А.А. Абрикосов-мл. - Кванты за ночь (1129361), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. . , . . .] è àíòèêîììóòàòîð {. . . , . . .} îïåðàòîðîâ:[Â, B̂] =  B̂ − B̂ Âè {Â, B̂} =  B̂ + B̂  .(5)Åäèíè÷íûé îïåðàòîð:∀| ψ i, | χ i,1̂ | ψ i = | ψ iè h ψ | 1̂ | χ i = h ψ |χ i.(6)Îáðàòíûé îïåðàòîð Â−1, (åñëè îí ñóùåñòâóåò):−1−1  =   = 1̂ .(7)Ñðåäíèå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà è åãî ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû:h A iψ , Aψ ψ = h ψ |  ψ i;Aψ χ , h ψ |  χ i.(8)Åñëè ôóíêöèþ ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä Òåéëîðà, òî ôóíêöèÿ îò îïåðàòîðà îïðåäåëÿåòñÿ êàêrik∞Xn1 (n)f (0)  ,f (Â) ,n!n=0ãäåf(n)dn f= n,dxèn = · .
. . · Â} .| ·  {zn ðàçîïåðàòîðîâ:h Â+ ψ |χ i = h ψ |  χ i,ïðè÷åì (Â+)+ = Â, èÌàòðè÷íûå ýëåìåíòû ýðìèòîâî ñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ:(9)abÝðìèòîâî ñîïðÿæåíèåA+ψχh  ψ | = h ψ | Â+ .∗= h ψ |  χ i = h χ |  ψ i = (Aχ ψ )∗ .+(10)(11)Îïåðàòîð íàçûâàåòñÿ ýðìèòîâûì, èëè ñàìîñîïðÿæåííûì, åñëè Â+ = Â. Åãî ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû ðàâíû,h ψ |  | χ i , h  ψ |χ i = h ψ |  χ i,è h ψ |  | χ i = h χ |  | ψ i∗. (12)−1Óíèòàðíûìè íàçûâàþòñÿ îïåðàòîðû, äëÿ êîòîðûõ Ŝ+ = Ŝ .
Òàêèå îïåðàòîðû ñîõðàíÿþò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå:Ŝ+ · Ŝ = Ŝ · Ŝ+ = 1̂, òîãäà h Ŝ ψ | Ŝ χ i = h ψ | Ŝ+ · Ŝ χ i = h ψ |χ i.(13)52.1.2Ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ è ñïåêòðû îïåðàòîðîâaftÏóñòü |  a i = a| a i, ãäå a ÷èñëî. Òîãäà | a i ñîáñòâåííîå ñîñòîÿíèå îïåðàòîðàÂ, è a ñîîòâåòñòâóþùåå åìó ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå.Ñïåêòð îïåðàòîðà ýòî ìíîæåñòâî åãî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. Ñïåêòð ìîæåò ñîäåðæàòü íåïðåðûâíóþ è äèñêðåòíóþ ÷àñòè C è D.Íåïðåðûâíàÿ ÷àñòü ìîæåò ñîñòîÿòü èç íåñêîëüêî ïîäìíîæåñòâ: C = ∪iCi.Îáîáùåíèå δ - ôóíêöèè íà ìíîæåñòâà ñî ñëîæíîé ñòðóêòóðîéïðè a, b ∈ D;ïðè a, b ∈ Câ äðóãèõ ñëó÷àÿõ. δa bδ(a, b) , δ(a − b)0(14) | a i = a | a iÑâåðòêîéèdrÍîðìèðîâêà ñîñòîÿíèé â äèñêðåòíîé D è íåïðåðûâíîé C ÷àñòÿõ ñïåêòðà ýðìèòîâàîïåðàòîðà (îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà ñîáñòâåííûõ ñîñòîÿíèé): | b i = b | b i;òîãäàh a |b i = δ(a, b).