Н.Ф. Степанов - Квантовая механика и квантовая химия (1129480), страница 11
Текст из файла (страница 11)
г. Описание движения частицы в центральном поле в классической механике. Уравнения движения в классической механике, например уравнения Лагранжа или уравнения Гамильтона, также допускают разделение переменных ~, О и <р. Не останавливаясь на том, как это конкретно делается, напомним лишь основные получаемые для этой задачи результаты. У частицы в центральном поле сохраняется, т.е. не меняется во времени вектор Е момента количества движения. Если выбрать систему координат так, что этот вектор будет направлен по оси я, то движение частицы будет происходить в плоскости о(ху) и, очевидно, А = А = О.
Координата о при этом будет иметь фиксированное значение: д = Ы2. Зависимость координаты ~р от времени получается при решении уравнения рх ~ = А,. Для радиального уравнения решения зависят от того, будет ли энергия частицы Е меньше или больше потенциала в некоторой конечной области значений ~: в зависимости от этого частица совершает финитное либо инфинитное движение, соответственно. д. Замечание о задачах с нецентральным потенциалом. Если потенциал Р(т) не является центральным или, что то же, сферически симметричным, то переход к сферической системе координат уже не является столь продуктивным.
Приходится при анализе соответствующей задачи использовать другие системы координат. Например, в задаче о поведении электрона в молекулярном катионе Н2, где имеются два протона, которые будем предполагать фиксированными на оси ю в точках Я/2 и — Ж2, сферической симметрии уже нет. Однако потенциал 1;(г) + Г,(г), образованный потенциалом 1~,(г) взаимодействия электрона с одним протоном и потенциалом 1~,(г) взаимодействия его с другим протоном, в этой задаче не зависит от угла ~р поворота вокруг оси ~, так что здесь удобно использовать, например, цилиндрическую систему координат (рис. 2.1.4): расстояние р электрона до оси ю, проекцию его радиуса- вектора на эту ось л и угол ~р поворота вокруг оси ~ .
При этом, как и в задаче с центральным потенциалом, переменную ~ можно отделить от двух других переменных и получить уравнение, аналогичное уравнению (14). Рис. 2.1.4. Цилиндрическая система координат. Нецентральные потенциалы с одним силовым центром, но зависящие в сферических координатах не только от радиальной, но и от угловых переменных, например ~ = 1'(г)соьд, часто называют анизотропными потенциалами.
Они широко используются при рассмотрении взаимодействий тех или иных частиц с удаленными от них молекулами, когда потенциал, создаваемый каждой такой молекулой в рассматриваемой точке, можно приближенно моделировать некоторым анизотропным потенциалом, зависящим от того, как повернута молекула. Гак, взаимодействие атома А1 (находящегося в точке г) с удаленной от него линейной молекулой СО„ядро атома углерода которой находится в начале системы координат, а ядра атомов Π— на оси ~, можно моделировать потенциалом вида ~~(г)(1 + Ьсоь'О), где Ь— некоторая постоянная. В более общих случаях, когда имеется три или большее число силовых центров, задачу, как правило, можно решать уже либо только численно, либо на основе тех или иных приближенных подходов.
Задачи 1. Выразить из соотношений (4) частные производные д/дх, д/ду и д/дю через производные д/дг, д/дб и д/д«р, решая эту систему трех линейных уравнений относительно трех неизвестных. 2. Найти выражение для оператора Лапласа в сферических координатах. 3. Пусть решение радиального уравнения (14) ищется в виде М(г) = — ~(г) . Какому уравнению удовлетворяет функция Яг) . 1 ? 4. Предположим, что радиальное уравнение (14) решается при 1 = 0 (т.е. при Х = 0) с потенциалом 1ф) = О при О ~ г < г и ~'(г) = ос при г ~ г (так называемая сферическая потенциальная яма). Найти решения и сравнить получаемые результаты с тем, что было найдено для одномерной задачи с прямоугольным ящиком.
