Д.В. Ховратович - Уравнения математической физики. Конспект лекций (2003) (1128005), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Все утверждения верны и для задач с краевыми условиями второго рода:vx (0, t) = 0;vx (l, t) = 0.– это ничего не меняет в доказательстве, кроме способа доказательства равенства нулю внеинтегрального слагаемого, а также верны для краевых условий смешанного вида.504.7Задача с данными на характеристиках. Эквивалентная система интегральныхуравненийРассмотрим следующую задачу: (1) uxy (x, y) = a(x, y)ux (x, y) + b(x, y)uy (x, y) + f (x, y, u(x, y)), 0 < x < l1 , 0 < y < l2 ;(2)u(x, 0) = φ(x), 0 6 x 6 l1 ;[4.4](3)u(0, y) = ψ(y), 0 6 y 6 l2 .Эта задача с нелинейным уравнением гиперболического типа называется задачей Гурса.

По данному ранееопределению характеристиками уравнения (1) будут функции, удовлетворяющие уравнениюdx dy = 0.Это дает семейство прямых вида x = const, y = const. Таким образом, наша функция u(x, t) задаетсяданными на характеристиках x = 0, y = 0.Определение. Функция u(x, y) называется решением задачи [4.4], если u(x, y) ∈ C 2 {[0; l1 ] × [0; l2 ]} иудовлетворяет условиям (1)-(3).Докажем существование и единственность решения данной задачи в несколько этапов. Сначала покажем,что задача [4.4] эквивалентна некоторой системе нелинейных интегральных уравнений.Пусть функция u(x, y) – решение задачи [4.4]. Тогда, интегрируя уравнение (1) сначала по y, а потом по x,получимZyux (x, y) = ux (x, 0) +Zya(x, η)ux (x, η) dη +0Zyb(x, η)uy (x, η) dη +0Zx Zyu(x, y) = u(0, y)+u(x, 0)−u(0, 0)+f (x, η, u(x, η)) dη;0Zx Zya(ξ, η)ux (ξ, η) dη dξ+0 0Zx Zyb(ξ, η)uy (ξ, η) dη dξ+0 0f (ξ, η, u(ξ, η)) dη dξ.0 0(4.7)Введем две новые функцииv(x, y) = ux (x, y);w(x, y) = uy (x, y).Тогда, используя начальные условия (2)-(3), уравнение (4.7) можно переписать в видеZx Zyu(x, y) = ψ(y) + φ(x) − φ(0) +Zx Zy[a(ξ, η)v(ξ, η) + b(ξ, η)w(ξ, η)] dη dξ +0 0f (ξ, η, u(ξ, η)) dη dξ.(4.8)0 0Продифференцировав по x, получимZy0v(x, y) = φ (x) +Zy[a(x, η)v(x, η) + b(x, η)w(x, η)] dη +0f (x, η, u(x, η)) dη.(4.9)f (ξ, y, u(ξ, y)) dξ.(4.10)0Аналогично, по y:0Zxw(x, y) = ψ (y) +Zx[a(ξ, y)v(ξ, y) + b(ξ, y)w(ξ, y)] dξ +00Итак, если u(x, t) – решение задачи [4.4], то существуют функции v(x, t), w(x, t), удовлетворяющие уравнениям (4.8)-(4.10).

Обратно, из существования непрерывных функций u, v, w, являющихся решениями уравнений (4.8) - (4.10), следует, что v = ux ; w = uy . Также непосредственным дифференцированием можно убедиться, что функция u(x, t) будет являться решением задачи [4.4].514.8Существование решения задачи с данными на характеристикахТеорема 4.5 (существования). Пусть выполняются следующие четыре условия:1. a(x, y), b(x, y) ∈ C{[0; l1 ] × [0; l2 ]}2.