(15)ïî a íàçûâàåòñÿ ñóììà ïî âñåì ñîáñòâåííûì ÷èñëàì a ∈ C ∪ D:ñâåðòêàa∈DÓñëîâèå ïîëíîòûZA(a) B(a) +A(a) B(a) da;o@A(a) B(a) ,Xδ(a, b) F (b) = F (a).a∈C(16)îðòîíîðìèðîâàííîé ñèñòåìû ñîñòîÿíèé | a i:1̂ = | a ih a | =XZ| a ih a | da.| a ih a | +a∈Ca∈D(17)Ðàçëîæåíèå îïåðàòîðà V̂ ïî ïîëíîìó îðòîíîðìèðîâàííîìó áàçèñó:rikV̂ = | a ih a | V̂ | b ih b |, = | a i V̂a b h b |,1̂ãäåa, b ∈ C ∪ D.(18)1̂Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè îò îïåðàòîðà ïî åãî ñîáñòâåííûì ñîñòîÿíèÿì:ãäåabf (Â) = | a i f (a) h a |,2.1.3 | a i = a | a i,a ∈ C ∪ D.(19)Íåçàâèñèìûå ñîñòîÿíèÿ ýòî ñîñòîÿíèÿ íå âçàèìîäåéñòâóþùèõ ìåæäó ñîáîé ñèñòåì, ëèáî ñîñòîÿíèÿ îäíîé è òîé æå ñèñòåìû â íåçàâèñèìûõ ýêñïåðèìåíòàõ.
Ïðèâû÷èñëåíèè ñòàòèñòè÷åñêèõ ñðåäíèõ, ïîëíûõ âåðîÿòíîñòåé, âðåìåí æèçíè è äðóãèõ âåëè÷èí áûâàåò íåîáõîäèìî íàéòè âêëàä íåñêîëüêèõ íåçàâèñèìûõ ñîñòîÿíèé.Àìïëèòóäû òàêèõ ñîñòîÿíèé íå èíòåðôåðèðóþò, ïîýòîìó èõ âêëàäû âû÷èñëÿþò ïîîòäåëüíîñòè, à çàòåì âûïîëíÿþò ñóììèðîâàíèå, óñðåäíåíèå è ò. ï.Íåçàâèñèìûå ñîñòîÿíèÿ62.1.4Íåïðåðûâíûé ïðåäåëÅñëè äèñêðåòíûé ñïåêòð äîñòàòî÷íî ïëîòíûé, ïðè âû÷èñëåíèè óäîáíî ïåðåéòè îòñóìì ê èíòåãðàëàì. Ýòî íàçûâàåòñÿ íåïðåðûâíûì ïðåäåëîì.Ïóñòü â îáëàñòè M ⊂ D ôóíêöèÿ f (a) ìåíÿåòñÿ íå ñëèøêîì áûñòðî.
Òîãäà ñóììóïî ñîñòîÿíèÿì a ∈ M ìîæíî ïðèáëèçèòü èíòåãðàëîìZf (a) ≈Ma∈MÏëîòíîñòü ñîñòîÿíèé ρ(a) îïðåäåëÿåòíèé) â èíòåðâàëå (a, a + da):dN (a, a + da) = ρ(a) da,(20)f (a) ρ(a) da.aftX÷èñëî ñîñòîÿíèé (÷èñëî ñîáñòâåííûõ çíà÷å-ãäå, ïî ïðåäïîëîæåíèþ,dN 1.(21)2.2drÎáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî â îòëè÷èå îò ñâåðòêè çäåñü ñóììèðîâàíèå ìîæåò èäòè íå ïîâñåìó ñïåêòðó. Êðîìå òîãî, â èíòåãðàëå íóæíî ó÷èòûâàòü ïëîòíîñòü ñîñòîÿíèé.Ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåéo@Äèñïåðñèÿ (ñðåäíåå êâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå) âåëè÷èíû äëÿ ñîñòîÿíèÿ | ψ i:2h (∆V ) iψ = h ψ | V̂ −h V iψ2| ψ i = h V 2 iψ − h V i2ψ .(22)Ïðèíöèï íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà.
