А.Н. Боголюбов, Н.А. Тихонов, И.В. Митина, Н.Е. Шапкина - Задачи для семинарских занятий (1133439), страница 4
Текст из файла (страница 4)
,(6)где α – вещественный параметр. Решение задачи (1), (2) при начальномусловии (6) имеет видy ns = λ s e iαn .(7)Для определения λ = λ(α ) подставим выражение (7) в уравнение(1). В результате получимτλ(α ) = 1 − r + r ⋅ e iα , где r = = const .(8)hИз соотношения (7) получим равенствоmax y ns = λ(α ) max y n0 .snn(9)Для выполнения условия (5) необходимо, чтобы при всехвещественных α выполнялось неравенствоλ (α ) ≤ c, s = 0, 1,... ,s(10)илиλ(α ) ≤ 1 + c1τ ,(11)где с1 не зависимая от α и τ постоянная.Условие (11) называется необходимым спектральным условиемНеймана.Гармоника e iαn является собственной функцией оператораперехода со слоя s на слой s + 1y ns +1 = (1 − r ) y ns + ry ns +1 , n = 0, ± 1,...(12){ }Число λ(α ) = 1 − r + r ⋅ e iα является соответствующим этойгармонике собственным значением оператора перехода.
Линия,которую пробегает точка λ(α ) на комплексной плоскости, когда αпробегает вещественную ось, вся состоит из собственных значений иявляется спектром оператора перехода.Согласно необходимому условию устойчивости (11) спектроператора перехода, соответствующего разностному уравнению задачи(1), (2), должен лежать в круге радиуса 1 + c1τ на комплекснойплоскости. Если, как в случае задачи (1), (2), спектр (8) не зависит от τ,то условие (11) равносильно требованию, чтобы спектр λ(α ) лежал вединичном кругеλ(α ) ≤ 1 .(13)Спектр задачи (1), (2) представляет собой окружность накомплексной плоскости с радиусом r и центром в точке 1 − r . При r < 1спектральная окружность лежит в единичном круге, касаясь его в точкеλ = 1 , при r = 1 совпадает с единичной окружностью, r > 1 лежит вне24единичного круга.
Необходимое условие устойчивости выполнено приr ≤ 1 и не выполнено при r > 1 (см. рис. 1).Замечание 1.Можно показать, что при r ≤ 1 схема (1), (2) является устойчивой,а при r > 1 – неустойчивой, т.е. в данном случае необходимое условиеустойчивости оказывается достаточно чувствительным, чтобы отделитьслучай устойчивости от случая неустойчивости.Замечание 2.Если необходимое условие Неймана не выполнено, то ни прикаком разумном выборе норм нельзя ожидать устойчивости, а в случаеего выполнения можно надеяться, что при некотором разумном выборенорм устойчивости имеет место.Рис.
1.Точкой отмечен центр 0 единичного круга, крестиком – центр 1 − rспектральной окружности.2) Рассмотрим разностную задачу Коши:(14)⎧ y ns +1 − y ns y ns − y ns −1−==0,s0,1,..,⎪τh⎨⎪ y 0 = ψ , n = 0 , ± 1,...(15)n⎩ nПодставляя (7) в (14), получимλ(α ) = 1 + r − r ⋅ e −iα .(16)Спектр представляет собой окружность с центром в точке 1 + r ирадиусом r. Ни при каком r спектр не лежит в единичном круге.Условие устойчивости (13) всегда не выполнено (см. рис. 2).25Рис.
2.3) Рассмотрим разностную задачу Коши:⎧ y ns +1 − y ns y ns +1 − y ns −1 τ s−−y n +1 − 2 y ns + y ns −1 = 0 , s = 0 , 1,..,⎪τ2h2h⎨⎪ y 0 = ψ , n = 0 , ± 1,...n⎩ nИз (7) и (17) получим:λ − 1 e iα − e − iατ iα−−e − 2 + e − iα = 0 .τ2h2hПосколькуe iα − e −iα= sin α,2i()()iα⎛ iα−− iαiα⎜e2 −e 2e −2+e= −⎜42i⎜⎜⎝то из формулы (19) получается выражение2⎞⎟α⎟ = − sin 2 ,2⎟⎟⎠λ = 1 + ir sin α − 2r 2 sin 2λ (α )2α,2(17)(18)(19)(20)(21)2α⎞⎛= ⎜1 − 2r 2 sin 2 ⎟ + r 2 sin 2 α ,2⎠⎝откуда()α.(22)2Условие Неймана выполнено, если правая часть неотрицательна,т.е. при r ≤ 1 , и не выполнено при r > 1 .1 − λ (α ) = 4r 2 1 − r 2 sin 424) Рассмотрим разностную задачу Коши:26⎧ y ns +1 − y ns y ns +1 − y ns −1−= 0 , s = 0 , 1,..,⎪τ2h⎨⎪ y 0 = ψ , n = 0 , ± 1,...n⎩ nПодставляя (7) в (23), получимλ − 1 e iα − e −iα−=0τ2hили(23)(24)(25)τλ(α ) = 1 + i sin α .hСпектр λ = λ(α ) заполняет вертикальный отрезок длиныпроходящий через точку λ = 1 (см.
