А.Н. Боголюбов, Н.А. Тихонов, И.В. Митина, Н.Е. Шапкина - Задачи для семинарских занятий (1133439), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Рассмотреть случаи больших и малыхрасстояний от цилиндра.Введем цилиндрическую систему координат, ось z которойнаправим вдоль оси цилиндра. Пусть плоская волна p (M , t ) , где p (M , t )– давление в точке М в момент времени t, распространяется вдоль оси х:(1)p (M , t ) = Ae −i (ωt − kx ) = p0 ⋅ e −iωt , где p0 = Aeikx = Aeikr cos ϕ .Обозначим через p s (M , t ) давление в рассеянной волне. Тогда,учитывая гармоничность процесса во времени и записываяp s (M , t ) = p s (M ) ⋅ e −iωt , получим для p s (M ) внешнюю краевую задачу⎧Δp s + k 2 p s = 0, r > a( 2)⎪⎪ ∂p s = ∂p0 , r = a,(3)⎪ ∂r∂r⎪⎨⎛ 1 ⎞( 4)⎪ p s = O⎜ r ⎟,⎝⎠⎪⎪ ∂p s⎛ 1 ⎞(5)⎟,⎪ ∂r − ikp s = o⎜r⎝⎠⎩где а – радиус цилиндра. При получении граничного условия (3) мыучли, что радиальная скорость в рассеянной волне υ sr связана сдавлением p s следующим соотношением:∂p1υ sr =⋅ s,(6)ikcρ 0 ∂rωгде ρ0 – начальная плотность, k =– волновое число, с – скоростьcзвука.Решая задачу (2) – (5) методом разделения переменных, получимдля давления и радиальной скорости в рассеянной волне следующиевыражения:υ sr =∞∑ Bm ⋅ H m(1) (kr ) ⋅ cos mϕ ,(7)′1 ∞Bm H m(1) (kr ) ⋅ cos mϕ .∑icρ 0 m = 0(8)ps =m=035Отметим, что штрих в формулах (7) и (8) означает производную пополному аргументу.Коэффициенты разложения Вт определяются из граничного условия(3).

Для их определения необходимо разложить в ряд плоскую волну (1).Имеем ( x = kr ):eix cos ϕ=∞∑ Cm cos mϕ ,m=0где1 + π ix cos ϕC0 =dϕ ,∫e2π − π1 + π ix cos ϕCm = ∫ ecos mϕdϕ ( m = 1, 2,... ).π −πВоспользуемся формулой1 + π − ix sin ξ + ivξJ v (x ) =dξ .∫e2π − π3Положим v = m и ϕ = ξ − π . Тогда2+π1 + π ix cos ϕ + imϕ1 ix cos ϕCm = ∫ edϕ =cos mϕdϕ = 2 ⋅∫e2π − ππ −π= 2⋅Аналогично3− m πie 2 +π2π∫e−π− ix sin ξ + imξdξ = 2i m J m ( x ), (m = 1, 2,...).C0 = J 0 ( x ) .В результате получаем формулу разложения плоской волны в ряд:∞⎧⎫Ae ikr cos ϕ = A⎨ J 0 (kr ) + 2 ∑ i m J m (kr )cos mϕ ⎬ .(9)m =1⎩⎭Подставив формулы (8) и (9) в граничное условие (3), будем иметь∞∞(1)′ (ka )cos mϕ = A⎧ J ′ (ka ) + 2 i m J ′ (ka )cos mϕ ⎫ .BH(10)∑ m m∑ m⎨ 0⎬m=0m =1⎩⎭Из формулы (10) получаемJ ′ (ka )B0 = 0⋅ A,(1)′H 0 (ka )(11)2i m J m′ (ka )Bm =⋅ A (m = 1, 2,...).(1)′H m (ka )36В дальней (волновой) зоне при r → ∞ будем иметь⎛π⎞πi ⎜ kr − m − ⎟2⎛ 1 ⎞H m(1) (kr ) =⋅ e ⎝ 2 4 ⎠ + o⎜⎟≈πkr⎝ r⎠π⎞⎛i ⎜ kr − ⎟4⎠⎝⋅eπ−i m⋅e 2π⎞⎛i ⎜ kr − ⎟4⎠⎝⋅e(12)22=⋅ (− i )m .πkrπkrИз формул (7), (8) и (12) получим, что в дальней зоне (при kr >> 1 )давление и радиальная скорость в рассеянной волне соответственноравны:≈⎛π⎞i ⎜ kr − ⎟ ∞2ps ≈⋅ e ⎝ 4 ⎠ ∑ Bm (− i )m cos mϕ ,πkrm=0υ sr1≈cρ 0⎛(13)π⎞i ⎜ kr − ⎟ ∞2⋅ e ⎝ 4 ⎠ ∑ Bm (− i )m cos mϕ .πkrm=0(14)37Пульсирующий цилиндр.Пусть цилиндр радиуса а пульсирует, т.е.