Åñëè [Â, B̂] = i Ĉ 6= 0, òî ∀| ψ i,(23a)1h (∆A)2 iψ h (∆B)2 iψ > h C i2ψ .4rik ÷àñòíîñòè, êîîðäèíàòà è èìïóëüñ íå êîììóòèðóþò, [p̂i, x̂j ] = −i~ δij , ïîýòîìó ∀| ψ ih (∆pi )2 iψ h (∆xj )2 iψ >2.32.3.1~2δij .4(23b)Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ, âåðîÿòíîñòè è ñðåäíèåÎáùèé ñëó÷àéabÏóñòü ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ | a i ýðìèòîâà îïåðàòîðà  îáðàçóþò ïîëíûé áàçèñ.Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ψ(a) ñîñòîÿíèÿ | ψ i â a-ïðåäñòàâëåíèè îïðåäåëåíà íà ñïåêòðå Â.Ñâÿçü ñîñòîÿíèÿ ñ âîëíîâîé ôóíêöèåé:ψ(a) = h a |ψ ièψ ∗ (a) = h ψ |a i,ïðè÷åìa ∈ C ∪ D.(24)Âåðîÿòíîñòè íàáëþäåíèÿ çíà÷åíèÿ a ∈ D èëè çíà÷åíèé â èíòåðâàëå (a, a + da) ⊂ C ,äëÿ ñîñòîÿíèÿ | ψ i ðàâíûW (a) = |ψ(a)|2 ,dW (a, a + da) = |ψ(a)|2 da,7äëÿäëÿa ∈ D;a ∈ C.(25a)(25b)Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ψ(a) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ñîñòîÿíèå | ψ i, ñì.
(16):| ψ i = | a ih a |ψ i = | a i ψ(a) è h ψ | = h ψ | a ih a | = ψ ∗ (a)h a |.1̂(26)1̂Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ñîñòîÿíèé âûðàæàåòñÿ ÷åðåç âîëíîâûå ôóíêöèè,h ψ |χ i = h ψ | a ih a |χ i = ψ ∗ (a) χ(a).afta(27)Äåéñòâèå îïåðàòîðà íà âîëíîâóþ ôóíêöèþ â a-ïðåäñòàâëåíèè:V̂ ψ(a) , h a | V̂ ψ i = h a | V̂ | ã i h ã |ψ i = h a | V̂ | ã i ψ(ã).1̂Ñðåäíåå îò îïåðàòîðà äëÿ ñîñòîÿíèÿ, çàäàííîãî âîëíîâîé ôóíêöèåé:drh V iψ = h ψ | V̂ ψ i = h ψ | a ih a | V̂ ψ i = ψ ∗ (a) V̂ ψ(a).(28)(29)1̂2.3.2Äèñêðåòíûé ñïåêòð: ìàòðè÷íîå ïðåäñòàâëåíèåo@Åñëè ñèñòåìà èìååò òîëüêî äèñêðåòíûé ñïåêòð, C = ∅, ñâåðòêè ïðåâðàùàþòñÿ â ñóììû. Âîëíîâûå ôóíêöèè êåò-âåêòîðîâ ñòàíîâÿòñÿ (âîçìîæíî, áåñêîíå÷íûìè) âåêòîðñòîëáöàìè:ψ1 2 |ψi → ψ = ψ ;ãäå | i i i-å ñîñòîÿíèå....Áðà-âåêòîðàì ñîîòâåòñòâóþò ýðìèòîâî-ñîïðÿæåííûå âåêòîð-ñòðîêè:h ψ | → ψ † = (ψ1∗ , ψ2∗ , .
. .) ,ãäå ψi∗ = h ψ |i i.Îáðàòíûé ïåðåõîä (ïî ïîâòîðÿþùèìñÿ èíäåêñàì èäåò ñóììèðîâàíèå):rikψ i = h i |ψ i,(30a)(30b)(30c)Îïåðàòîðàì ñîîòâåòñòâóþò ìàòðèöû, ñîñòàâëåííûå èç ìàòðè÷íûõ ýëåìåíòîâ îïåðàòîðà V̂ (îòñþäà íàçâàíèå):h ψ | = ψi∗ h i |;| ψ i = | i iψ i ;h ψ |χ i = ψ † χ = ψi∗ χi .V11 V21 . . .2 2V̂ → V = V1 V2 . . .
