна 1.1A i A j = ∅⎫⎪n⎬ ⇒ P ( A1 + A2 + ... + An ) = 1Аi = Ω ⎪∑i =1⎭P(A+ А ) = P(A) + P( А ) = 1Вероятность наступления двух совместных событий равна:Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) – Р(АВС)В2А= В1Теорема.
Если А⊂В, то Р(А) ≤ Р(В).В=В1+В2 (В1=А) Р(В)=Р(В1) + Р(В2)= Р(А) + Р(В2)Теорема умножения вероятностей. Условные вероятности.Опыт повторяется n раз, mB раз наступает событие В, mАВ раз наряду с событием Внаступает событие А.mmhn(B) = B hn(AB) = ABnnРассмотрим относительную частоту наступления события А, когда событие В уженаступило:mmmhn( AB)hn A = AB = AB ÷ B =BmBnnhn( B )P( AB)PA =- условная вероятность события А по событию В – вероятностьBP( B)события А, когда событие В уже наступило.( )( )Свойства условных вероятностей.Свойства условных вероятностей аналогичны свойствам безусловных вероятностей.P( AB)1. 0 ≤ Р(А/В) ≤ 1, т.к.
P A =; АВ ⊂ В, Р(АВ) ≤ Р(В)BP( B)2. Р(А/А)=13. В⊂А, Î Р(А/В)=1BΩ = BP Ω =1B4.Bο/ = ο/P ο/ = 0B( )( )( )5. Р[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) – Если события А и С несовместныР[(A+C)/B] = Р(А/В) + Р(C/В) - Р(АC/В) – Если события А и С совместны(P AСB) = P(( AP(+BС) )В ) = P( AВP( B+)СВ ) = PP((AВB)) + PP((СВB)) = P(A B ) + P(С B )Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одногособытия на условную вероятность другого.Р ( АВ ) = Р( А) ⋅ P В = Р(В ) ⋅ P ААВ( )( )2A⎞ ⋅ ...
⋅ P⎛ AN⎞Р( А1 А2 A3 ... AN ) = P( A1 ) ⋅ P⎛⎜ A2 ⎞⎟ ⋅ P⎛⎜ 3⎟⎜AAAA1 А2 A3 ... AN −1 ⎟⎠1⎠1 2⎠⎝⎝⎝Свойства независимых событий.Если события А и В независимы, то независимы и каждая из пар: А и В, А и В , А и В,Аи В .Если события Н1, Н2, …Нn независимы, то заменяя любые из них на противоположные,вновь получаем независимые события.Формула полной вероятности.Вероятность события В, которое может произойти совместно только с одним из событийН1, Н2, …Нn , образующих полную группу событий, вычисляется по формуле:Р ( А) = ∑ P(H i ) ⋅ P⎛⎜ A ⎞⎟⎝ Hi ⎠i =1События А1, А2, …Аn называют гипотезами.NТеорема гипотез (формула Байеса).Если до опыта вероятности гипотез были Р(Н1), Р(Н2)…Р(НN), а в результате опытапроизошло событие А, то условные вероятности гипотез находятся по формуле:P (H i )P( A)НР⎛⎜ i ⎞⎟ = NA⎠⎝P(H i )Р⎛⎜ A ⎞⎟∑⎝ Hi ⎠i =1Пример.
