Памятка для контрольной работы № 2 (1128082)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ПАМЯТКА для студентов К–6(основные формулы к КР–2 по УМФ)Рекуррентные соотношения:d ν(x Jν (x)) = xν Jν−1 (x),dxа)d −ν(x Jν (x)) = −x−ν Jν+1 (x),dxνв) Jν0 (x) = Jν−1 (x) − Jν (x),xνг) Jν0 (x) = −Jν+1 (x) + Jν (x),xОператор Лапласаб)а) сферически-симметричный случай в Rn1 dn−1 du(r)∆u = n−1r;rdrdrв частности, сферически-симметричный случай в R31 d2 du(r)∆u = 2r,r drdrд) Jν−1 (x) − Jν+1 (x) = 2Jν0 (x),е) Jν−1 (x) + Jν+1 (x) =2νJν (x).xv(r)vrr, тогда ∆u =(только в R3 );rrб) в полярных координатах на плоскости1 ∂∂u1 ∂2u;∆u =r+ 2r ∂r∂rr ∂ϕ2Обычно на практикеб) в цилиндрических координатах в пространстве1 ∂∂u1 ∂2u∂2u∆u =r+ 2+;2r ∂r∂rr ∂ϕ∂z 2Типичная спектральная задача: 2 1 d r dW (r) + λ − nW (r) = 0,r drdrr2|W (0)| < ∞,W (R) = 0.замена u(r) =в) в сферических координатах в пространстве1 ∂1∂∂u1∂2u2 ∂u∆u = 2r+ 2sin θ+ 2 2.r ∂r∂rr sin θ ∂θ∂θr sin θ ∂ϕ2ν = n ∈ Z+ ≡ {0, 1, 2, .

. . },причемJ−n (x) = (−1)n Jn (x).Спектр:λk = γ 2kRЦилиндрические функцииWk (r) = JnγkRr ,k = 1, 2, . . . ,Свойство ортогональности и нормы:x2 w00 (x) + x w0 (x) + (x2 − ν 2 )w(x) = 0.ZRrJnРешение:w(x) = C1 Jν (x) + C2 Nν (x).γ γ jr Jnr dr = 0,RRkγk 6= γj ,0 γ 2 ZRγ R2kkr ≡ rJn2r dr =(Jn+1 (γk ))2 .JnRR2При ν > 0 имеемlim |Jν (x)| < ∞,,γk ∈ Mn ≡ {γ > 0 : Jn (γ) = 0}.Уравнение Бесселя индекса ν ∈ R :x→0+0 < r < R,0lim |Nν (x)| = ∞.x→0+Ряд Фурье–Бесселя на (0, R):Запись функции Бесселя:Jν (x) =∞Xk=0k(−1)k! (k + ν)! x 2k+ν2f (r) ∼.Nν (x) =1Nn (x) =πJν (x) cos πν − J−ν (x),sin πνAk J nk=1Ak =Запись функции Неймана:∞X2γkRr ,ZRrf (r)JnR2 (Jn+1 (γk ))2γkRrdr.0ν∈/ Z,∂n ∂(Jν (x)) − (−1)(J−ν (x)) .∂ν∂νν=nУравнение Бесселя со спектральным параметром µ :r2 W 00 (r) + r W 0 (r) + (µ2 r2 − ν 2 )W (r) = 0.При µ 6= 0 решение имеет вид:W (r) = C1 Jν (µr) + C2 Nν (µr).Здесь γk , γj – положительные корни функции Jn (x).Полиномы ЛежандраPn (t) =1 dn 2(t − 1)n ,2n n! dtnn = 0, 1, 2, .

. . .Явная запись нескольких первых полиномов:P0 (t) = 1,P3 (t) =P1 (t) = t,1(5t3 − 3t),2P2 (t) =P4 (t) =1(3t2 − 1),21(35t4 − 30t2 + 3).8Обратные выражения:1 = P0 (t),t3 =t2 =t = P1 (t),1(3P1 (t)+2P3 (t)),5t4 =1(P0 (t) + 2P2 (t)),31(7P0 (t)+20P2 (t)+8P4 (t)).35Спектральная задача для уравнения Лежандра: d (1 − t2 ) dw(t) + λw(t) = 0,|t| < 1,dtdt|w(±1)| < ∞.Спектр: λn = n(n + 1), wn (t) = Pn (t), n = 0, 1, 2, . . .

.Свойство ортогональности:Z1Pn (t)Pk (t) dt =−10,n 6= k,2,2n + 1n = k.Рекуррентные соотношения:(n + 1)Pn+1 (t) − (2n + 1) t Pn (t) + nPn−1 (t) = 0,10P 0 (t) − Pn−1(t)2n + 1 n+1для n = 1, 2, 3, . . . .Pn (t) =Общий вид гармонической функции в шаре:u(r, θ) =∞XCk Pk (cos θ) r kk=0R,r < R,и вне шара:u(r, θ) =∞Xk=0Ck Pk (cos θ)Rrk+1,r > R,в случае зависимости от радиуса r и сферического угла θ..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов ответов (шпаргалок)