Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 41
Текст из файла (страница 41)
+со +ш 2! %1 ссвЛ„хппаЛ«! 2! %1 созЛ„хМпЛ а! « (о 1 Где ? а- положительные корни уравнения Л 10 Л( =и, ОтВБТЫ, РКАЗАИИя Н РИШЕНИя 111. Решением краевой задачи «и= 'в„, О<х<1, О<1<+со, и (О. 1) — )щ(О, 1)=О, «„(1, 1)+йи(1, 1)=О, 0<1<+ в(х, 0)=1р(х), вг(х, 0)=ф(х), 0<х<1, (1) (2) (3) является: +СО и(х, 1)= ~', (ел сова)лг+Ьл миаЛ„() мп(Л„х+1рл), (4) где ˄— собственные значения краевой задачи Х" (х) + ЛеХ (х) = О, 0 < х < 1, Х' (О) — ДХ (О) = О, Х' (!) +АХ (1) = О. а Х„(х)=ап (Л„х-(-1р„) — собственные функнии этой краевой задачи ютсн корнями урзвнейня (б) (6) (б') Л вЂ” явля- с!2 Л! = — ~ — — — 71, ! 1Л 6! =2 '(! Лу' (7) Л„ 1р„= агс!Е— И (3) Квадрат нормы собственной функпин Х„(х) равен (Л„+Аз) !+2Д )Хл)(з= ') мп (Л„х+фл)дх= 2 (ба+ Л„') о поэтому (РО) Подставляя (!2) в граничное условие (6').
получим1 «ОХ(' Л' +АХ(, Л) ~ =С,~ОХ(х' Л) +АХ(, Л)~ О, так как С ~ О, иначе (!2) было бы тривиальным решением, то (13) 2 (Л„'+ Ьэ) ол= 1Р(2) з1п (Ллз+1ул) '!2 ( л+й5! +20 а 2(Л„+й) Ь =оЛ (Л.+й)1+2,ЛА ~ф(2) (Л~+Ь)Д2. у к аз а н н я. !) Уравнение (7) э1ожат быть получено следунхцим образом, Иэ общего решения уравнения (5) Х„(х) = С, соз Лх+ С, мп Лх, удовлетворяя граничному условию (6), получим: Х (х, Л) =Се( — сааЛх+з!п Лх(=Сэ)((х, Л).
1Л з!Л П. ХРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА После подстановки явного выражении Х (х, Л) — с Лх+ мп Ь Х А (13) преобразуется в уравнение П) 1 га 61 с(Е "А( — 11 — — — (. 2(Ь А/ Это уравнение приблизительно можно решать графически *). Подставляя в (12) вместо А собственное значение Аа, получим соответствую. шую собственную функцию Ха (х) СзХ (х Ха). (13') Рнс.
30. множителя См Этот множитель можно выбрать так, чтобы функция Х„(х) имела вид Х„(х) Х (х„3,а) мп (дах+ фа), (14) где фа агс(Е— )а й (! 4'1 Полагая М=С, получим 12$ Ж( с(3 3 = — 11 — — — 1. 2 (В (15) Обозначая через $т, $т, ..., Еа, ... абсциссы точек пересеченяя котангенсоиды ' *1 1' 3 (д 1 ч) сЩ и гиперболы ц — 11 — — — ~, получим А — (рис. 30) 2(и В~ ' " 1 ) О решении трансцендентного уравнения с любой степенью точности см.
(Ц, стр. 204. 8 В. М. Будах в Лр. Таким образом собственная функция определяЕтся с точностью де постоянногО ОТВЕТЫ. ИЦАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 2) Квадрат нормы собственной функции (9) может быть найден непосредственным интегрированием г 1Хл(т =$ з(пя(Лл. + рл) бх (16) о либо переходом к пределу прн Л-ьЛл в равенстве Хл(1, Лл) Х(1. Л) — Лл(1, Л)Х(1, Лл) ЛЯ вЂ” Л Раскрывая неопределенность в правой части (17) прн Л-оЛл, получим: г ~ХЯ,Л)б )л Х (1, Лл)ХЛ(1, )„) — Хла(1, ),л)Х(Ц Лл) ХЯ(х, Л„) х ' 2Л ' ". (16) я Равенство (17) получается из равенств Х'(т, Л)+ЛЯХ(х, Л)=0, Х'(Х, Лл)+ЛлХ(х, Лл)=0 умножением первого нз них на Х(х, Лл), второго — на Х (х, Л), вычитапием результатов н последующим интегрированием по частим.