На трех технологических линиях изготавливаются микросхемы. Найти: 1)вероятность того, что случайно выбранное изделие оказывается бракованным; 2) вероятность того,что если изделие дефектно, то оно изготовлено на 1 линии.Вероятность брака№ линииКоличествоизготавливаемыхмикросхем125%5%;235%4%340%2%Рассмотрим события: Н1, Н2,…Нi,…,НN (полная группа событий)– изделие изготавливаетсяi линией; А{изделие с браком}.3Р( А) = ∑ P(H i )P⎛⎜ A ⎞⎟⎝ Hi ⎠i =1P(H 1 ) = 0.25P(H 2 ) = 0.35P(H 3 ) = 0.4⎞ = 0.04P⎛⎜ A ⎞⎟ = 0.05 P⎛⎜ AP⎛⎜ A ⎞⎟ = 0.02⎟⎝ H1 ⎠⎝ H2 ⎠⎝ H3 ⎠1) Р(А)=0,25*0,05+0,35*0,04+0,4*002=0,0345=3,45%0.25 * 0.05H= 0.36 = 36%2) P⎛⎜ 1 ⎞⎟ =A⎝⎠0.0345Схема последовательных испытаний Бернулли.Проводится серия из n испытаний, в каждом из которых с вероятностью р может произойтисобытие А, с вероятностью q=1-р событие А .Вероятность наступления события А не зависит от числа испытаний n и результатов другихиспытаний.Такая схема испытаний с двумя исходами (событие А наступило либо не наступило) называетсясхемой последовательных испытаний Бернулли.Пусть при n испытаниях событие А наступило k раз, (n-k) раз событие А .3С nk =n!- число различных комбинаций события Аk!(n − k )!Вероятность каждой отдельной комбинации: p k q k −1Вероятность того, что в серии из n испытаний событие А, вероятность которого равна р,появится k раз: Pn (k ) = C nk p k q n −kn∑ P (k ) = 1 - условие нормировки.k =0nПример.
Вероятность изготовления нестандартной детали равна р=0,25, q=0.75. ПостроитьмногоугольникраспределениявероятностейчислаP 8 (k )0. 3нестандартных деталей среди 8 изготовленных.N=8p=0.25q=0.750. 2kkР8 (k ) = C8 ⋅ 0.25 ⋅ 0.758− k0. 1k2468Если k0 – наивероятнейшее число, то оно находится в пределах:np-q ≤ k0 ≤ np+qЕсли число (np+q) нецелое, то k0 – единственноеЕсли число (np+q) целое, то существует 2 числа k0.⎧> 1, k < np + p - ломанная линия на [k - 1, k ] возрастаетPn (k )p n − k +1⎪= =⎨< 1, k > np + p - ломанная линия на [k - 1, k ] убываетPn (k − 1) qk⎪= 1, k = np + p ломанная линия постоянна⎩Предельные теоремы в схеме Бернулли.1. Предельная теорема Пуассона.
При р≈0, n-велико, np= λ ≤ 10.λk −λλ2e + Rn , R n ≤k!nФормула дает распределение Пуасона, описывает редкие события.Pn(k)Pnk =2. Предельная теорема Муавра-Лапласа.0 ≤ p ≤ 1, n –велико, np>10nPn (k ) =f (m ) =⎛ k − np ⎞1⎟f⎜⎜npq ⎝ npq ⎟⎠m21 −2e- стандартное нормальное распределение2π3. Предельная интегральная теорема Муавра-Лапласа.В условиях предыдущей теоремы вероятность того, что событие А в серии из n испытанийнаступит не менее k1 раз и не более k2 раз:Pn (k1 ≤ k ≤ k 2 ) = Φ( x 2 ) − Φ( x1 )4t2x−1Φ( x ) =e 2 dt - функция∫2π 0Ф ( х)0, 5Лапласаk − npk − np; x2 = 2x1 = 1npqnpqх-0, 5Следствие:⎛ ε ⎞⎟Pn ( k − np ≤ ε ) = 2Φ⎜⎜ npq ⎟⎝⎠np − ε ≤ k ≤ np + ε123123k1x1 =−εk2; x2 =εnpqnpqПример. ОТК проверяет на стандартность 1000 деталей.