,abãäå Vki = h i | V̂ ·k i.(31)... ... . . .Ìàòðèöû äåéñòâóþò íà âåêòîð-ñòîëáöû ïî îáû÷íûì ïðàâèëàì:(Vψ)i = Vki ψ kè h ψ | V̂ χ i = ψ†Vχ = ψi∗Vkiχk .(32)Ìàòðèöà ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðèö:A1i B1i A1i B2i . . .2 i 2 i B̂ → AB = Ai B1 Ai B2 . . . ....8......(33)2.3.3Íåïðåðûâíûé ñïåêòð: èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû (∗ )Åñëè, íàïðîòèâ, îïåðàòîð  èìååò òîëüêî íåïðåðûâíûé ñïåêòð, D = ∅, òî ñâåðòêóñëåäóåò ïîíèìàòü êàê èíòåãðèðîâàíèå (ñì. (24), (27)):Z∗da ψ ∗ (a)χ(a).h ψ |χ i = h ψ | a ih a |χ i = ψ (a) χ(a) =C(34)1̂aftÏðè ýòîì ðîëü ìàòðèö ïåðåõîäèò ê èíòåãðàëüíûì îïåðàòîðàì ìàòðèöàì ñ íåïðåðûâíûìè èíäåêñàìè .Èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð V̂ îïðåäåëÿåòñÿ ñâîèì ÿäðîì V(a, b).
Îí äåéñòâóåò íà ôóíêöèè ñëåäóþùèì îáðàçîì, ñì. (27):Zdb V(a, b) f (b),(V̂ f )(a) = V(a, b) f (b) =CbãäåV(a, b) = h a | V̂ · b i.dr∀f (a),(35)Ìàòðè÷íûå ýëåìåíòû îïåðàòîðîâ ìåæäó ïðîèçâîëüíûìè ñîñòîÿíèÿìèZ∗Vψχ = h ψ | V̂ χ i = ψ (a) V(a, b) χ(b) =ada db ψ ∗ (a) V(a, b) χ(b).Cb(36)o@Ê ñ÷àñòüþ, èíîãäà îïåðàòîðû çàáûâàþò îá èíòåãðàëüíîì õàðàêòåðå. Èíòåãðàëüíûå ÿäðà îïåðàòîðîâ x̂ è p̂ â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè âûãëÿäÿòíåîáû÷íî:Ïðèìåð:ZX (x, y) = xδ(x − y),∞(x̂ ψ)(x) =dy X (x, y) ψ(y);(37a)dy P(x, y) ψ(y).(37b)Z−∞∞P(x, y) = −i~δ 0 (x − y),(p̂ ψ)(x) =−∞rikÎäíàêî íà âîëíîâûå ôóíêöèè îíè äåéñòâóþò ïðèâû÷íûì îáðàçîì, ñì.
ðàçäåë 3.3:Z∞dy xδ(x − y)ψ(y) = xψ(x).Z ∞(p̂ ψ)(x) = −i~dy δ 0 (x − y)ψ(y) = −i~ψ 0 (x).(x̂ ψ)(x) =−∞−∞(38b)Ïðåîáðàçîâàíèå âîëíîâûõ ôóíêöèé íåïðåðûâíîé ïåðåìåííîéab2.3.4(38a)Ïóñòü äâå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû ñâÿçàíû ôîðìóëîé b = f (a) (íàïðèìåð êèíåòè÷åñêàÿpýíåðãèÿ T = 2mîäíîçíà÷íî çàâèñèò îò èìïóëüñà). Ïåðåõîä èç a- â b-ïðåäñòàâëåíèåñîõðàíÿåò âåðîÿòíîñòü. Ïîýòîìó ñîãëàñíî (25) â íåïðåðûâíîì ñïåêòðå (ò.