г!ри вычисленпн интеграла (16) илв правой части равенства (18) необходимо воспользоваться граничным условием (6). Замечание. Уравнение (7) может быть переписано в виде !и Ло(= Лл Ья ° 2ЛлЬ (!9) л Прн Ь-а-0 (свободные ионцы) из (191 получим: !Ьп 10Лл1=0. л с Из (14') и (14) найдем 1пп ф„= —, 1пп Хл(х)=зш(Ллх+ — ), следовательно, и / л! а я 2 а о л ( 2)' Лллл —, л=О, 1, 2, ллл 1 Хл(х)=соя —, л=О, 1, 2, ... лпх 1 Эгог результат был яолучеи непосредственно при решении задачи 105. При Ь-ьсо (концы фиксированы) нз (19) получим: !пп (ЕЛ„(=О. а оо Из (14') н (14) найдем: 1(гп ~р„=О, !(ш з1п(Ллх+~рл) Мп Л х, а о» а оо Следовательно, Хл (х) = з(п — . лпх Зтот результат был также получен непосредственно при решении задачи 97, П, УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО 1ИПА 112.
Решением краевой задачи исс а'и„„, О~х(1, О(с ~+«х~ и (О, С) — Ьси(0, С)=0, и [1, С)+Ьгсс(1, С)=О, О <С(+оз, и1х, 0)=ср(х), и, [х, 0)=ф(х), Ок(1, [1) (й (3) явлиетси (4) ($) (6) (3) (1) [2) Р) является + ов 2пла[,, 2пла[1 2плх и[х с)= а' сон — +Ь' мп — сссм — + в=о + оо + Х 1а..-'~+Ь: «=! 2 Г 2плг 2 Г, у!им а,', — ~ ср (г) Ом — с[г, а„= — ср (г) з[п — с[г, с 1 Г ссв ) ф (г)ссгг о ! Г 2плг . 1 Г, 2плг Ь' — ф(г) соа — аг, Ь = — ф (г) мп — с[г лпа ~ в= лпа1 л~ 1, 2, 3, ..., 1, 2, 3, 1 Ье= Ф (г) с[г + со и [х, 1) 4, '(а„с!май„[+Ь„вп сй„[) з!п[ймт+ев), в=! где Ав †собственн значениа кРаевой задачи Х (х)+АтХ[х) О, О~к~[, Х' (0) — ЬсХ (0) =О, Х' [1)+ЬсХ (1) О.
Собственные значении ивляются корнями уравнения с И )Р— Ьсйг '[Е"=) ~С,+ з)" а Х„(х)=ми [Хвх+фв)-соотвегствуюшие собственные фунинин, где ~~» р„= агс[2--. 6,' [[наврат нормы собственной функции равен )ХвГ- Хв(х) йс ' 1+ '+"сй.)(Ь,+Ь~)~ „р„~1 р о 113. Решением краевой задачи ии=аи„х, О~Х(!. О(!С+СО, 1=2ПСС, и(0, С)=и(1, С), и„[0, С)=и (С, С), 0(с <+со, и(х, О)=ср(х), ис(х, 0)=ф(х), О (х~[, ОТВЕТЫ.
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Указание. Подставляя общее решение Х (х]=Асоздх+В г]пЛх урзв. пения Х (х)+ЛзХ (х]=0 в граничные условия Х (0)=Х (1), Х'(0) Х'(1) и приравнивая нулю определитель полученной системы уравнений относительно А и В. найдем трансцендентное уравнение для определения собственных зна2пл чений. Собственными значениями оказываются Л„= — причем подстановка л= 1 г в уравнения для определения А и В значения Л„ обращает зги уравнения в тождества при любых А н В. Следовательно, каждому собственному значению Ли соотвептвуют две линейно независимые собственные функции с!м Л„х 2лл и мп Лиж так как Л„= —, то все собственные функции артогональны на отрезке О ~к~1 ~).
В случае. когда одному и тому же собственному зиа ению соответствуют д линейно независимых собственных функций, зто собственное значение называется Ф-кратным. Таким образом все собственные значения рассматриваемой задачи двукратны. ! (4. У к а з а н и е. Полная энергия струны 0 ~ х « 1 в случае граничных Условий тРетьего Рада иг(0, 1] — Ьи(О, 1) О.
их(1. 1)+Йи(1, 1)=0 выРажается следующим образом (проверьте зто): ! Е(1) = —, ~ [Т и" (г, 1]+Ри[(г, 1][ !]г+ — (и (1, 1)+ из (О, 1)), з В случае граничных условий первого и второго рода ! ! Р Е(В= У ~ [Узи" (г. В+Ригз(г, 1))г(г (см. [7[, стр. Вй). Выражая знергию полного колебания струны +ш + СО и (х, 1] ~ , '(Ги(х„г) ~ Т„(1) Х„(х), и =! и=! где Х„(х) — собственные функции соответствующей краевой задачи, используя ортогойальнасть собственных функций, а также граничные условия, нетрудно показать, что в случае граничных усзовий первого, второго и третьего рода + СО Е(!) ~~ Еи (В и ! где в случае граничных условий первого и второго рода Е„(1]- 2- ~ [т,и~ (г, 1)+Ри. (г. 1)[бг„ а *) Ортогональность собственных функций, соответствующих различным собственным значениям, вытекает вз обшей теории, а ортогональность с!ив 2!тих 2плх в з]п — на отрезке Озал!ь,! проверяется непосредственным вычислением иитегрз,яа.