f (x, y, p) ∈ C{[0; l1 ] × [0; l2 ] × E} – то есть мы заменили функцию u(x, y) переменной p, принимающей любые значения.3. |f (x, y, p1 ) − f (x, y, p2 )| 6 L|p1 − p2 |, ∀x ∈ [0; l1 ], ∀y ∈ [0; l2 ], ∀p1 , p2 ∈ E – условие Липшица по p.4. φ(x) ∈ C 1 [0; l1 ], ψ(y) ∈ C 1 [0; l2 ], φ(0) = ψ(0).Тогда существует решение задачи [4.4].Доказательство. Так как [4.4] эквивалентно (4.8)-(4.10), докажем, что существуют непрерывные функцииu(x, y), v(x, y), w(x, y), удовлетворяющие (4.8)-(4.10). Найдем эти функции последовательностью итераций, аитерационный процесс построим следующим образом:u (x, y) = v0 (x, y) = w0 (x, y) = 0; 0Zx ZyZx Zyf (ξ, η, un (ξ, η)) dη dξ;un+1 (x, y) = ψ(y) + φ(x) − φ(0) +[a(ξ, η)vn (ξ, η) + b(ξ, η)wn (ξ, η)] dη dξ +0 00 0ZyZyvn+1 (x, y) = φ0 (x) + [a(x, η)vn (x, η) + b(x, η)wn (x, η)] dη + f (x, η, un (x, η)) dη;00ZxZx w0[a(ξ, y)vn (ξ, y) + b(ξ, y)wn (ξ, y)] dξ + f (ξ, y, un (ξ, y)) dξ.n+1 (x, y) = ψ (y) +00Докажем сходимость этого процесса.

Для этого оценим разность между членами последовательностейun , vn , wn . Из определения итерации для un и условия (3) теоремы следует, чтоZx Zy|un+1 − un | 6[|a(ξ, η)||vn (ξ, η) − vn−1 (ξ, η)| + |b(ξ, η)||wn (ξ, η) − wn−1 (ξ, η)|] dη dξ+0 0Zx Zy+L|un (ξ, η) − un−1 (ξ, η)| dη dξ.0 0Пусть M = max{max |a(x, y)|, max |b(x, y)|, L} при (x, y) ∈ {[0; l1 ] × [0; l2 ]}. ТогдаZx Zy|un+1 − un | 6 M[|vn (ξ, η) − vn−1 (ξ, η)| + |wn (ξ, η) − wn−1 (ξ, η)| + |un (ξ, η) − un−1 (ξ, η)|] dη dξ. (4.11)0 0Аналогично, для функций vn , wn :Zy|vn+1 − vn | 6 M[|vn (x, η) − vn−1 (x, η)| + |wn (x, η) − wn−1 (x, η)| + |un (x, η) − un−1 (x, η)|] dη;(4.12)0Zx|wn+1 − wn | 6 M[|vn (ξ, y) − vn−1 (ξ, y)| + |wn (ξ, y) − wn−1 (ξ, y)| + |un (ξ, y) − un−1 (ξ, y)|] dξ.052(4.13)Заметим, что все элементы итерационного процесса – непрерывные функции.

Из этого следует, что функции|u1 |, |v1 |, |w1 | ограничены некоторой константой H. Из определения нулевых членов последовательности получаем, что|u1 − u0 | 6 H; |v1 − v0 | 6 H; |w1 − w0 | 6 H.Используя это, оценим разности следующего порядка:Zx Zy|u2 − u1 | 6 M3H dξ dη = 3HM xy 6 3HM(x + y)2;20 0Zy|v2 − v1 | 6 M3H dη = 3HM y 6 3HM (x + y);0Zx|w2 − w1 | 6 M3H dξ = 3HM x 6 3HM (x + y).0Для доказательства равномерной сходимости наших последовательностей нам надо будет построить некиймажорантный ряд, но сначала докажем следующую оценку:(x + y)n;n!(x + y)n−1|vn (x, y) − vn−1 (x, y)| 6 3HM n−1 K n−2;(n − 1)!|un (x, y) − un−1 (x, y)| 6 3HM n−1 K n−2|wn (x, y) − wn−1 (x, y)| 6 3HM n−1 K n−2(x + y)n−1,(n − 1)!где K = 2 + l1 + l2 .Доказательство проведем по индукции.База индукции.