å. êîãäàa ∈ Ca è b ∈ Cb ):dW = |ψ(a)|2 |da| = |ψ(b)|2 |db|,ïðè÷åì db = f 0(a) da.(39)Ïðåîáðàçîâàíèÿ âîëíîâîé ôóíêöèè ψ(a) ïðè ïåðåîïðåäåëåíèè íåïðåðûâíîé ïåðåìåííîé:1ψ(b) = pψ(a).(40)02|f (a)|92.3.5Îïåðàòîð ïðîñòðàíñòâåííîé èíâåðñèè, ÷åòíîñòüÎïåðàòîð èíâåðñèè Î (èëè P̂) èçìåíÿåò êîìïîíåíòû ðàäèóñ âåêòîðà (êîîðäèíàòûòî÷êè) íà ïðîòèâîïîëîæíûå. Ïðè ýòîì ÷àñòü âåêòîðîâ (èñòèííûå, èëè ïîëÿðíûå)òàêæå ìåíÿåò çíàê2.Äåéñòâèå Î íà ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ îïåðàòîðîâ êîîðäèíàòû r̂, èìïóëüñà p̂ è ïðîèçâîëüíîãî èñòèííî âåêòîðíîãî îïåðàòîðà ĝ:Î | p i = | − p i,(41a)aftÎ | r i = | − r i,Î | g i = | − g i.Äåéñòâèå Î íà âîëíîâûå ôóíêöèè â r-, p- è g-ïðåäñòàâëåíèÿõ:Î ψ(x) = ψ(−x);Î ψ(p) = ψ(−p);Ñâîéñòâà îïåðàòîðà èíâåðñèè:{Î, r̂} = Î r̂ + r̂ Î = 0;èdrÎ 2 = 1̂;Î ψ(g) = ψ(−g);{Î, p̂} = 0;{Î, ĝ} = 0.(41b)(42)3o@Èç Î 2 = 1̂ ñëåäóåò, ÷òî ñîáñòâåííûå ÷èñëà îïåðàòîðà èíâåðñèè (÷åòíîñòü ñîñòîÿíèÿ)ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ P1, 2 = ±1.Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà3.1Îáùèé ñëó÷àé3.1.1Çàâèñèìîñòü ñîñòîÿíèé îò âðåìåíèÝâîëþöèÿ ñîñòîÿíèé îïðåäåëÿåòñÿ íåñòàöèîíàðíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðài~∂| ψ(t) i = Ĥ(t)| ψ(t) i∂tîòêóäà ñëåäóåò, ÷òî− i~∂h ψ(t) | = h ψ(t) | Ĥ(t).∂t(43)rikÐàçëîæåíèå ñîñòîÿíèé ïî íå çàâèñÿùåìó îò âðåìåíè áàçèñó | a i äàåò óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ âîëíîâûõ ôóíêöèé, ñì.
(24),∂h a |ψ(t) i = h a | Ĥ(t)| ψ(t) i,∂t∂−i~ h ψ(t) |a i = h ψ(t) | Ĥ(t)| a i,∂tabi~3.1.2èè∂ψ(a, t) = Ĥ(t) ψ(a, t).∂t∗∂ ∗−i~ ψ (a, t) = Ĥ(t) ψ(a, t) .∂ti~(44a)(44b)Çàâèñèìîñòü ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí îò âðåìåíèÎïåðàòîð ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíû Ȧˆ , îïðåäåëåíèå è âèä:dˆ i ,h A(t) iψ , h Ȧ(t)ψdtãäå∂ Â(t)iˆȦ(t)=+ [Ĥ, Â(t)].∂t~(45)Âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ïîëÿðíûõ âåêòîðîâ ÿâëÿåòñÿ àêñèàëüíûì âåêòîðîì (ïñåâäîâåêòîðîì),òî åñòü íå èçìåíÿåòñÿ ïðè èíâåðñèè.2103.1.3Îïåðàòîð ýâîëþöèèÐåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Øðåäèíãåðà ëèíåéíî çàâèñÿò îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé, è ìîãóòáûòü âûðàæåíû ÷åðåç îïåðàòîð ýâîëþöèè Ŝ:è| ψ(t) i = Ŝ(t, t0 ) | ψ(t0 ) ih ψ(t) | = h ψ(t0 ) | Ŝ+ (t, t0 ).(46)i~(∗ )∂Ŝ(t, t0 ) = Ĥ(t) Ŝ(t, t0 ),∂ti~aftÎí óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì:∂Ŝ(t, t0 ) = − Ŝ(t, t0 ) Ĥ(t0 ).∂t0Èç (46) ñëåäóåò çàêîí ýâîëþöèè âîëíîâîé ôóíêöèè â a-ïðåäñòàâëåíèè:(48)drψ(a, t) = h a | Ŝ(t, t0 )| a0 ih a0 | ψ(t0 ) i = S(a, t; a0 , t0 ) ψ(a0 , t0 ).3.2(47)Ñòàöèîíàðíîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà, Ĥ = consto@Ïðè Ĥ = const ñîáñòâåííûå ñîñòîÿíèÿ è ñîáñòâåííûå ÷èñëà Ãàìèëüòîíèàíà íå çàâèñÿòîò âðåìåíè.