11$. Решениями краевых задач соответственно явлиются: а) б) где Х„(х) (зЬ Л„Е вЂ” з(п ).«Е) (сЬ Л«х — ссн Л«х) — (сЬ Л«Е вЂ” соа Л„Е) (зЬ Л„х — ип Л х), а )«являются неотрицательными корнямн уравнения сЬЛ(ссиЛЕ 1; + «» в) и(х, Е)= ~ (а„созаЛ«Е+Ь«ип аЛ«Е) Х«(х), «=с где Х„(х) = (аЬ Л«Е вЂ” зш Л„Е] (сЬ Л„х + соз Л„х) — (сЬ Л„Е вЂ” соз Л«Е) (сЬ Л«х+ з(п Л«х)с а Л«являются неотрицательными корнями трансцендентного уравнения сЬЛ(созЛЕ 1. 3 а м е ч а н и я. 1) Ортогональность собствениык функций устанавлив.итси следующим образом.
Умножая уравнение Х«(х) — Л«Х„(х) 0 на Хм (х), а уравнение Х (х) — Л Х (х) О на Х„(х), вычитая результаты и внтегрируя по частям, получимс Хж (х) Х„(х) с(х (Х«» [х) Х«(х) — Х«(х) Хм (х) Х»«(х) Ха (х)+Ха(х)Х«с (х)) 1« е 4 4 а П. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА в в случае граничиык условий третьего рода »,ур ' ')1»и « ~»»»»4«,»ф«»~~и»иь»»»«с»ц»». ил+а'и„„„„=В, 0»цх~Е„О(Е(.(-со. и(х, 0) ср(х), ис(х, 0)=ф(х), 0~1~.(-со„ и(0, Е)=и(Е, Е)=их«(0, Е) ихх(Е, Е)=0, 0«- Е --~-со, и (О, С) = и (Е. Е) = и„(0, Е) = и„(Е, Е) = О, 0 С Е (+со, и„„(О, Е)=и„„(Е, Е)= (О, Е)=и„„„(Е, Е)=О. О~с~+ о + О» лзизас азиз а('» лих и(х.
Е)= ~ ~а«соз — +Ь зсп — Есз1п— Ез «Ес Е ° «=с с плг 21 С', лих ср(х)ап — ссх. Ь = — ~ ф(х)аш — ссх, л 1. 2, 3...„ льлза,) о + «» и(х. Е) ~ (а«омаЛ«Е+Ь„аш аЛлЕ)Х„(х), (1) (2) (За) (Зб) (Зв) ответы, уклзлния и решения откуда непосредственно следует равенство Х (х ) Х„ (х) г(х = О, гл чь и, при граничньж условиях (За).
(Зб), (Зв) или получающихся комбинировзннем (За) на одном конце и (Зб) на другом и т, д. 2) Для вычисления квадрата нормы собственной функции Х„(х) мои'но поступать аналогично тому, как вго было сделано в указании к задаче !11; тогда получится следующая формула*) (знзлогичная формуле (18) решений задзчи 11!)! Хл(х)пх= — «Хл(1) — 2Хл (ЛХл(1)+Хл (1]~» 4 откуда в случае (Зб) Хл (х) г(х — Хл (1) Я з 4 з и в случае (Зв) Хл(х) йх= — Хл(1) г 1 з 4 с 116.
Если колебания стержня вызваны ударным импульсом 1 в точке х хз, то в ответе предыдущей задзчи будем иметь: 211 мп— ппхл 1 а) а„=о, Ьл= пзпеар 0 ! !1Хл (хз) )Ол л= аЬ~Х»' (1) в) нл 0' ~л г л 41Х„(хз) а)лХл (1) 2. Свободные колебания в среде с сопротивлением Если колебзиня струны или продольные колебания стержня происходят в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, то уравнение колебз. ний имеет вид**) им=оч脄— 2чим т) О, (1) (2) (2') «) См. А.
Н. К ры лов, Собрание трудов, т, 1И, ч, 2, изд. АН СССР 1649, стр. 202 — ЮЗ. *ь) См. задачу 15, а граничные условия записывзются так же, кзк н в случае колебаний в среде без сопротивления, Ззписывая граничные условия в виде аги (О, 1)+(3 и(0, 1)=0, О С1 С+со, а,~„(1, 1)+бе~(1, 1)=О, 0~1~+ и. уРАВнения ГипеРБОлическОГО тгипн отличающееся членом 2юТл(!) от соответствующего уравнения в баннй в среде без сопротивления. Его общее решение нмеет внд Т„(Г]=(ал сй вл(+Ь„зй влт) е "', ) ~ тг =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
