А.Н. Боголюбов, Н.А. Тихонов, И.В. Митина, Н.Е. Шапкина - Задачи для семинарских занятий (1133439)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М.В. ЛОМОНОСОВАБоголюбов А.Н., Тихонов Н.А., Митина И.В., Шапкина Н.Е.Москва, 20062Решение задач 1 – 12.1. Методом усреднения решить приближенно задачу()x + x − μ x − x 3 = 0; x t = 0 = x0 ; x t =0 = 0Решение:⎧⎪ x = z;⎨3⎪⎩ z = μ z − z − x; x t = 0 = x0 ; z t = 0 = 0⎧ x = y cos(t + ϕ );⎨()=−+zysintϕ⎩⎧ y cos(t + ϕ ) − yϕ sin(t + ϕ ) = − y sin(t + ϕ )⎨33⎩− y sin(t + ϕ ) − yϕ cos(t + ϕ ) = μ − y sin(t + ϕ ) + y sin (t + ϕ ) − y cos(t + ϕ ).умножая первое уравнение на cos(t + ϕ ) , второе – на − sin (t + ϕ ) искладывая, получим:y = μy sin 2 (t + ϕ ) ⋅ 1 − y 2 sin 2 (t + ϕ ) ; y t = 0 = x0 ; ϕ t = 0 = 0умножая первое уравнение на sin (t + ϕ ) , второе – на cos(t + ϕ ) искладывая, получим:− yϕ = − y − μy sin (t + ϕ ) ⋅ cos(t + ϕ ) ⋅ 1 − y 2 sin 2 (t + ϕ ) , отсюда()()()(())ϕ = 1 + μ sin (t + ϕ ) ⋅ cos(t + ϕ ) ⋅ 1 − y 2 sin 2 (t + ϕ ) .Усредненная система:⎧η1 ⎛ η 2 ⎞⎪η 1 = μ ⎜⎜1 − ⎟⎟2⎝4 ⎠;⎨⎪⎩η 2 = 1⎧η1 = x0.⎨⎩η 2 = 0Находим:2 x0⎧=η1⎪x02 + 4 − x02 ⋅ e − μt .⎨⎪⎩η 2 = t()Ответ:⎧⎪⎫⎪2 x0x=⎨+ r1 ⎬ ⋅ cos(t + r2 ) , где− μt22x+4−x⋅e⎪⎩ 0⎪⎭0r1 → 0при μ → 0 .r2 → 0()32.

Построить с точностью О(μ) (т.е. с остаточным членом О(μ))асимптотику решения z(t,μ) следующей начальной задачи на отрезке1≤ t ≤ 2.dz= z 2 − t 2 ; z (1, μ ) = 0dtРешение:Так как система не содержит переменного у, будем иметь плоскуюкартину на плоскости t, z (рис. 1).μРис. 1.Рис. 2.Из уравнения F = z 2 − t 2 = 0 имеем ϕ1 = −t , ϕ 2 = t (рис. 2). При∂F= 2 z z = −t = −2t < 0 , т.е. корень ϕ1 устойчив, а ϕ 2 условиюэтом∂z z = −tустойчивости не удовлетворяет. Таким образом, z0 (t ) = −t . Далее, имеемd~z ~2= z − 1 , τ = (t − 1) μ , ~z (0 ) = 0 .dτ−2(t −1)μ−1+ eОтсюда ~z=21+ e−μ(t −1)→ −1 и, следовательно,2eΠ 0 (τ ) = ~z +1=−1+ eИтак,2(t −1)μ−2(t −1)μ,4z (t , μ ) = −t +2e−2(t −1)μ−2(t −1)μ+ O(μ ), 1 ≤ t ≤ 2 .1+ eГрафик соответствующей интегральной кривой изображен на рис. 2.3.

Пусть по реке вместе с водой переносятся сброшенные в реку отходыхимического производства. Пренебрегая шириной реки по сравнению сдлиной, будем считать движение воды одномерным. Направим ось xвдоль реки. Пусть q(x) – поток воды, проходящий через сечение скоординатой х. Река вбирает потоки, поэтому q(x), вообще говоря,меняется с ростом х. Пусть в момент t = 0 вода была чистая, а при t > 0 всечении x = x0 сливаются сбросы в количестве f(t).