5. Проверить непосредственной подстановкой, что функции О(д) из (18) удовлетворяют уравнению (16), а также то, что они нормированы и взаимно ортогональны (с весом Йпо). 6. Что можно сказать о решениях задачи с анизотропным потенциалом вида $~(г, о) = $~ (г) + $~ (о)? Можно ли в этом случае разделить переменные? товой системе координат имеют следующий вид: Х, =ур — ~р= — ~у — — ~— дг ду д д Х =.яр — хр = — 1 2' х дх дю (2.2.1) д д Х.=хр — ур = — 1 х — — у— ду дх Длина вектора момента 1. определяется в классической механике выражением Е = ~Д.2, гае 1.'= А '+ Е '+ Е '. Соответствующее выражение для оператора Х.' получается подстановкой в эту сумму операторов (1).
Запишем теперь операторы компонент момента импульса в сферических координатах. Для этого вновь воспользуемся соотношениями(2.1.2), рассматриваях,у ия как функции г, д и «р, и запишем производные по г, д и «р согласно (2.1.4): ~2. Теория момента количества движения Момент количества движения, или момент импульса, в квантовой механике играет не менее существенную роль, чем в классической. Выше мы уже упомянули„что в классической механике момент количества движения частицы в центральном поле сохраняется.
Следовательно, он сохраняется и у свободной частицы и у системы частиц, на которую не действуют внешние силы, либо момент внешних сил, действующих на эту систему, равен нулю. Знание таких сохраняющихся при движении величин (их также называют интегралами движения) всегда полезно, хотя бы по той причине, что если Ях, у, ~) = с, то из этого соотношения можно выразить, например, х через у и ~: х = х(у, г); подставив это соотношение в уравнения движения, можно исключить переменную х из этих уравнений и уменьшить число фигурирующих в них переменных. Посмотрим теперь, что можно сказать о моменте импульса в квантовой механике.
а. Оиераторы момента импульса. Согласно сказанному в ~ 1 гл. 1 операторы момента импульса одной частицы в декар- д д д . д — = гсоздсояр — + гсоьдяп«р — — гипс —, (2.2.2) дд дх ду д;~ д .. д . д — = -пйпдяп«р — + гяпосожр —. д«р дх ду Последнее равенство может быть сразу записано с учетом соотношений (2.1.2) в виде либо после умножения справа и слева на — ~: д Х., = -г —.
(2.2.3) д«р 'Гакое представление оператора Х, отчетливо показывает, что его можно рассматривать как оператор импульса, канонически сопряженного координате «р. Если же второе равенство из соотношений (2) умножить на япбяп«р, а третье — на соьд сомр, а потом их сложить и вычесть, д соьдсояр д Х, =~ ыгнр — + дд' Б1пд' дц) (2.2.4) д соьдягир д Х, = ~ — сояр — + до япо* д~р Полученные выражения позволяют найти также оператор Х2 ~2+Х 2+Х 2.
х у 1 д . д 1 д Е'= — — — япб— ~~п~ д~ дд яп б д~р Сравнение этого выражения с Л в гамильтониане (2.1.5) показывает, что они совпадают друг с другом так что Л есть б, ц~ не что иное, как оператор квадрата момента импульса частицы. Операторы Е, Х, и Х,, а также Х,2 зависят только от двух угловых переменных О и ~р. При выводе выражений «3) и «4) первое из соотношений «2) нам даже не понадобилось.
6. Коммутициоииые соотношения. Как показывают равенства «1), операторы Х, (а = х, у, 2:) и Х.2 удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям: АА — Х,А,= гА, „ (2.2.5) АА,— Х,,Х, =гА; А,А„-А„А = юХ,; Х~2 Х2Х ~ Х2 Х2Х Х Х2 Х2Х Следовательно, все операторы Х, коммутируют с Х,2, но не коммутируют друг с другом. Рассмотрим теперь собственные функции этих операторов. При этом проще всего начать с собственных функций оператора Х.: г .
д А,Ф.И) = — Ф (ч) =тф И) Ц) где т — собственное значение. Это равенство показывает, что Ф(ср)= е (2.2.8) и для того, чтобы выполнялось условие цикличности ф (<р+ 2д) — Ф (<р) то после несложных преобразований можно получить еще два равенства: необходимо потребовать, чтобы т было целым «положительным, отрицательным или нулем). Непосредственная проверка позволяет убедиться в том, что эта функция при действии оператора Х,2 переходит в ту же функцию с собственным значением тЧяп'о, зависящим от угла о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
