Д.В. Ховратович - Уравнения математической физики. Конспект лекций (2003) (1128005), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Из курса "Дифференциальные уравнения" известно, что: πn 2 λn =, n ∈ N – собственные значения.l Xn (x) = c1 sin( πn x), n ∈ N – соответствующие им собственные функции (c1 – некоторые константы).nnlПодставляя λn в (2.4), получим уравнения видаTn0 (t) + a2 λn Tn (t) = 0.Решением, очевидно, будет Tn = c2n exp{−a2 πn 2lt}. Объединив Xn (x) и Tn (t), получим:vn (x, t) = Xn (x)Tn (t) = cn sin( πn 2πnx) exp{−a2t}.llЗаметим, что все такие функции являются решениями уравнения теплопроводности (1) и удовлетворяют краевым условиям (2),(3).Определим функцию u(x, t) как сумму ряда:u(x, t) =∞Xvn (x, t).n=1Заметим, что она удовлетворяет краевым условиям, а в случае равномерной сходимости ряда из производных– и уравнению теплопроводности.

Подберем константы так, чтобы выполнялось начальное условие:φ(x) = u(x, 0) =∞Xvn (x, 0) =n=1Домножим равенство на sin(Zl0∞Xn=1cn sin(πnx).lπmx) (m – целое), сделаем замену переменной (x → s) и проинтегрируем по s:l∞Pπmφ(s) sin(s) ds =cnln=1Zlsin(πnπmx) sin(x) dx =llZlsin(0(0Zlφ(s) sin(πmπns) sin( s) ds.ll0, n 6= m;=⇒l, n = m.2πmls) ds = cm =⇒l20cm2=lZlφ(s) sin(πms) ds.l0Окончательно получаем формулу для u(x, t): lZ∞ πn 2X2πnπnu(x, t) =φ(s) sin( s) ds sin( x) exp{−a2t}.lllln=10Теперь докажем, что эта формула корректна.7(2.5)Теорема 2.1 (существования).

Пусть функция φ(x) такова, что φ(x) ∈ C 1 [0; l] и φ(0) = φ(l) = 0. Тогдаформула (2.5) определяет класс решений задачи [2.2].Доказательство. (1) Докажем сначала непрерывность полученной функции u(x, t) в QT . Легко видеть, чтоr ∞∞X2X|u(x, t)| 6|vn (x, t)| 6|φn |,l n=1n=1r Zl∞P2πnгде φn =φ(s) sin( s) ds. Понятно, что если мы докажем сходимость ряда|φn |, то получим (по приlln=10знаку Вейерштрасса) равномерную сходимость ряда∞P|vn (x, t)|.

Так как все функции vn (x, t) непрерывны, тоn=1и функция u(x, t) будет непрерывна, так как она определяется равномерно сходящимся рядом из непрерывныхфункций.Итак, преобразуем φn :φnr Zl2πn=φ(s) sin( s) ds = {интегрирование по частям} =ll0l r Z lr2 lπn 2lπn=−φ(s) cos( s) +φ0 (s)cos( s) ds =l πnl lπnl01n=Zlrl 0φ (s)π02πncos( s) ds.ll0ZlПусть φen =φ (s)0(rфункцийr02πncos( s) ds. Воспользуемся неравенством Бесселя для ортонормированной системыll)∞2πncos( s)ll:n=1∞Xn=1φe2n =∞XZlr φ0 (s)n=12Zl2πn2cos( s) ds6 (φ0 (s)) ds.ll0Теперь мы можем преобразовать нужный нам ряд0∞P|φn |:n=1∞X∞l X1 ea2 + b2l|φn | =|φn | 6 {ab 6}6πn2πn=1n=1∞∞XX1+φe2n2nn=1n=1!Первый ряд, как известно, сходится, сходимость второго мы только что показали.