Выбранная деталь с вероятностьюр=0,975 является стандартной.1) Найти наивероятнейшее число стандартных деталей:K0=np=9752) Найти вероятность того, что число стандартных деталей среди проверенных отличается отk0 не более чем на 10.⎛ 10 ⎞⎟ = 2Φ(2,026) = 0,95 = 95%Pn ( k − np ≤ 10) = 2Φ⎜⎜ npq ⎟⎝⎠3) С вероятностью 0,95 найти максимальное отклонение числа стандартных деталей средипроверенных.Pn ( k − np ≤ ε ) = 0,95⎛ ε ⎞⎟ = 0,952Φ⎜⎜ npq ⎟⎝⎠⎛ ε ⎞2Φ⎜⎟ = 0,475⎝ 4,937 ⎠ε4,937= 1,96 → ε = 9,674) Найти число проверяемых деталей n, среди которых с вероятностью 0,9999 стандартныедетали составят не менее 95%.0,95n ≤ k ≤ n⎛0.025 ⎞⎟ = 0.9999P(0,95n ≤ k ≤ n)=0.9999 = Ф(х2)- Ф(х1) = 2Φ⎜⎜ n⎟0.975⎝⎠x2 =x1 =n − npnpq=0,95n − npnpqn (1 − p )pq=− n⎛ n ⎞⎟ = 0,49995Φ⎜⎜⎟39⎝⎠при р=0,9999 n=594при р=0,999 n=428при р=0,99 n=260= n0.0250.9750.0250.975n= 3.9 n=3.92*39=594395Раздел 3.
Случайные величины и распределение вероятностей.Случайная – величина, которая в ходе опыта принимает то или иное значение извозможных своих значений, меняющееся от опыта к опыту и зависящее от множестванепредсказуемых факторов.Если случайные события характеризуют процесс качественно, то случайная величина –количественно.Случайная величина – численная функция, задаваемая на множестве элементарныхсобытий. На одном множестве может быть несколько случайных величин.Дискретная случайная величина (ДСК) – величина, принимающая счетное (конечное илибесконечное) множество значений.Непрерывная случайная величина (НСВ) – случайная величина, значения которойобразуют несчетные множества.
(Например, расход бензина на 100 км у автомобиля Жигули вНижнем Новгороде).Задать св – значит указать все множество ее значений и соответствующие этим значениямвероятности. Говорят, что задан закон распределения случайной величины.Случайная величина может быть задана несколькими способами:1. Табличный.Х a1 a2 … а nР p1 p2 … pn∑ рi = 1Значения случайных величин в таблице ранжируются, т.е. указываются в порядкевозрастания.Недостпаток табличного способа в том, что он пригоден только для случайных величин,принимающих небольшое количество значений.2.
Функция распределения F(x) = P(X<x) или интегральный закон распределения.Указывается вероятность того, что случайная величина принимает значение < x.a1a2a3…аn-1Хp1p2p3…pn-1РF(x) p1 p1+p2 p1+p2+p3 … p1+p2+…+pn-1При увеличении значения случайной величины, количествоступенек функции F(х) возрастает, уменьшается их высота иp 1 +p 2 +p3p 1 +p 2в пределе при n → ∞ получаем гладкую непрерывнуюp1функцию F(х).Свойства функции F(х).a1a2a3xan-1an1. Неотрицательна.
0≤ F(х)≤12. Неубывающая F(х2)> F(х1) при х2>х13. lim F ( x) = 0lim F ( x) = 11ч → −∞p 1 +p 2 +pn1ч → +∞4. Р(a<x<b) = F(a) – F(b) Вероятность того, что значение х попадет в интервал (а,b) определяетсяразностью значений функции на концах интервала.Наряду с F(х) вводится f(x) - функция плотности вероятности или дифференциальный законраспределения:P ( x < X < x + Δx ) F ( x + Δx ) − F ( x ) dF ( x )f ( x) ===ΔxdxΔx∞F ( x) =∫ f ( x )dx−∞Свойства функции f(x):1. Неотрицательна.
(т.к. F(x) неубывающая, f(x)≥0)62. Площадь фигуры под кривойнаbР (a < x < b) =интервале(a,b)равна:f(x)∫ f ( x )dxaaxb+∞Р (−∞ < x < ∞) =∫ f ( x)dx = 1 - условие нормировки функции f(x).−∞Основные дискретные и непрерывные случайные величины.Дискретные случайные величины (ДСВ).1. Биноминальная случайная величина x{0,1,2,3…n}Pn (m) = C nm p m q n −m , p+q=1, 0<p<12.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
