Справочник - Специальные функции (1127883), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [0, R]Опр. 3.5. Через M мы будем обозначать следующий класс функций:Lν (u)√ ∈ L2 (0, R).ru(r) ∈ C 2 (0, R];Задачей Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [0, R] мы будем называтьзадачу:Найти числа λ и функции 0 6≡ u(r) ∈ M из условий:20 0r ∈ (0, R), ν > 0;) + νr u = λru, −(ruu(0+) < ∞;(3.27)0αu(R) + βu (R) = 0,α, β > 0, α + β > 0.При этом функции u 6≡ 0 называются собственными функциями задачи ШтурмаЛиувилля, а числа λ – собственными числами задачи Штурма-Лиувилля.Теорема 3.7.1) Все собственные числа задачи Штурма-Лиувилля неотрицательны и кратности 1.2) Число λ = 0 есть собственное число задачи Штурма-Лиувилля тогда и толькотогда, когда ν = α = 0, и ему соответствует собственная функция u(r) ≡ const.Теорема 3.8.
Все положительные собственные числа задачи Штурма-Лиувилля и соответствующие им собственные функции имеют вид:µ rh µ i2kk,Jν,k ∈ N,λk =RRгде µk – положительные корни уравненияαR Jν (µ) + βµJν0 (µ) = 0.-10-СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИТеорема 3.9.1) Функция√r ϕ(r) разлагается в ряд Фурье на интервале (0, R)√r ϕ(r) =1αk = 21Jν0 (µk ) + 12 1 −2∞Xµ r√k,αk r JνRk=11··2ν22 (µ ) RJkν[µ ]2k(3.28)ZRrϕ(r)Jνµ rkdr,R0где µk – положительные корни уравненияαR Jν (µ) + βµJν0 (µ) = 0.√2) В случае α = ν = 0, функция r ϕ(r) разлагается в ряд Фурье на интервале (0, R)√2α0 = 2R∞µ rX√√kr ϕ(r) = α0 r +,αk r J0Rk=1ZRrϕ(r)dr,02αk = 2J1 (µk ) + J0 (µk )| {z }1· 2·2 R(3.29)ZRµ rkrϕ(r)J0dr.R0=0где µk – положительные корни уравнения J1 (µ) = 0.√Заметим, что в формуле (3.28) можно (и нужно) сократить на r. Зачем же его писать?Это делается для того, чтобы разлагаемая функция, даже если она будет неограничена вокрестности нуля, попал в нужный класс, то есть в класс функций, для которых справедливатеорема Стеклова, и ряд (3.28) сходился равномерно даже в окрестности нуля.4.
Сферические функции4.1. Полиномы ЛежандраОпр. 4.1. Уравнение Лежандра:d2 dy(t)(1 − t )+ λy(t) = 0,dtdtt ∈ (−1, 1).(4.1)Заметим, что точки t = ±1 являются особыми для данного уравнения, – старший коэффициент уравнения в этих точках обращается в ноль.Большинство решений (4.1) в t = ±1 уходит в бесконечность. Однако физический интереспредставляют решения, ограниченные на всем отрезке t ∈ [−1, 1]. Таким образом, возникаетспектральная задача: hi+ λy(t) = 0,t ∈ (−1, 1); dtd (1 − t2 ) dy(t)dt(4.2) y(±1) < ∞.-11-СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИСвойства спектральной задачи (4.2) описывает теорема:Теорема 4.1. Пусть ограниченная функция y(t) 6≡ 0 есть решение уравнения (4.1). Тогда1) λ = n(n + 1), где n = 0, 1, 2, . .