Отсюда получаем сходи∞Pмость ряда из коэффициентов Фурье|φn | и, как было показано ранее, непрерывность функции u(x, t).n=1(2) Теперь покажем существование и непрерывность производных ut , uxx в QT . Покажем, к примеру, существование uxx для всех 0 < x < l, t0 < t < T , где t0 – произвольное положительное число. Из этого, очевидно,следует существование uxx в QT . Продифференцировав формально ряд (2.5), получим:r ∞X2πn πnπnuxx (x, t) =φn−( )2 sin( x) exp{−a2 ( )2 t}.lllln=18πn 2) t} дает нам равномерную сходимость мажорантного ряда наl∞Pt0 < t < T . Из этого следует равномерная сходимость ряда(vn )xx (x, t) и существование uxx (x, t) в QT .Легко заметить, что множитель exp{−a2 (n=1Непрерывность uxx (x, t) следует из непрерывности слагаемых ряда. Существование и непрерывность ut доказывается аналогично.(3) То, что функция u(x, t) удовлетворяет всем условиям [2.2], было показано во время ее построения.

Теорема доказана.2.4Принцип максимального значения для уравнения теплопроводностиРассмотрим множество QT = {(x, t) : (0; l) × (0; T ]}. Обозначим Γ = QT \ QT . Докажем, что функция u(x, t),удовлетворяющая уравнению теплопроводности, достигает своего максимального (и минимального) значенияименно на этой границе.Теорема 2.2 (принцип максимального значения). Пусть u(x, t) ∈ C[QT ], ut , uxx ∈ C[QT ] и ut = a2 uxx вQT . Тогдаmax u(x, t) = max u(x, t);ΓQTmin u(x, t) =QTmin u(x, t).ΓДоказательство.

Докажем первое утверждение. Предположим противное: пусть max u(x, t) = M и сущеΓствует точка (x0 , t0 ) ∈ QT такая, что u(x0 , t0 ) = M + ε, ε > 0. В этом случае определим новую функцию v(x, t)так:ε(t − t0 ).(2.6)v(x, t) = u(x, t) −2TεεОчевидно, что v(x0 , t0 ) = u(x0 , t0 ) = M + ε.

Кроме того, так как | (t − t0 )| 6 при t ∈ [0; T ], то2T2εε(t − t0 )} 6 M + .max v(x, t) = max{u(x, t) −ΓΓ2T2Отсюда следует, что существует внутренняя точка (x1 , t1 ), в которой v(x, t) достигает максимума. Согласнонеобходимому условию максимума дважды дифференцируемой функции,vt (x1 , t1 ) > 0;vxx (x1 , t1 ) 6 0,причем в первом случае строгое неравенство может иметь место только при t1 = T .Продифференцировав (2.6) по t, получим:ut (x, t) = vt (x, t) +ε.2TАналогично, после двойного дифференцирования по x получаем:uxx (x, t) = vxx (x, t).Из написанной выше системы неравенств следует, чтоut (x1 , t1 ) = vt (x1 , t1 ) +ε> 0 > a2 vxx (x1 , t1 ) = a2 uxx (x1 , t1 ),2Tчто противоречит уравнению теплопроводности.

Следовательно, предположение о существовании внутреннейточки максимума неверно, поэтому max u(x, t) = max u(x, t), и первое утверждение доказано.QTΓДля доказательства второго утверждения теоремы (принцип минимума) достаточно перейти от u(x, t) к функции w(x, t) = −u(x, t), которая принимает максимальное значение там, где u(x, t) принимает минимальное. Теорема доказана.9В приложении к краевым задачам принцип максимума выглядит следующим образом. Пустьut = a2 uxx , 0 < x < l, 0 < t 6 T ;u(0, t) = µ1 (t), 0 6 t 6 T ;u(l, t) = µ2 (t), 0 6 t 6 T ;u(x, 0) = φ(x),0 6 x 6 l.Тогда max u(x, t) = max{ max µ1 (t), max µ2 (t), max φ(x)}.

Это равенство имеет простой физическийt∈[0; T ]QTt∈[0; T ]x∈[0; l]смысл. Оно означает, что температура стержня не может быть выше температуры на его краях и в начальныймомент времени.2.5Единственность и устойчивость решения первой краевой задачи∂ 2 ui ∂ui,∈∂x2 ∂tC[QT ], i = 1, 2, причем они являются решениями одной и той же первой краевой задачи [2.1]. Тогдаu1 (x, t) ≡ u2 (x, t) в QT .Теорема 2.3 (единственности).

Пусть функции u1 (x, t), u2 (x, t) таковы, что ui ∈ C[QT ],Доказательство. Определим новую функцию v(x, t)и является решением такой краевой задачи:vt = a2 vxx ,v(0, t) = 0,v(l, t) = 0,v(x, 0) = 0,= u1 (x, t) − u2 (x, t). Тогда v ∈ C[QT ], vt , vxx ∈ C[QT ],0 < x < l, 0 < t 6 T ;0 6 t 6 T;0 6 t 6 T;0 6 x 6 l.Для функции v(x, t), очевидно, выполнены все условия принципа максимума.

Применяя его, получим:v(x, t) = 0; max v(x, t) = maxΓQT=⇒ v(x, t) ≡ 0 =⇒ u1 (x, t) ≡ u2 (x, t). min v(x, t) = min v(x, t) = 0.ΓQTТеорема доказана.Устойчивость решения первой краевой задачиЛемма 1. Пусть функции u1 , u2 (x, t) таковы, чтоui ∈ C[QT ],∂ 2 ui ∂ui,∈ C[QT ], i = 1, 2,∂x2 ∂tпричем∂ui∂tu1 (0, t)u1 (l, t)u1 (x, 0)∂ 2 ui,∂x2> u2 (0, t),> u2 (l, t),> u2 (x, 0),= a20 < x < l, 0 < t 6 T,0 6 t 6 T;0 6 t 6 T;0 6 x 6 l.Тогда u1 (x, t) > u2 (x, t) в QT .10i = 1, 2;Доказательство. Снова, пусть v(x, t) = u2 (x, t) − u1 (x, t). Легко видеть, что v ∈ C[QT ], vxx , vt ∈ C[QT ],причемvt (x, t) = a2 vxx (x, t);v(0, t) > 0,0 6 t 6 T;v(l,t)>0,06 t 6 T;v(x, 0) > 0,0 6 x 6 l.Воспользовавшись вторым утверждением принципа максимума, получим:min v(x, t) = min v(x, t) > 0 =⇒ u1 (x, t) > u2 (x, t), (x, t) ∈ QT .ΓQTЛемма доказана.Теорема 2.4 (устойчивости). Пусть функции u1 , u2 (x, t) таковы, чтоui ∈ C[QT ],∂ 2 ui ∂ui,∈ C[QT ], i = 1, 2,∂x2 ∂tпричем∂ui∂ 2 ui= a2 2 ,∂t∂xiui (0, t) = µ1 (t),ui (l, t) = µi2 (t),ui (x, 0) = φi (x),0 6 x 6 l, 0 < t 6 Ti = 1, 2;0 6 t 6 T,0 6 t 6 T,0 6 x 6 l,i = 1, 2;i = 1, 2;i = 1, 2.Тогда max |u1 (x, t) − u2 (x, t)| 6 max{ max |µ11 (t) − µ21 (t)|, max |µ12 (t) − µ22 (t)|, max |φ1 (x) − φ2 (x)|}t∈[0; T ]QTt∈[0; T ]x∈[0; l]Доказательство.