Эти сбросыпереносятся течением и частично оседают на дно. Пусть в единицувремени на единицу длины реки количество осаждающегося веществаравно αu(x,t), где α – коэффициент, а u(x,t) – количество взвешенногозагрязняющего вещества на единицу длины реки. Требуется рассчитатьколичество вещества u(x,t) в реке при t > 0 , x > x0 .Решение:Выведем уравнения переноса вещества, считая, что функция инепрерывна и имеет непрерывные частные производные.

Для этогорассмотрим баланс вещества в слое от х до x + Δx за время от t до t + Δt .Он описывается, с точностью до малых высшего порядка, соотношением[u (x, t + Δt ) − u (x, t )]Δx == [q( x )u ( x, t ) − q( x + Δx )u ( x + Δx, t )]Δt − αu ( x, t )ΔxΔt.Первое слагаемое в правой части учитывает потоки вещества: q( x )u ( x, t )– входящий в слой и q( x + Δx )u ( x + Δx, t ) – выходящий из слоя.Последнее слагаемое в правой части – количество осаждающегося надно вещества.

Разделив соотношение баланса на ΔxΔt , переходя к∂u∂= − (qu ) − αu . Отсюдапределу при Δx → 0 и Δt → 0 , получаем:∂t∂xприходим к уравнению вида:∂u∂u+ q = −bu ,∂t∂x∂qгде b( x ) = ( x ) + α . При x = x0 в реку поступает сброс f (t ) , а вниз по∂xтечению уходит поток q( x0 )u ( x0 , t ) . Отсюда имеем условиеf (t )u ( x0 , t ) =. Итак, процесс описывается задачейq ( x0 )5∂u⎧ ∂u⎪⎪ ∂t + q ∂x = −bu ( x > x0 , t > 0 ),(1)⎨()ft⎪u ( x0 , t ) =, u ( x , 0 ) = 0.⎪⎩q ( x0 )Решим задачу (1). Для этого составляем уравнение характеристикdtdx. Находим первый интеграл этого уравнения=1 q( x )t−xdξ∫ q(ξ ) = C .x0Вводим переменную τ, пользуясь условием:(2)dtdx== dτ .

Полагая τ = 01 q( x )при x = x0 , находимτ=xdξ,∫x 0 q (ξ )(3)τ по своему физическому смыслу – это время запаздывания приходазагрязнения в точку х из точки х0. Соотношение (3) определяет х какнекоторую функцию τ: x = θ(τ ) . Согласно изложенной выше теории,получаем уравнение для функции υ (C , τ ) = u ( x, t ):dυ(C , τ ) = −β(τ )υ (C , τ ),(4)dτгде β(τ ) = b( x ) = b(θ(τ )) .Из (2), (3) следует, что область изменения x ≥ x0 , t ≥ 0соответствует области τ ≥ 0 , C ≥ − τ . Дополнительные условия в (1)заданы при x = x0 и t = 0 .

Согласно (2), (3) при x = x0 значение τ = 0 ,C = t > 0 , а при t = 0 , x > 0 имеем C = − τ < 0 . Получаем дополнительныеусловия для функции υ в видеf (C )υ (C , 0 ) =при C > 0 , υ (C , − C ) = 0 при C < 0 .(5)q ( x0 )Таким образом, задача Коши для функции υ получилась в форме (4), (5).Решая линейное обыкновенное дифференциальное уравнение (4) сдополнительными условиями (5) при различных значениях параметра С,находимτ⎧− ∫ β ( τ )dτ⎪⎪ f (C ) 0, C > 0,υ (C , τ ) = ⎨ q( x ) e(6)0⎪⎪⎩0, C < 0.Используем равенство6ττ00∫ β(τ )dτ = ∫ b(θ(τ ))dτ =x∫x0b( x )xdτb( x )dx = ∫dx .()dxqxx0Подставляя явное выражение b( x ) = q′( x ) + α и переходя к старымпеременным х, t в (6), находим решение поставленной задачи (1):x⎧ ⎛dξ ⎞⎟⎜x q ′ (ξ ) + α⎪f t− ∫−dξ⎜⎟∫x⎪ ⎝ x 0 q(ξ ) ⎠dξx0 q (ξ ), t> ∫,⋅e⎪()ξq ( x0 )qu ( x, t ) = ⎨x0⎪xdξ⎪⎪0, t < ∫ q(ξ ).x0⎩В частном случае при q = const имеемx − x0⎧α−⎛−⎞xxx − x01q0⎪ f ⎜t −⎟⋅, t>,e⎜⎟⎪q ⎝qq⎠u ( x, t ) = ⎨x − x0⎪<0,.t⎪q⎩Решение в точке х «повторяет» функцию f (t ) с запаздыванием наx − x0– время хода от х0 до х, и с ослаблением в e − αT раз,T=qвызванным осаждением загрязнения на дно реки.4.

