А.М. Стёпин - Программа экзамена по функциональному анализу (5-6 семестры) (1128675)
Текст из файла
Программа экзамена по функциональному анализуЛектор — А. М. СтёпинV–VI семестр, 2004–2005 г.V семестр1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.Полные метрические пространства. Теорема о вложенных шарах и теорема Бэра. [КФ, II, 3]Принцип сжимающих отображений и его применения. [КФ, II, 4]Пополнение метрических пространств, связь полноты и замкнутости. [КФ, II, 3]Компактные метрические пространства, критерий компактности (Хаусдорфа). [КФ, II, 7]Критерий компактности подмножества в C[a, b].
[КФ, II, 7]Нормированные пространства. Теорема Банаха – Хана. [ЛС, IV, 1]Отделимость выпуклых множеств. [КФ, IV, § 1, п. 3]Общий вид линейного ограниченного функционала на C[a, b]. [ЛС]Линейные непрерывные функционалы на гильбертовом пространстве.Изоморфизм сепарабельных бесконечномерных гильбертовых пространств. [КФ]Норма линейного оператора. Формулы: kAk = kA∗ k, kA∗ Ak = kAk2 .Резольвента, её аналитические свойства, спектральный радиус. [КФ, IV, 6]Спектр оператора.
Непустота спектра ограниченных операторов. [КГ, V, 1]Теорема об отображении спектра для полиномов. [КГ, V, 1], [РС, I том]Связь нормы и спектрального радиуса. [КФ, V, 1]Спектральная теорема для самосопряжённого ограниченного оператора c циклическим вектором. [РС]Диагонализуемость компактных самосопряжённых операторов (существование полной ОНС из собственных векторов).Принцип равномерной ограниченности (теорема Банаха – Штейнгауза).
[ЛС, III, 4]Теорема Банаха об обратном операторе. [ЛС, III, 5]Слабая компактность шара в пространстве, сопряжённом к сепарабельному нормированному. [КФ, IV, 3]Компактные операторы, их основные свойства (компактность суммы двух компактных операторов; компактность произведения компактного и ограниченного операторов в любом порядке). [КФ, IV, 6]Теорема о сохранении непрерывного спектра при компактном возмущении.
[Г]Компактность интегральных операторов с ядрами Гильберта – Шмидта. [Ш]Сохранение компактности при сопряжении. [КФ, IV, 6]Эквивалентность норм в конечномерных пространствах. [ЛС, II, 2]Лемма Рисса о «почти перпендикуляре».Собственные значения компактных операторов. [КФ, IV, 6]2-я теорема Фредгольма. [ЛС]3-я теорема Фредгольма.Теория Фредгольма для операторов в гильбертовом пространстве.1VI семестр1.
Убывание к нулю коэффициентов Фурье интегрируемой на отрезке функции относительно ограниченнойортонормированной системы.2. Условие Дини сходимости ряда Фурье. [КФ, 8.1]3. Применение принципа равномерной ограниченности к рядам Фурье. [КФ, 8.1]4. Свойство единственности для рядов Фурье интегрируемых функций. [Ш, 7.1]5. Условие равномерной сходимости рядов Фурье. [КФ, 8.1]P sin nx6. Ограниченная сходимость рядаn .
[ХР, 3.7]7. Преобразование Фурье интегрируемых функций; основные свойства. [КФ, 8.4]8. Формула обращения. [КФ, 8.4]9. Свойство единственности для преобразования Фурье. [КФ, 8.4]10. Связь гладкости и убывания на бесконечности f и fb. [КФ, 8.4].11. Полнота системы функций Чебышёва – Эрмита. [КФ, 8.4]12. Спектр оператора преобразования Фурье в L2 (R).13. Свёртка и преобразование Фурье, оператор свёртки в L2 (R).14. Применение преобразования Фурье к решению уравнения теплопроводности. [КФ, 8.4]15.
Равенство Парсеваля и преобразование Фурье в L2 (R). Теорема Планшереля. [КФ, 8.5]16. ∗ Сходимость последовательностей и топология в C∞0 .17. Пространство D, регулярные и сингулярные обобщённые функции. [Вл], [ГШ], [Р]18. Достаточность запаса основных функций; сингулярность P x1 . [Л], [Вл]19. Действие над обобщёнными функциями, существование первообразной. [ГШ, 1.2]20. Формула суммирования Пуассона. [ГШ, 1.2]21. Локальное совпадение обобщённых функций; носитель обобщённой функции.
[Р, 6]22. Пространство E, инъекция E ′ −→ D′ и плотность образа. [Л]23. Метризуемость сходимости в E и неметризуемость сходимости в D. [Л]24. E ′ — пространство обобщённых функций с компактным носителем. [Л]25. Общий вид линейного непрерывного функционала на L1 . [Л]26. Теорема о структуре обобщённых функций с компактным носителем. [Р, 6]27. Преобразование Фурье на классе S. [Х, 7.3], [КГ, IV.2.3]28. Обобщённые функции умеренного роста и их преобразование Фурье.29.
Разбиение единицы.Замечание. Звезданутый вопрос отличатеся тем, что он является необязательным, и на экзамене можнопросить его заменить.Литература[КФ] А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука,1981.[ЛС] Л. А. Люстерник, В. И. Соболев. Элементы функционального анализа. — М.: Наука, 1965.[РС] М.
Рид, Б. Саймон. Методы современной математической физики. — М.: Мир, 1977.[Г]Н. И. Глазман. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальныхоператоров. — М.: Физматгиз, 1963.[Ш] Г. Е. Шилов. Математический анализ. Второй специальный курс. — М.: Физматгиз, 1965.[КГ] А. А. Кириллов, А. Д. Гвишиани.
Теоремы и задачи функционального анализа. — М.: Наука, 1988.[ХР] Г. Г. Харди, В. В. Рогозинский. Ряды Фурье. — М.: Физматгиз, 1959.[Вл] В. С. Владимиров. Обобщённые функции в математической физике. М.: Наука, 1976.[ГШ] И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. Обобщённые функции.
— М.: Физматгиз, 1959.[Р]У. Рудин. Основы функционального анализа. — М.: Мир, 19??.[Х]А. Я. Хелемский. Лекции по функциональному анализу. — М.: МЦНМО, 2004.[Л] А. М. Стёпин. Лекции. — http://dmvn.mexmat.net, 2004–2005.Последняя компиляция: 28 октября 2005 г.Обновления документа — на сайте http://dmvn.mexmat.net.Об опечатках и неточностях пишите на dmvn@mccme.ru.2.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