Îíè îïðåäåëÿþòñÿ ñòàöèîíàðíûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà:Ĥ | ψE i = E| ψE i,èh ψE | Ĥ = Eh ψE |.(49)∀τ,(50)Îïåðàòîð ýâîëþöèè ïðè Ĥ = const:iŜ(t, t0 ) = exp − Ĥ(t − t0 ) ,~ïðè÷åìŜ(t, τ ) Ŝ(τ, t0 ) = Ŝ(t, t0 ). ñèëó (47) ïîñëåäíåå âåðíî ïðè Ĥ 6= const.Åñëè íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ÷èñòîå (ñîáñòâåííîå), | ψ(t0) i = | ψE i, òîrik(∗ )iE(t − t0 )| ψE i;~iE(t − t0 )h ψE (t) | = h ψ(t0 ) | Ŝ+ (t, t0 ) = h ψE | exp.~| ψE (t) i = Ŝ(t, t0 ) | ψE (t0 ) i = exp −abÅñëè íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå ñìåøàííîå, | ψ(t0) i = c(E) | ψE i, òî| ψ(t) i = c(E) exp −iE(t − t0 )| ψE i,~h ψ(t) | = c∗ (E) exp3.3iE(t − t0 )h ψE |~Êîîðäèíàòíîå ïðåäñòàâëåíèåÎïåðàòîðû êîîðäèíàòû è èìïóëüñà (ñðàâíèòå ñ (38)):x̂ = xèp̂ = −i~∇;ïðè÷åì11[p̂j , x̂k ] = −i~δjk .(51)Ãàìèëüòîíèàí è óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà äëÿ ÷àñòèöû (U ïîòåíöèàë).p̂2Ĥ =+ U (x, t),2mi~d~2 ∆ψ(x, t) = −ψ(x, t) + U (x, t) ψ(x, t).dt2m(52)Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ñâîáîäíîé ÷àñòèöû ñ èìïóëüñîì p (â d ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå):eip x/~d(2π~) 2(53).aftψp (x) = h x |p i =Ñâÿçü âîëíîâûõ ôóíêöèé ÷àñòèöû â x- è p-ïðåäñòàâëåíèÿõ:ZZZψ(x, t) = h x |ψ(t) i = h x | p ih p |ψ(t) i =RRRd3 p3.3.1e−ip x/~ ψ(x, t)d3 x.(2π~)3/2drψ(p, t) = h p |ψ(t) i = h p | x ih x |ψ(t) i =d3 xd3 p;(2π~)3/2(54a)R3pZZZRRReip x/~ ψ(p, t)(54b)R3xÎïåðàòîðû ñäâèãîâ â êîîðäèíàòíîì è èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâàõo@Îïåðàòîðû òðàíñëÿöèè T̂a è áóñòà B̂q ñäâèãàþò ñîñòîÿíèå ÷àñòèöû, êàê öåëîå, âêîîðäèíàòíîì èëè èìïóëüñíîì ïðîñòðàíñòâå.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