. ;2) функция y(t) является полиномом степени n, называемым полиномом Лежандра, иможет быть найдена по формуле Родрига:y(t) = Pn (t) =Теорема 4.2 (Рекуррентные формулы).n 1dn 2·t−1.2n n! dtn(4.3)Имеют место следующие соотношения:основные:(n + 1)Pn+1 (t) − (2n + 1) t Pn (t) + nPn−1 (t) = 0,100Pn (t) =Pn+1(t) − Pn−1(t) ,2n + 1n > 1;(4.4)n > 1;(4.5)n > 1;n > 1;n > 1.(4.6)(4.7)(4.8)дополнительные:0Pn−1(t) = t Pn0 (t) − nPn (t),00Pn0 (t) = t Pn−1(t) + nPn−1(t),20(1 − t )Pn (t) = nPn−1 (t) − n t Pn (t),Кроме приведенных формул, также весьма полезны следующие соотношения:Pn (−t) = (−1)n Pn (t),P2m+1 (0) = 0,Pn (−1) = (−1)n ,n > 1;m(−1) (2m)!P2m (0) =,m > 0.22m (m!)2Pn (1) = 1,(4.9)(4.10)Выпишем первые несколько полиномов Лежандра:5t3 − 3t3t2 − 1,P3 (t) =;2235t4 − 30t2 + 363t5 − 70t3 + 15tP4 (t) =,P5 (t) =;88231t6 − 315t4 + 105t2 − 5P6 (t) =,...16P0 (t) = 1,P1 (t) = t,P2 (t) =(4.11)(4.12)(4.13)Приведем также первые несколько выражений стандартных полиномов вида tk через полиномы Лежандра:111 = P0 (t),t = P1 (t),t2 =P0 (t) + 2P2 (t) ,t3 =3P1 (t) + 2P3 (t) ;(4.14)351 1 t4 =7P0 (t) + 20P2 (t) + 8P4 (t) ,t5 =27P1 (t) + 28P3 (t) + 8P5 (t) .(4.15)3563-12-СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИТеорема 4.3 (Разложение в ряд по полиномам Лежандра).f (t) ∈ C 2 [−1, 1] разлагается в следующий ряд Фурьеf (t) =∞Xfk Pk (t),k=02k + 1fk =2Z1f (t)Pk (t)dt,t ∈ [−1, 1].(4.16)−1При этом ряд (4.16) сходится к f (t) равномерно на всем сегменте [−1, 1].Теорема 4.4 (Разложение в ряд по полиномам Лежандра от косинусов).F (θ) ∈ C 2 [0, π] разлагается в следующий ряд ФурьеF (θ) =∞Xk=0Fk Pk (cosθ),2k + 1Fk =2ZπF (θ)Pk (cos θ) sin θdθ,θ ∈ [0, π].(4.17)0При этом ряд (4.17) сходится к F (θ) равномерно на всем сегменте [0, π].4.1.1.
Общий вид гармонической функции, не зависящей от ϕВ случае, когда гармоническая функция u(r, θ, ϕ) не зависит от угла ϕ, имеют место следующие представления этой функции:• в шаре радиуса R, то есть при r < R:u(r, θ) =∞XAn Pn (cos θ)n=0 r nR• вне шара радиуса R, то есть при r > R: n+1∞XRu(r, θ) =Bn Pn (cos θ)rn=0• в шаровом слое, то есть при R1 < r < R2 :∞∞XXPn (cos θ)nBnu(r, θ) =An Pn (cos θ) r +rn+1n=0n=0(4.18)(4.19)(4.20)Опр.
4.2. Функции Pn (cos θ) называются сферическими, более точно зональными сферическими функциями порядка n.Функции Pn (cos θ) rn называются шаровыми функциями порядка n. В декартовых координатах шаровые функции представляют собой однородные гармонические полиномы от (x, y, z)степени n:Xun (x, y, z) =ap,q,s xp y q z s ,∆un = 0.p+q+s=nPn (cos θ)мы будем называть внешними шаровыми или внешаровыми функциrn+1ями порядка n.Функции-13-СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ4.1.2. Производящая функцияМногие свойства полиномов Лежандра удобно доказывать, ипользуя следующее разложение:∞X1√=Pn (t)rn ,1 − 2rt + t2n=0|r| < 1,∀t ∈ [−1, 1].(4.21)В данном случае Pn (t) – коэффициенты ряда, а функция левой части имеет свое название:Опр.
4.3. Функция √1называется производящей функцией для полиномов1 − 2rt + t2Лежандра.4.2. Присоединенные функции ЛежандраЗдесь мы будем рассматривать следующее уравнение: m2d2 dy(t)(1 − t )+ λ−y(t) = 0,dtdt1 − t2t ∈ (−1, 1).(4.22)Теорема 4.5.Пусть ограниченная функция y(t) 6≡ 0 есть решение уравнения (4.22). Тогда1) λ = n(n + 1), где n = 0, ∞;2) функция y(t), называемая присоединенной функцией Лежандра порядка k, может быть найдена по формуле:y(t) = Pnm (t) = 1 − t2 m2 dm Pn (t)·,dtmm = 0, n;(4.23)(0)3) при этом Pn (t) ≡ Pn (t) – полиномы Лежандра, а Pnm (t) ≡ 0 при всех m > n.Опр.
4.4. ФункцииPnm (cos θ) cos kϕ,Pnm (cos θ) sin kϕ,называются сферическими гармониками.-14-m = 0, n,n = 0, ∞,(4.24)СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИТеорема 4.6 (Разложение в ряд по сферическим гармоникам).Пусть функция g(θ, ϕ) ