Практикум по системам единиц (лабы №39, 4.1) (1129367)
Текст из файла
Московский физико-технический институт(государственный университет)О системах единиц в классической электродинамикеПри измерении физической величины x её числовое значение {x} свидетельствует о том, сколько раз в x содержится некоторая единица измерения[x]. Это означает, чтоx{x} =.(В.1)[x]Если, например, сила тока I = 10 А, то {I} = 10, [I] = 1 А. Соотношение(В.1) можно записать в видеx = {x}[x].(В.2)При уменьшении единицы измерения в α разИЗМЕРЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХИ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ[x] → [X] =1[x],α{x} → {X} = α{x}.Сама физическая величина при этом не изменяется, посколькуx = {x}[x] = {X}[X].Лабораторные работы №№ 39, 4.1МОСКВА 2004(В.3)Для каждой физической величины можно в принципе установить своюединицу, никак не связанную с единицами других величин.
Это приводит,однако, к тому, что в уравнениях, выражающих физические законы, появляется множество численных коэффициентов. Уравнения становятся необозримыми, формулы — слишком сложными. Чтобы избежать этого, в физике ужедавно отказались от независимого выбора единиц всех физических величини стали применять системы единиц, построенные по определённому принципу, который состоит в следующем. Некоторые величины принимаются забазисные, т.е. такие, для которых единицы устанавливаются произвольно.Так, например, в механике применяется система (L, M , T ), в которой забазисные величины принимаются длина L, масса M и время T .
Выбор базисных величин и их число произвольны. Это вопрос соглашения. В международной системе СИ в качестве базисных величин приняты девять величин:длина, масса, время, сила электрического тока, температура, сила света, количество вещества, плоский угол, телесный угол. Величины, не являющиесябазисными, называются производными. Для производных величин единицыустанавливаются на основе формул, служащих их определением.Здесь возникает понятие размерности. Если, например, число базисныхвеличин равно трём и за них приняты длина L, масса M и время T , то дляразмерности производной величины y имеемdim y = Lp · M q · T r ,3(В.4)где p, q, r — постоянные числа. Формула (В.4) показывает, что если единицыдлины, массы и времени уменьшить в α, β и γ раз, то единица производнойвеличины y уменьшится в αp β q γ r раз, и следовательно, её числовое значениеувеличится в такое же число раз.
В этом и состоит смысл понятия размерности. Заметим, что для безразмерной величины zНапомним физический смысл уравнений Максвелла. Уравнение (В.5) по~ является плотность элекказывает, что источником электрического поля Eтрического заряда ρ. Из него можно получить закон Кулона:dim z = 1.Уравнение (В.6) свидетельствует о том, что в природе отсутствуют, насколько известно в настоящее время, магнитные заряды. Уравнение (В.7) — этоматематическая формулировка закона электромагнитной индукции. Оно свидетельствует о том, что изменяющееся магнитное поле порождает вихревое~ всеэлектрическое поле.
Уравнение (В.8) показывает, что магнитное поле Bгда вихревое (силовые линии замкнуты) и его источником являются не только движущиеся заряды, но и переменное электрическое поле. Для постоянного магнитного поля с помощью (В.8) можно получить закон Био-Савара(см.
Приложение):~~ = γ I dl × ~r .(В.12)dB4π r3С помощью уравненияZI~~ · d~l = γ ~j · SBНа практике величины p, q, r оказываются рациональными числами. Этообусловлено соответствующими определениями физических величин.Часто размерность физической величины отождествляют с её единицей всоответствующей системе единиц. Так, например, говорят, что скорость имеет размерность м/с, а давление Н/м2 . В этом нет большой беды, хотя, строгоговоря, это неверно: размерность скорости LT −1, а давления M L−1 T −2 .Рассмотрим вопрос о системах единиц в электродинамике.