рис. 3).2τ,hРис. 3.τ= r = const , т.е. при h → 0 τ меняется, как O(h ) , то спектрhне лежит в единичном круге и условие (13) не выполняется.Если же при h → 0 τ меняется как O h 2 , так что τ ≈ rh 2 , то самаядалекая от точки λ = 0 точка λ(α ) имеет модульЕсли( )2r⎛τ⎞λ(α ) α = π = 1 + ⎜ ⎟ = 1 + τr ≤ 1 + τ2⎝h⎠2rи условие (11) будет выполнено при c1 = .2(25)Замечание.Рассмотренные в пунктах 1) – 4) разностные схемы аппроксимируют задачу Коши для однородного уравнения переноса⎧ ∂u ∂u(26)= 0, − ∞ < x < ∞, t > 0⎪ −∂∂tx⎨(27)⎪⎩u ( x, 0 ) = ψ( x ), − ∞ < x < ∞27При этом разностные задачи Коши (1), (2) и (14), (15)аппроксимируют задачу (26), (27) с порядком O(τ + h ) , т.е. первымпорядком по τ и первым порядком по h, а задачи (17), (18) и (23), (24) спорядком O τ + h 2 , т.е.
первым порядком по τ и вторым порядком поh.()5) Рассмотрим разностную задачу Коши:sss⎧ y ns +1 − y ns2 y n +1 − 2 y n + y n −1−a= 0 , s = 0 , 1,..,⎪τh2⎨⎪ 0⎩ y n = ψ n , n = 0 , ± 1,..., a = constПодставляя выражение (7) в разностное уравнение (28),иметьλ −1e − iα − 2 + e iα− a2= 0.2τhИспользуя (20), получимταλ(α ) = 1 − 4ra 2 sin 2 , где r = 2 .2hПри изменении α число λ(α) пробегает отрезок 1 − 4ra 2вещественной оси (см. рис. 4).(28)(29)будем(30)(31)≤ λ ≤1Рис. 4.Для устойчивости необходимо, чтобы этот отрезок лежал вединичном круге, т.е.
чтобы выполнялось неравенство 1 − 4ra 2 ≥ −1 или1r≤ 2.(32)2a6) Рассмотрим теперь разностную задачу Коши следующего вида:s +1s +1⎧ y ns +1 − y ns(33)+ y ns +−112 y n +1 − 2 y n0,s0,1,..,−a==⎪τh2⎨⎪ 0(34)⎩ y n = ψ n , n = 0 , ± 1,..., a = constВыкладки, аналогичные проделанным в предыдущем пункте,приводят к выражению:281λ(α ) =, где r =τ.2αh1 + 4ra sin2Спектр задачи (33), (34) заполняет отрезок1≤ λ ≤11 + 4ra 2вещественной оси и условие (13) выполнено при любом r.22(35)(36)Замечание.Рассмотренные в пунктах 5) и 6) разностные схемы аппроксимируют с порядком O τ + h 2 задачу Коши для однородного уравнениятеплопроводности:ut − a 2u xx = 0, − ∞ < x < ∞, t > 0 ,(37)u ( x, 0 ) = ψ( x ), − ∞ < x < ∞ .(38)Разностная схема (28), (29) является условно устойчивой явнойh2схемой при выполнении условия (32), т.е.
τ ≤ 2 , а разностная схема2a(33), (34) – безусловно устойчивой.()7) Рассмотрим разностную задачу Коши:⎧ u ns ,+m1 − u ns , m u ns +1, m − 2u ns , m + u ns −1, m−−⎪τh2(39)⎪sss⎪u n, m +1 − 2u n, m + u n, m −1⎪= 0 , s = 0 , 1,..,⎨ −h2⎪⎪u 0 = ψ , n, m = 0 , ± 1,...(40)n, m⎪ n, m⎪⎩Зададим начальную функцию ψn,m в виде двумерной гармоникиψ n, m = e i (αn + βm ) , зависящей от двух вещественных параметров α и β.Решение, соответствующее этой начальной функции, найдем в видеu ns , m = λs (α, β ) ⋅ e i (αn + βm ) .(41)Подставляя (41) в (39), получимαβλ(α, β ) = 1 − 4r sin 2 − 4r sin 2 .(42)22При изменении α и β точка λ = λ(α, β ) пробегает отрезок1 − 8r ≤ λ ≤ 1 вещественной оси.
