Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Теория таких систем рассматривается с трех дополняющих друг ,друга точек зрения (равд. 3.6 — 3.8) и затем применяется к анализу поверхностных волн, генерируемых штормами, препятствиями в потоке или движением корабля в воде. Соответственно в гл. 4 в основном рассматриваются диспергирующне волны в системах, не являющихся изотропными, в том числе внутренние гравитационные волны в стратнфицированных жидкостях, которые дали название всей главе.
Для таких систем групповая скорость и фааовая скорость могут быть совершенно различными как по направлению, так и по величине, что приводит ко»шогим важным следствиям. Подробно рассмотрены такясе и другие фундаментальные вопросы, такие как «захваченные волны», каустика, взаимодействие волн с потоком, движущиеся источники волн в общем случае и, наконец, волноводы.
С другой стороны, два класса фундаментальных идей, сопровождаемых трудностями более высокого порядка, отнесены в эпилог, где они рассмотрены только схематически (с соответствующими ссылками на литературу). Сюда относятся теории взаимодействия дисперсионных эффектов и эффектов нелинейности, а также теории развития статистических ансамблей волн, вызванного нелинейными взаимодействиями.ф 11 Читатель, обращающийся к данной книге, вероятно знаком с основами динамики, в том числе динамики колебаний и элементарной гидродинамнки.
Тем не менее по этим вопросам, а также по всем другим вопросам, предварительное знание которых было бы желательным, в библиографических комментариях дан подбор соответствующих учебников. Изложение теории волн здесь носит количественный характер п преследует цель описать в общих чертах всюду, где это возможно, методы количественного анализа.
Подчиняясь этой цели, математический аппарат, однако, сведен к минимуму. Никакая математика не излагается ради математики; более того, каждый раз проводимому здесь математическому анализу дается в максимально возможной степени ясная физическая интерпретация. Тем не менее предмет теории волн, по-видимому, требует использования комплексных переменных; соответственно элементарная теория функций коьшлексного переменного и (по тем же соображениям) элементарные свойства интегралов Фурье относятся к тем математическим вопросам, которые предполагаются известнымн читателю этой книги; в противном случае ему, возможно, следует ознакомиться с ними по соответствующим учебникам. Наиболее ваягными волнами в жидкости являются звуковые волны (гл. 4), поскольку они могут существовать при отсутствии поля внешних сил. Читатели, знакомые с элементарной теорией колебаний, знают, что всякая волна или другая любая колеблющаяся система связана с балансом между возвращающей силой и силами инерции системы.
Большинство волн, рассматриваемых в данной книге, сопровождается действием внешних воавращающих сил, в особенности силы тяжести (гл. 2, 3 и 4), но также и поверхностного натяжения (равд. 3.4) или сил упругости стенок трубы (равд. 2.2). Другие внешние силы, которые важны для волновых систем, рассмотрены в эпилоге; сюда относятся сила магнитного поля и кориолисова сила, которая действует на вращающуюся жидкость. Распространение звуковых волн, однако, не зависит от внешних сил. Здесь возвращающая сила, которая уравновешивает силы инерции жидкости, полностью обеспечивается сжимаемостью самой жидкости. Поскольку свойства сжпмаемости жидкости одинаковы во всех направлениях, распространение звуковых возмущений иэотропно.
Напротив, большинство волновых движений, обусловленных внешней возвращающей силой, анизотропно, и именно поэтому столь важна теория апизотротшго распространения волн, изложенная в гл. 4. Волны на горизонтальной поверхности воды являются исключением, поскольку их распространение в гори- 12 Пра*ов эонтальной плоскости носит двумерный характер, и очевидно, что действие вертикальной внешней силы, такой, как сила тяжести, одинаково для всех направлений в горизонтальной плоскости.
С другой стороны, в случае, когда источником таких волн является движущийся корабль, они становятся по существу анивотропными в силу эффекта Допплера (равд. 4.12). Те обширные разделы гидродинамики, которые связаны с исследованием свойств волн в жидкости, относятся к важным областям современных исследований. Они находят применение, например, в современной авиационной технике и других отраслях техники, где исследование шума очень важно, а также в вопросах кораблестроения и строительства сооружений береговой защиты. где важен учет волн на поверхности моря. Указанные области исследования включают в себя, кроме того, изучение приливных и поверхностных волн в океанах, морях и эстуариях, а также многообразных океанических течений волновой природы.
Сюда входит анализ некоторых важных явлений распространения возмущений в атмосфере, от мелко- масштабной «турбулентности чистого воздухаа до крупномасштабных волнообразных движений воздушных масс, а также многих особенностей взаимодействия воздуха и моря. Другой областью активных геофизических исследований служит распространение волн в ионосфере и в жидком ядре Земли; при астрофизических наблюдениях также постоянно обнарул1иваются волнообразные движения газа, весьма подходящие для анализа подобными методами. Предлагаемая книга, построенная как обстоятельное введение в теорию волн в жидкости, имеет своей целью подготовить читателя для работы в любой из этих областей исследований, давая ему прочный фундамент основных идей, при помощи которых можно легко освоить специальную литературу в каждой из таких областей.