Законы макроскопической электродинамики определяются её фундаментальными аксиомами — уравнениями Максвелла, которые являются концентрированнымобобщением экспериментальных фактов из области электричества и магнетизма. Запишем уравнения Максвелла для вакуума в произвольной системеединиц:ISIZ~~EdS = α ρ dVI(В.5)~ = 0,divB(В.6)V~ S~=0BdSZ~∂B~dS∂tSZZ ~I L∂E ~~~~~Bdl = γ j dS + δdS∂tL~ = αρ,divE~ ~l = −βEdS~ = −βrotE~∂B,∂t~~ = γ~j + δ ∂ E ,rotB∂t(В.7)q1 q2F~12 = αr12 .3 ~4πr12можно найти отнесённую к единице длины силу взаимодействия между двумя токами I1 и I2 , текущими по двум бесконечно длинным параллельнымпроводам:dFI1 I2= γη.(В.13)dl2πrРассмотрим электромагнитное поле в области, где нет источников, т.е.ρ = 0 и ~j = 0.
В силу (В.7) и (В.8) имеем(В.8)~ = −βrot rotES2~∂~ = −βδ ∂ ErotB∂t∂t2или~ + ηq~v × B,~F~ = ξq E(В.9)~ + ηId~l × B.~dF~ = ξdq E(В.10)(В.11)~ = −βδ~ − ∇2 Egrad divEт.е.~∂2E,∂t2Здесь приняты стандартные обозначения. Уравнение (В.9) или (В.10) служит~ и B.~ Множество коэффициентов (α, β,для определения силовых векторов Eγ, δ, ξ, η) свидетельствует о том, что для каждой физической величины,входящей в систему уравнений (В.5) – (В.10), принята собственная единицаизмерения, независимая от единиц других величин.~∂2E.(В.14)2∂tВолновое уравнение (В.14) описывает распространение электромагнитных√волн в вакууме.Скорость распространения волн равна 1/ βδ. Измерения√дают 1/ βδ = c, где c — скорость света в вакууме.
Таким образом, из опытаследует, что βδ = 1/c2 , где c — универсальная фундаментальная постоянная.45~ = βδ∇2 EЗапишем уравнения (В.5) – (В.9) в безразмерном виде. Для каждой физической величины f , входящей в эту систему, введём следующие обозначения:{f } ≡ f 0 , [f ] ≡ f0 , т.е. f 0 =ff0илиf = f 0 ·f0 .(В.15)Для единиц длины l и времени τ имеем:~r = ~r 0 · l,Ht = t0 · τ.(В.16)αδ= 1,γdimξβ= 1,η1.v02Последнее соответствует тому, чтоδβ =1.c2При выборе базисных единиц естественно предположить, чтоV~ S~ =0Bd~ = 0,divB(В.18)SRH~ ~l = −β B0 l2E0 l EdτLS~∂B∂t~dSHRR~ + δ E0 l 2~ ~l = γj0 l2 ~j dSB0 l BdτLdimdim δβ = dimПодставляя (В.15) и (В.16) в систему (В.5) – (В.9) и опуская штрихи,находимHRE0~ S~ = αρ0 l3 ρ dV~E0 l2 Ed(В.17)l divE = αρ0 ρ,SОтсюда можно видеть, чтоSSE0l~∂E∂t~dSB0l~ = γj0~j +rotB~ + ηq0 qv0 B0~v × B.~F0 F~ = ξq0 qE0 El, j0 = ρ 0 v 0 .τИз (В.17) – (В.21) следует, чтоЗдесь v0 =dim α = dimdim β = dimdimE0,ρ0 l1 E0,v0 B0dim γ = dimB0,j0 lρ0 v0 τρ0 lj0 τδ= dim= dim,= dimγE0E0E01 B0dim δ = dim,v0 E0~~ = − βB0 ∂ B ,rotEτ ∂t~δE0 ∂ Eτ ∂t ,(В.19)(В.20)(В.21)αδ= 1,γξβ1= 1, δβ = 2 .ηc(В.22)В таблице 1 показано, как в различных системах пользуются произволом,который дают соотношения (В.22).