Условие устойчивости (13)1выполняется, если 1 − 8r ≥ −1 или r ≤ .429Замечание.Разностная задача (39), (40) аппроксимирует с порядком O τ + h 2задачу Коши⎧ ∂u ∂ 2u ∂ 2u(43)⎪ = 2 + 2 , − ∞ < x , y < ∞, t > 0∂t∂x∂y⎨(44)⎪u ( x, y, 0 ) = ψ( x, y ), − ∞ < x, y < ∞⎩()8) Рассмотрим разностную задачу Коши:⎧ y ns +1 − 2 y ns + y ns −1 y ns +1 − 2 y ns + y ns −1(45)−= 0, s = 0, 1,...,⎪22τh⎪⎪⎪ y 0 = ϕ ,nn(46)⎨=±0,1,...n⎪⎪ 10(47)⎪ yn − yn = ψ ,n⎪⎩ τИз формул (7) и (45) получим следующее уравнение дляопределения λ:τα⎞⎛(48)λ2 − 2⎜1 − 2r 2 sin 2 ⎟λ + 1 = 0 , где r = .h2⎠⎝Так как произведение корней уравнения (48) равно единице, тоесли его дискриминантα ⎞⎛D(α ) = 4r 2 sin 2 α ⋅ ⎜ r 2 sin 2 − 1⎟(49)2⎠⎝отрицателен, то корни λ1 (α ) и λ 2 (α ) комплексно-сопряженные иравные единице по модулю.
Если r < 1 дискриминант остаетсяотрицательным при всех α и спектр заполняет часть единичнойокружности (см. рис. 5а). Если r = 1 , то спектр заполняет всюокружность (см. рис. 5б). Если r > 1 , то по мере увеличения α от нулядо π корни λ1 (α ) и λ 2 (α ) движутся из точки λ = 1 по единичнойокружности в противоположных направлениях пока не сольются вточке λ = −1 , а затем один из корней пойдет из точки λ = −1 повещественной оси влево, а другой вправо, причем λ1 ⋅ λ 2 = 1 (см. рис.5в). Условие устойчивости выполнено при r ≤ 1 .30Рис.
5.Замечание.Разностная задача (45) – (47) аппроксимирует с порядком2O τ + h 2 задачу Коши для волнового уравнения:⎧ ∂ 2u ∂ 2u(50)⎪ 2 − 2 = 0, − ∞ < x < ∞, t < 0∂x⎪ ∂t⎪u ( x, 0 ) = ϕ ( x ),(51)⎨x−∞<<∞.⎪⎪ ∂u(52)⎪ ( x, 0 ) = ψ ( x ),⎩ ∂t()31Акустический диполь.Центр шара радиуса а колеблется вдоль полярной оси со скоростью2πυ 0 e −iωt . Если a << λ (или ka << 1 , k =– волновое число, λ – длинаλволны), то такой акустический излучатель в форме малогоколеблющегося шара называется акустическим диполем.
Найти потокэнергии и полную мощность, излучаемую акустическим диполем.Введем сферическую систему координат, начало которой находитсяв центре покоящегося шара. Учитывая гармоничность процесса вовремени, определяемую множителем e −iωt , для потенциала скоростейu (r , θ ) получим следующую краевую задачу в области De , внешней поотношению к шару радиуса а:Δu + k 2u = 0 , r > a ,(1)∂u(a ) = −υ 0 cos θ , r = a ,(2)∂r⎛1⎞u = O⎜ ⎟ ,(3)⎝r⎠∂u⎛1⎞− iku = o⎜ ⎟ .(4)∂r⎝r⎠При выводе граничного условия (2) мы учли, что υ r = υ 0 ⋅ cos θ (см.рис.).С помощью метода разделения переменных решение задачи (1) –(4) можно построить в виде∞u (r , θ ) = ∑ An ζ (n1) (kr )Pn (cos θ ) ,сферическая функцияn=0Ханкеля ζ (n1)ζ (n1) ( z ) =(5)(z ) имеет видπ (1)(z ),H2z n+ 1(6)2причем, используя асимптотику функции Ханкеля, легко получить, что32⎧ i ⎛⎜ z − π (n +1) ⎞⎟⎠⎪e ⎝ 2+ ..., z >> 1,⎪ζ (n1) ( z ) = ⎨z⎪ (2n − 1)! 1(2n )! ⋅ z n + ..., z << 1.⋅ n +1 +⎪− i(2n + 1)!⎩ (2n − 2 )! zПодставляя (5) в (2), получим∞′∑ An kζ (n1) (ka )Pn (cos θ ) = −υ 0 cos θ = −υ 0 P1 (cos θ ) ,(7)n=0откуда следует, что An = 0 при n = 2, 3,...