1. Звуковые волны 1.1. Волновое уравнение Как было отмечено в прологе, распространение звуковых волн в жцдкости определяется балансом между ее сжзмаемостью и инерцией. Линейная теория распространения таких волн излагается в этой главе. Прп использовании линейной теории для любого типа волн подразумевается, что возмущения настолько слабы, что в уравнениях движения их можно рассматривать как малые величины, произведениями которых можно пренебречь. Такие произведения малых величин входят, например, в известное выражение для ускорения элемента жидкости дп/д8 + и'7п, где и — поле вектора скорости. В этом выражении (которое играет важную роль в тех случаях, когда важны силы инерции, как это имеет место практически для всех воля в жидкости) линейный член дп1д~ представляет собой локальную скорость изменения и в фиксированной точке, в то время как нелинейный член п.~7п указывает, как меняется скорость элемента вследствие изменения его положения в пространстве.
Эта «конвективная скорость изменения» скорости и содержит произведения составляющих самой скорости и ее пространственных градиентов и поэтому не учитывается в линейной теории. Таким образом, в этой главе мы предполагаем, что возмущения являются достаточно малыми и поэтому можно пренебречь как нелинейными вкладами в инерционные члены, так и нелинейными членами в выражениях для восстанавливающих сил (в данном случае связанных со сжимаемостью). Исследование вопросов о том, яасволько слабыми должны быть возмущения для того, чтобы линейная теория была достаточно хорошей, и какие эффекты могут давать нелинейные члены в случае более сильных возмухцений, откладывается до гл. 2.
14 1, 'Звуковые ввлнвв В данном разделе, принимая во внимание только сжимаемость и инерцию жидкости, но не другие ее свойства, мы получим линеаризованные уравнения теорик звука в самом простом и весьма полезном виде. Обсуждение того, каким образом на авуковые волны влияют эффекты, которые здесь не учитываются (в особенности вязкость, теплопроводность, внешние силы, включая силу тяжести, и неоднородности типа стратификации), отложим до равд.
1.2 и других частей книги. Инерционная природа жидкости с плотностью р проявляется при применении второго закона Ньютона к малому элементу жидкости. Согласно этому закону, произведение массы р единичного объема на ускорение (1) равно силе, действующей на этот объем; при отсутствии внешних сил последняя включает в себя лишь внутренние напряжения„вызываемые действием окруявающей жидкости на этот элемент. Если пренебречь вязкими напряяеениямк, то действуюшая ва единичный элемент объема сила будет просто равна градиенту давления жидкости ~р со знаком минус; следовательно, р (дп/д/+н 'в'н) = — вор.
(2) Свойство сжимаемости означает, что плотность элемента жидкости может меняться в соответствии с известным уравнением неразрывности др/д1+ н. в/р+рву и = О. (3) Два первых члена в уравнении (3) дают полную скорость изменения р для этого элемента. Таким образом, диввргвнв/ил в~в гв поля скорости определяется уравнением (3) как скорость изменения объема элемента хвидкостн, двин"ущейся в данном поле скорости, деленная на этот объем; иначе говоря (поскольку масса элемента сохраняется), дивергенция скорости равняется скорости изменения плотности, деленной на плотность и взятой со знаком минус.
В то же время возмон на и другая интерпретация уравнения (3), при которой второй и третий члены объединяются в виде ъ. (рп) и которая будет использована ниже (равд. 1 10). Линеариэуем выписанные уравнения, считая малыми величинами все отклонения от состояния, в котором жидкость покоится и имеет постоянную плотность ро. При отсутствии внешних сил ато означает также, что давление равно постоянной величине, напримеР Ро.
Пренебрегая произведениями малых величин в уравнениях (2) и (3), приходим к линеаризованным уравнениям количества двшкения ро дп/д1 = — Чр 1,Х, В«азово«уравнение и неразрывности др/д« = — р«ч и (б) При выводе этих уравнений отбрасывается член и ~7и в уравнении (2), как уже обсуждалось выше, а также член н. С~р в уравнении (3); оба эти члена содеря«ат произведения малых скоростей на малые градиенты. Кроме того, множитель р в одном иа членов каждого уравнения заменяется на р«с точностью до произведения малой величины р — р«на другую малую величину (дп/д1 или ту и). В результате получается, что локальные скорости изменения скорости и и плотности р прямо пропорциональны градиенту давления и дивергенции скорости соответственно. Величиной, которая в линейной теории ведет себя чрезвычайно просто, является завихренность Й = '~ Х и, (6) т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