В настоящее время принято считать, чтоc = 299 792 458 м/с (точно). Это означает, что базисные единицы «привязаны» к этой величине. Это, конечно, соглашение. Мы полагаем в лабораторииc∼= 3·108 м/с.В курсе общей физики в настоящее время используются в основном двесистемы единиц: гауссова система СГС и международная система СИ. Гауссова система СГС, в которой в качестве базисных величин приняты длина,масса и время, разработана на основе законов механики Ньютона.
Электрические и магнитные величины вводятся в ней как производные механических.Построенные по такому принципу системы единиц называются абсолютными.В системе СИ к трём механическим величинам — длине, времени и массе — добавлена независимая чисто электрическая величина, имеющая собственную размерность. В качестве такой величины выбрана сила электрического тока, а её единицей — ампер. Единицей заряда является ампер-секунда,называемая кулоном.Эталон силы электрического тока устанавливается на основе формулы(В.13). В системе СИ γ = ε01c2 , η = 1, поэтому∆F =1 I1 I2∆l.ε0 c2 2πr(В.23)ξB0dim = dim v0.ηE0На основании международного соглашения принято по определению, что ампер — это единица силы тока, который, проходя по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и исчезающе малого кругового67Таблица 1Некоторые системы единиц, используемые при изучениимакроскопической электродинамикиСГСЭСГСМαβγδξηαδγξβηδβ4π14πc21c211111c214π1c211111c21c4πc1c11c111c211ε 0 c21c211c211c21c211c24πcСГС4πМКСА (СИ)1ε0МКС (теор)211111111ε 0 c2∆F =4π I 22I 22I 2= 2 дин = 2 10−5 Н.2c 2πcc2·10−7 =I = 3·109 абс.
ед.Это означает, что10[I]СИ = c[I]абс ,= 4π·10−7 Г/м.1 1Н,ε0 c2 2πε0 =qr(СГС),1 q4πε0 r(СИ).Пусть q = 1 ед. СГС, а r = 1 см, тогда ϕ = 1 ед. СГС ≡ [ϕ]абс . Вычислимэтот же потенциал в системе СИ:(В.24)Установим соотношение между единицами силы электрического тока вгауссовой системе СГС и системе СИ. Полагая в (В.23) I1 = I2 = 1 А, r == ∆l = 1 м, находим∆F = 2·10−7 Н.(В.25)8(В.28)[q]СИ = 3·109 [q]абс .ϕ=В абсолютной гауссовой системе единиц формула (В.13) имеет вид4π I1 I2∆l.c2 2πr{I}абс см ,{I}СИ счто может быть проверено экспериментально (см. работу № 39).В силу (В.27) для электрического заряда имеемϕ=107≈ 8,85·10−12 ед. СИ.4πc2∆F =c = 10Установим соотношение между единицами разности потенциалов в гауссовойсистеме СГС и системе СИ.
Воспользуемся для этого формулой для отсчитываемого от бесконечно удалённой точки потенциала точечного заряда:1= 4π·10−7 ед. СИε0 c2или(В.27)где c = 3·1010 см/с, [I]СИ = 1 А. Соотношение (В.27) можно представить ввиде[I]СИ = 3·109 [I]абссечения, расположенным на расстоянии 1 м друг от друга в вакууме, вызывал бы между проводниками силу, равную 2·10−7 Н на каждый метр длины.Реализовать эту единицу можно несколькими способами, например, измеряясилу взаимодействия двух катушек с постоянным током.Полагая в (В.23) I1 = I2 = 1 А, имеемт.е.2I 2 −510 ,c2т.е.или2·10−7 Н =(В.26)Приравнивая (В.25) и (В.26), имеемc = 299 792 458 м/с (точно);ε0 = 8,854·10−12 Ф/м; µ0 =Воспользуемся теперь для вычисления той же силы формулой (В.24).