иA1 = −υ0′kζ (1) (ka ),(8)1где штрих означает производную по полному аргументу.Из формул (5) и (8) следует, что потенциал скоростей имеет видυ 0 ζ1(1) (kr )(9)u (r , θ ) = − ⋅⋅ P1 (cos θ ) .k ζ (1)′ (ka )1Радиальная составляющая скорости υ r равна′ζ1(1) (kr )∂uυr = − = υ0⋅ P1 (cos θ ) .∂r(1)′ζ1 (ka )′Преобразуем ζ1(1) (kr ) :(10)′1π (1)′ζ1(1) ( z ) = − ζ1(1) ( z ) +H (z ) =2z2z 32() ()(11)1 (1)11ζ1 ( z ) + ζ (01) ( z ) − ζ (21) ( z ) = ζ 0(1) ( z ) − 2ζ (21) ( z )2z23Таким образом, для радиальной составляющей скорости получаемокончательное выражение:=−υ r (r , θ ) =υ0(1)′(ζ ( ) (kr ) − 2ζ ( ) (kr ))⋅ P (cos θ ).10121(12)3ζ1 (ka )Используя выражение для потенциала (9), получаем формулу длядавления воздуха:p(r , θ ) = −iωρ 0u (r , θ ) = A ⋅ ζ1(1) (kr ) ⋅ P1 (cos θ ) ,(13)где коэффициент А имеет вид:icρ 0υ 0A=.(14)(1)′ζ1 (ka )Если ka << 1 , то из формулы (7) получим:33ζ1(1) (ka ) =2i(ka )3+ ...(15)и1A = cρ 0υ 0 (ka )3 .(16)2Полная сила F, действующая на шар в направлении его колебаний,равнаπ 2π4F = ∫ ∫ ap(a, θ )cos θ ⋅ sin θ ⋅ dθ ⋅ dϕ = πaAζ1(1) (ka ) .(17)30 0Если ka << 1 , то2F ≈ −iω πρ 0 a 3υ0 .(18)3В волновой зоне при kr >> 1 , используя формулы (7), (10), (14),получим:′′ζ1(1) (kr )A⋅ cos θ =⋅ ζ1(1) (kr )cos θ ≈υr = υ0′icρ 0ζ1(1) (ka )(19)′A ⎛⎜ e i (kr − π ) ⎞⎟A e i (kr − π )≈⋅cos θ ≈⋅⋅ cos θ,icρ 0 ⎜⎝ kr ⎟⎠cρ 0kre i (kr − π )(1)p = A ⋅ ζ1 (kr )cos θ ≈ A ⋅⋅ cos θ .(20)krПоток энергии, излучаемый акустическим диполем в единицувремени, равен (звездочка означает знак комплексного сопряжения):⎞A* e − i (kr − π )1 ⎛⎜ e i (kr − π )1*Y = Re pυ = Re⎜ Acos θcos θ ⎟⎟ =krcρ 0kr2 ⎝2⎠(21)226 21 A cos θ 1 cρ 0 (ka ) υ 0= ⋅= ⋅⋅ cos 2 θ.2282 cρ 0 (kr )(kr )( )Полная мощность, излучаемая акустическим диполем, равна:1 2π ππΠ = ∫ Y dσ = ∫ ∫ ∫ Y (r , θ )sin θ ⋅ dr ⋅ dθ ⋅ dϕ = cρ 0υ 02 a 2 (ak )4 ,60 0 0Σ1(22)где Σ1 – единичная сфера.Таким образом, получаем, что полная мощность пропорциональначетвертой степени волнового числа или обратно пропорциональна1четвертой степени длины волны: Π ~ k 4 или Π ~ 4 .λ34Рассеяние плоской звуковой волны на цилиндрическомпрепятствии.Плоская звуковая волна распространяется в направлении,перпендикулярном к оси бесконечного жесткого цилиндра радиуса а.Найти рассеянную волну.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