Снова введем функцию v(x, t) = u1 (x, t) − u2 (x, t). Тогдаv ∈ C[QT ],vxx , vt ∈ C[QT ],vt (x, t) = a2 vxx (x, t).Обозначив ε = max{ max |µ11 (t) − µ21 (t)|, max |µ12 (t) − µ22 (t)|, max |φ1 (x) − φ2 (x)|}, получим, чтоt∈[0; T ]t∈[0; T ]x∈[0; l]max |v(x, t)| 6 ε.ΓИз этого следует, что −ε 6 v(x, t) 6 ε на Γ. Применив лемму к парам функций (−ε, v(x, t)) и (v(x, t), ε),получим, что−ε 6 u1 (x, t) − u2 (x, t) 6 ε в QT .Теорема доказана.Полученное утверждение означает, что из близости исходных данных следует близость полученных решений.2.6 Единственность решения общей краевой задачиОбщая краевая задача формулируется так:ut = a2 uxx + f (x, t); 0 < t 6 T, 0 < x < l;α1 u(0, t) − α2 ux (0, t) = p(t);0 6 t 6 T;[2.3]β1 u(l, t) + β2 ux (l, t) = q(t);0 6 t 6 T;u(x, 0) = φ(x);0 6 x 6 l.11Здесь α1 , α2 , β1 , β2 – неотрицательные постоянные, причем требуется, чтобыα1 + α2 > 0;β1 + β2 > 0.Докажем единственность решения такой задачи.Теорема 2.5 (единственности).

Пусть в QT функции u1 , u2 (x, t) таковы, что∂ui∂x∂uideriv 2 ui x2 ,∂tui ,∈ C[QT ], i = 1, 2;∈ C[QT ], i = 1, 2,причем они являются решениями одной и той же задачи [2.3]. Тогда u1 (x, t) = u2 (x, t) в QT .Доказательство. Для доказательства единственности введем, как обычно, новую функцию v(x, t) = u1 (x, t)−u2 (x, t). Тогда, очевидно, v, vx ∈ C[QT ], vt , vxx ∈ C[QT ] и v(x, t) будет являться решением следующей краевойзадачи:vt = a2 vxx ; 0 < t 6 T, 0 < x < l;α1 v(0, t) − α2 vx (0, t) = 0;0 6 t 6 T;βv(l,t)+βv(l,t)=0;06 t 6 T;12 xv(x, 0) = 0;0 6 x 6 l.Умножив vt = a2 vxx на 2v и учтя, что 2vvt =∂ 2(v ), получим:∂t∂ 2(v (x, τ )) = 2a2 v(x, τ )vxx (x, τ ).∂τИз равенства функций следует равенство определенных интегралов:Z l Zt∂ 2(v (x, τ )) dτ dx = 2a2∂τ0 0Z l Ztv(x, τ )vxx (x, τ ) dτ dx,0 0причем в правой части мы можем поменять порядок интегрирования:Z l ZtZt Z l∂ 2(v (x, τ )) dτ dx = 2a2  v(x, τ )vxx (x, τ ) dx dτ.∂τ0 000Из начального условия следует, чтоZ l Zt∂ 2(v (x, τ )) dτ dx =∂τ0 0Zlv 2 (x, t) dx.0Внутренний интеграл в правой части (2.7) возьмем по частям:Zllv(x, τ )vxx (x, τ ) dx = v(x, τ )vx (x, τ )0 −0Zl(vx (x, t))2 dx.0Из краевых условий легко вывести, что0,0,v(l, t)vx (l, t) = − β1 v 2 (l, t), β2 0,0,v(0, t)vx (0, t) =α 1 v 2 (0, t),α212если β1 = 0, β2 > 0;если β1 > 0, β2 = 0;,если β1 > 0, β2 > 0.если α1 = 0, α2 > 0;если α1 > 0, α2 = 0; ,если α1 > 0, α2 > 0.(2.7)для любых t ∈ [0; T ].Из этого следует, что если обозначитьlP (τ ) = v(x, τ )vx (x, τ )|0 = v(l, τ )vx (l, τ ) − v(0, τ )vx (0, τ ),то P (τ ) 6 0, ∀τ ∈ [0; T ].Тогда равенство (2.7) можно переписать так:Zl22Ztv (x, t) dx − 2a02Zt Z lP (τ ) dτ + 2a0vx2 (x, τ ) dx dτ = 0.0 0Первое и третье слагаемые, очевидно, неотрицательны; неотрицательность второго следует из неположительности подынтегральной функции.

Характеристики

Список файлов лекций