Пусть через слой 0 ≤ x ≤ l пористого сорбента в направлении оси хпроходит поток воздуха со скоростью q, переносящий газообразноехимическое вещество. Пусть С(х,t) – концентрация вещества в порах,а(x,t) – на поверхности сорбента. Эти концентрации связанысоотношением a = f (C ) . Функция f называется изотермой сорбции. Еевид зависит от свойств сорбента.

Рассмотрим такую задачу. Пусть приt = 0 сорбент чистый, а при t > 0 на вход подается концентрацияС(0,t)=αt. Пусть f(C)=kln(1+C). Требуется определить С(l,t) –концентрацию вещества на выходе из слоя сорбента. Задачу будемqрассматривать в предположении, что l ≤ .kαРешение:С точностью до малых высшего порядка баланс вещества в слое(x, x + Δx ) за время от t до t + Δt записывается в виде[C (x, t + Δt ) + a(x, t + Δt ) − C (x, t ) − a(x, t )]Δx = q[C (x, t ) − C (x + Δx, t )]Δt .7Отсюда следует, что процесс сорбции описывается уравнением∂(C + a ) + q ∂C = 0 .

Используя явный вид зависимости а от С,∂t∂xначальные и граничные условия, получаем задачу∂C⎧ ∂C ∂a= 0, a = k ln(1 + C ),+q+⎪(1)∂x⎨ ∂t ∂t⎪⎩C ( x, 0 ) = 0, C (0, t ) = αt.Уравнение принимает более простой вид, если перейти к локальномуxxвремени τ = t − . Итак введем новые переменные τ = t − , ξ = x .

Тогдаqq∂ ∂∂∂ 1 ∂,= . В новых переменных для функции C (ξ, τ )=−∂x ∂ξ q ∂τ ∂t ∂τполучаем задачу∂C⎧ ∂a⎪ ∂τ + q ∂ξ = 0, a = k ln (1 + C ), 0 ≤ ξ ≤ l⎪(2)⎨⎞⎛ξξ⎪C ⎜ ξ, − ⎟ = 0, C (0, τ ) = ατ, τ ≥ − .⎪⎩ ⎜⎝q ⎟⎠qПодставляя а в первое уравнение, имеем∂Ck∂C⋅+q=0.∂τ 1 + C∂ξЭто квазилинейное уравнение.

Для его решения составляем уравнениехарактеристик:dτdξ dC==.k (1 + C ) q0Первые интегралы уравнения характеристик будутξkqτ −= const , C = const .1+ CМножество S, на котором заданы дополнительные условия, состоит издвух лучей ( τ > 0 , ξ = 0 ) и ( τ < 0 , ξ = − qτ ). Обозначим τ*, ξ* координатыпересечения проекции характеристики, проходящей черезточку(τ, ξ, C (τ, ξ )), с множеством S. Учитывая граничные условия, получаемqτ −*ξkξ *k= qτ * −,* *1 + C (τ , ξ )1+ Φ τ , ξ(***)(*Либо τ ≥ 0 , ξ = 0 , любо τ ≤ 0 , ξ = −qτ ,⎧⎪ατ * , если τ* ≥ 0, ξ * = 0,Φ ξ ,τ = ⎨⎪⎩0, если τ* ≤ 0, ξ * = − qτ* .Рассмотрим первый случай, когда τ* ≥ 0 . Тогда из (3) имеем(**))C (τ , ξ ) = Φ τ * , ξ * .(3)8ξk⎧= qτ* ,⎪ qτ −*(4)1 + ατ⎨⎪C (ξ, τ ) = ατ * .⎩Из (4) проекция характеристики на плоскость ξ, τ определяетсяdξ q= 1 + ατ * и представляет собой прямую линию.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги