В.И. Богачёв - Программа экзамена по функциональному анализу (5-6 семестры) (1128681)
Текст из файла
Программа экзамена по функциональному анализуЛектор — В. И. БогачёвV–VI семестры, 2005–2006 г.V семестр1. Метрические пространства. Непрерывные отображения. Полнота и сепарабельность. Теорема о вложенныхшарах. Теорема Бэра.2. Нормированные пространства. Примеры: пространства непрерывных функций, интегрируемых функцийи пространства последовательностей. Изометричность метрического пространства M части банахова пространства B(M ) и существование пополнения M .3. Топологические пространства. Компактные множества и их свойства.4.
Вполне ограниченные множества. Критерий вполне ограниченности в терминах фундаментальных последовательностей.5. Равносильность различных определений компакта в метрическом пространстве.6. Эквивалентность норм на конечномерном пространстве. Некомпактность шара в бесконечномерном нормированном пространстве.7. Критерий компактности в B(M ). Теорема Арцела.8. Теоремы о неподвижных точках: теорема о сжимающих отображениях и теорема Шаудера.9.
Евклидовы пространства. Существование ортогональной проекции и ортогонального разложения в гильбертовом пространстве.10. Ортонормированные системы, базисы и ортогонализация. Существование ортонормированного базиса всепарабельном евклидовом пространстве. Примеры базисов.11. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля.
Теорема Рисса – Фишера. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств.12. Линейные операторы и линейные функционалы. Норма оператора и непрерывность оператора.13. Теорема Банаха – Штейнгауза.14. Теорема об открытом отображении.15. Теорема о замкнутом графике. Теорема Банаха об обратном операторе.16.
Теорема Хана – Банаха и ее следствия. Сопряженное пространство. Отделение выпуклых множеств (бездоказательства).17. Теорема Рисса об общем виде непрерывного линейного функционала на гильбертовом пространстве. Явныйвид сопряженных к конкретным пространствам (без доказательства).18. Изометрическое вложение нормированного пространства во второе сопряженное. Ограниченность слабоограниченных множеств.∗19. Топология σ(E, F ) и равенство E, σ(E, F ) = F . Слабая и ∗-слабая топологии.20. Теорема о ∗-слабой компактности шара в сопряженном пространстве (без доказательства). Выделение∗-слабо сходящейся подпоследовательности из ограниченной последовательности функционалов на сепарабельном нормированном пространстве.
Слабая сходимость и слабая компактность в гильбертовом пространстве.21. Компактные операторы и их свойства. Примеры компактных и некомпактных операторов.Последняя компиляция: 13 мая 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.1VI семестр1.2.3.4.Спектр оператора. Открытость множества обратимых операторов. Замкнутость спектра.Теорема об отображении спектров для многочленов.Спектр компактного оператора.Альтернатива Фредгольма:Ker(I − K) = 0 ⇐⇒ (I − К )Х = X.5. Понятие о локально выпуклом пространстве.
Примеры. Пространства D и S и сходимость в них. Плотностьпространства D в пространстве L2 (R1 ).6. Обобщенные функции классов D′ и S ′ . Производная обобщенной функции. Носитель и сингулярный носитель.7. Преобразование Фурье интегрируемых функций и его свойства. Формула обращения. Полнота системыфункций Эрмита.8. Преобразование Фурье в S и его непрерывность.
Равенство Парсеваля для интегралов Фурье. Преобразование Фурье в S ′ .9. Преобразование Фурье в L2 (R1 ) и теорема Планшереля.10. Свертка интегрируемых функций. Свертка обычной и обобщенной функций. Использование преобразования Фурье и свертки для решения дифференциальных уравнений.11. Самосопряженный оператор и его квадратичная форма. Критерий Вейля и вещественность спектра самосопряженного оператора.12. РавенстваkAk = sup {|(At, х )| , kxk < 1} = sup {|λ| : λ — точка спектра A}13.14.15.16.для самосопряженного оператора А.Теорема Гильберта – Шмидта.Норма и спектр оператора умножения на функцию. Циклические векторы.Унитарные операторы и унитарная эквивалентность операторов. Спектр оператора преобразования Фурьеи спектр оператора свертки.Непрерывные функции от самосопряжённых операторов и равенствоkf (A)k = sup |f (t)| .t∈σ(A)17.
Эквивалентность самосопряженного оператора оператору умножения на функцию (случай оператора сциклическим вектором и общий случай).18. Проекторы и проекторнозначные меры. Представление самосопряженного оператора в виде интеграла попроекторнозначной мере. Явное вычисление спектральной меры для оператора умножения на аргумент идля проектора.19. Пространства С.
Л. Соболева W p,k и их характеризация через пополнение по соболевской норме. Описаниепространства W 2,k через преобразование Фурье. Теоремы вложения в Lq и C (без доказательства).Последняя компиляция: 13 мая 2006 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