сжимается и расширяетсяравномерно по гармоническому закону. Его скорость на поверхностиr = a равна υ 0 e −iωt .Найти давление, радиальную скорость воздуха на большихрасстояниях от оси цилиндра, а также поток энергии.Введем цилиндрическую систему координат, ось которой направимвдоль оси цилиндра. Тогда, учитывая гармоническую зависимостьпроцесса от времени, определяемую множителем e −iωt , получим вобласти De , внешней по отношению к цилиндру, для потенциаласкоростей u (M ) краевую задачу.

При этом, поскольку цилиндр являетсябесконечным, потенциал скоростей будет зависеть от двух переменныхu = u (r , ϕ ) и задача будет двумерной:⎧Δ 2u + k 2u = 0, r > a⎪⎪ ∂u = −υ , r = a0⎪ ∂r⎪⎨⎛ 1 ⎞⎪u = O⎜ r ⎟, r → ∞⎝⎠⎪⎪⎛ ∂u⎞r ⎜ − iku ⎟ = 0⎪rlim⎠⎩ → ∞ ⎝ ∂r(1)(2)(3)Решая задачу (1) – (3) методом разделения переменных, будемиметь:u (r , ϕ ) =∞∑ H n(1) (kr ) ⋅ ( An cos nϕ + Bn sin nϕ ).(4)n=0Коэффициент разложения находим из граничного условия (2):∞′∂u(a, ϕ ) = ∑ kH n(1) (ka ) ⋅ ( An cos nϕ + Bn sin nϕ ) = −υ 0 ,(5)∂rn=0где штрих означает производную по полному аргументу.Из формулы (5) вытекает, что Bn = 0 , n = 0, 1,...

, An = 0 , n = 1, 2,... , акоэффициент А0 определяется из условия′A0 kH 0(1) (ka ) = −υ 0и равняетсяA0 = −υ0′kH (1) (ka )0=υ0kH1(1) (ka ).(6)38Таким образом, потенциал скоростей u (r ) равенυu (r ) = 0 ⋅H 0(1) (kr ),(7)k H1(1) (ka )а радиальная составляющая скорости имеет вид′H1(1) (kr )υ 0 kH 0(1) (kr )∂u (r )υ r (r ) = −= − ⋅ (1)= υ 0 ⋅ (1).(8)k H1 (ka )∂rH1 (ka )Давление воздуха p связано с потенциалом скоростей u (r )следующим образом:p(r ) = −iρ 0 ωu .(9)Из формул (7) и (9) получаем:H 0(1) (kr )p(r ) = −icρ 0 (1).(10)H1 (ka )Безразмерный акустический импеданс ζ будет равенH 0(1) (kr )p= −i (1).(11)ζ=ρ 0υ r cH1 (kr )На больших расстояниях при kr >> 1 следует воспользоватьсяасимптотической формулойππ⎞⎛i ⎜ kr − n − ⎟⎛ 1 ⎞2(1)24⎠⎝⎟.(12)⋅e+ O⎜H n (kr ) =⎜ (kr )3 2 ⎟πkr⎝⎠Из формулы (12) следует:⎛0⎛π⎞i ⎜ kr − ⎟2⋅ e ⎝ 4⎠,πkrH (1) (kr ) ≈π⎞(13)⎛ππ⎞i ⎜ kr − ⎟i ⎜ kr − ⎟−i22H1(1) (kr ) ≈⋅ e ⎝ 4 ⎠ ⋅ e 2 = −i⋅e ⎝ 4⎠.πkrπkrПрименяя формулы (13) и (14), будем иметь при kr >> 1 :υ r (r ) ≈ −ip(r ) ≈ −iυ0H1(1) (ka )cρ 0υ 0H (1) (ka )1⎛π⎞i ⎜ kr − ⎟2⋅e ⎝ 4⎠,πkr⎛(14)(15)π⎞i ⎜ kr − ⎟2⋅e ⎝ 4⎠,πkr(16)ζ ≈ 1.(17)Используя формулы (15) и (16), получаем выражение для потокаэнергии:39Y = 0,5 ⋅p ⋅ υ r*≈cρ 0υ 022πkr H (1) (ka )1.(18).

Характеристики

Список файлов книги