Полагая в этой формуле I1 = I2 = I, r = ∆l = 100 см, находимϕ=9·109= 300 В.3·109 · 10−2Это означает, что для единиц разности потенциалов имеем[U ]абс = 300[U ]СИ .9(В.29)Таблица 2Перевод числовых значений физических величиниз системы СИ в гауссову систему СГСНаименованиеТаблица 3Основные формулы в СИ и гауссовой системеНаименованиеУравнения МаксвеллаСИСГС~ =ρdivD~ =0divB~ = 4πρdivD~ =0divBОбозн.СИСГСlm1 м (метр)1 кг (килограмм)102 см103 гформеtA, W1 с (секунда)1 Дж (Джоуль)1с107 эрг~ = − ∂BrotE∂t~~ = ~j + ∂ DrotH~ = − 1 ∂BrotEc ∂t~~ = 4π ~j + 1 ∂ DrotHЭлектрическое смещение(определение)~ = ε0 E~ +P~D~ =E~ + 4π P~DМощностьN1 Вт (Ватт)107ДавлениеP1 Па (Паскаль)10Сила электрического токаЭлектр.
зарядI1 А (Ампер)3·109~ иE~Связь между P~ = αε0 E~P~ = αE~Pq3·109~ иE~Связь между D~ = εε0 E~D~ = εE~DПоляризацияP~3·105~ иE~Связь между Dв вакууме~ = ε0 E~D~ =E~DЭлектрическаяиндукция~D~ иH~Связь между M~ = κH~M~ = κH~M~ иH~Связь между B~ = µµ0 H~B~ = µH~BЭлектр. ёмкостьЭлектрическоесопротивлениеC1 Кл (Кулон) !Кл Кулон на1 2 квадратныймметр!Кл Кулон на1 2 квадратныймметр1 Ф (Фарад)9·1011 см~ = µ0 H~B~ =H~BR1 Ом (Ом)1с9·1011 см~ иH~Связь между Bв вакуумеУдельноесопротивлениеρ1 Ом·м (ом-метр)ЭлектрическаяпроводимостьΛ=RDn dS = ρ dVSVHBn dS = 0R ~H S~El dl = − ∂∂tB dSLSHHl dl =LR ~R~ + ∂D~= ~j dSdS∂tRDn dS = 4π ρ dVSVHBn dS = 0H SR ~~El dl = − 1c ∂∂tB dSLSHHl dl =LRR ~~ + 1 ∂D~~j dS= 4πdScc∂tДлинаМассаВремяРабота, энергияУдельнаяпроводимостьσМагнитный потокМагнитнаяиндукцияΦНапряжённостьмагн.
поляНамагниченность1R1 См (Сименс)Сименс1 Сммна метр1 Вб (Вебер)~B1 Тл (Тесла)Ампер1 АмнаметрАмпер1 Амна метр~H~MИндуктивностьНапряжённостьэлектр. поля~EЭлектрическийпотенциалϕ1 Г (Генри)Вольт1 Вмна метрL1 В (Вольт)10эргсдинсм212π·10519·1099·1011св дифференциальной∂tНапряжённостьмагнитного поля(определение)Уравнения Максвеллав интегральной формесмс9·109 с−1108 Мкс104 Гс4π · 10−3 Э14π· 104 Гс109 см13~~ =H1µ0SSF =Закон Био–Савара~ =dHЗакон АмпераСила Лоренца(магнитная часть)1 q1 q24πε0 εr2I d~l × ~r4πr3~ = Id~l × B~dF~ = q~v × B~F· 10−4130011c~ −M~BHЗакон Кулона~c ∂t~ =B~ − 4π M~HHSSq1 q2εr2I d~l × ~rF =~ =dHc r3~~ = I d~l × BdFc~~ = q ~v × BFcТ а б л и ц а 3 (продолжение)НаименованиеПлотность энергииэлектромагнитного поляСИw=12~D~ +B~H~E~ =E~ ×H~ΠВектор ПойнтингаЭнергия магнитногополя токаПлотность импульсаэлектромагнитного поляW =СГС1~D~ +B~H~Ew = 8π~ ×H~~ = c EΠ4π21 LIW = 2c 21 ~~~g =E×H4πc1Φ = LIc4πµN 2 SL=l1~~ = ISMcLI 221 ~~~g = 2 E×HcИндуктивность(определение)параметров уравнений Максвелла выбор единиц системы СИ представляется совершенно случайным, хотя вполне допустимым.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