При n = 2 оценка верна – доказано выше.Предположение индукции. Предположим, что она верна для n. Докажем ее для n + 1.Индуктивный переход. Оценим разность |un+1 − un |, используя предположение индукции:Zx Zy (ξ + η)n−1(ξ + η)n|un+1 − un | 6 M3HM n−1 K n−2+ 2 · 3HM n−1 K n−2dξ dη 6n!(n − 1)! 0x 0ZZxn+1 yn y(ξ + η) dξ + 2 (ξ + η) dξ  .6 3HM n K n−2 (n + 1)! 0n! 000Вычислим интегралы, при этом при подстановке пределов интегрирования в первообразную отбросим нижние подстановки.

Их слагаемые отрицательны, поэтому для исходной разности получаем такую оценку сверху:n+2n+1(x + y)n+1x+yn n−2 (x + y)n n−2 (x + y)|un+1 − un | 6 3HM K+2= 3HM K+2 6(n + 2)!(n + 1)!(n + 1)!n+26{x+y(x + y)n+1+ 2 6 l1 + l2 + 2 = K} 6 3HM n K n−1.n+2(n + 1)!Итак, предположение индукции для последовательности un доказано. Доказательство оценки для остальных53двух последовательностей будет похожим:Zy nn−1n−1 n−2 (ξ + η)n−1 n−2 (ξ + η)dη 6|vn+1 − vn | 6 M3HMK+ 2 · 3HMKn!(n − 1)!06 { отбрасывание отрицательных слагаемых } 6(x + y)n+1(x + y)n(x + y)n x + y6 3HM n K n−2+2= 3HM n K n−2+2 6(n + 1)!n!n!n+16 3HM n K n−1(x + y)n.n!Следовательно, и вторая оценка верна.

Доказательство третьей оценки совершенно аналогично доказательству второй, поэтому опускается.Теперь докажем равномерную сходимость последовательностей un , vn , wn . Очевидно, что каждый член такой последовательности можно представить как частичную сумму соответствующего ряда:un (x, y) =vn (x, y) =wn (x, y) =nP(um (x, y) − um−1 (x, y));m=1nP(vm (x, y) − vm−1 (x, y));m=1nP(wm (x, y) − wm−1 (x, y)).m=1Для оценки слагаемых первого ряда мы доказали оценку:|un (x, y) − un−1 (x, y)| 6 3HM n−1 K n−2(l1 + l2 )nan(x + y)n6 3HM n−1 K n−2=C ,n!n!n!C, a = const.anсходится – отсюда по признаку Вейерштрасса получаем равномерную схоn!n=1димость последовательности un . Из непрерывности слагаемых следует непрерывность предельной функции:Известно, что ряд вида∞PCun (x, y) ⇒ u(x, y) ∈ C{[0; l1 ] × [0; l2 ]}.Аналогично, для двух других последовательностей:vn (x, y) ⇒ v(x, y) ∈ C{[0; l1 ] × [0; l2 ]};wn (x, y) ⇒ w(x, y) ∈ C{[0; l1 ] × [0; l2 ]}.Теперь мы имеем право перейти в записи итерационного процесса к пределу при n → ∞.

При этом получимв точности уравнения (4.8)-(4.10), а это и означает существование функций u, v, w, являющихся решением этойсистемы уравнений. Из предположения эквивалентности этой системы уравнений исходной задаче на характеристиках [4.4] получаем, что теорема полностью доказана.4.9Единственность решения задачи с данными на характеристикахИтак, мы доказали существование решения задачи [4.4]. Теперь докажем его единственность – очевидно, этоэквивалентно единственности решения системы интегральных уравнений (4.8)-(4.10).Теорема 4.6 (единственности).

Пусть существуют две системы функций: {u1 (x, y), v1 (x, y), w1 (x, y)},{u2 (x, y), v2 (x, y), w2 (x, y)}, являющиеся решениями системы интегральных уравнений (4.8)-(4.10),причем выполнены условия (1)-(4) теоремы 4.5 (существования решения задачи [4.4]). Тогда функцииU (x, y) = u1 (x, y) − u2 (x, y), V (x, y) = v1 (x, y) − v2 (x, y), W (x, y) = w1 (x, y) − w2 (x, y)тождественно равны нулю в Πl1 l2 = {[0; l1 ] × [0; l2 ]}.

Характеристики

Список файлов лекций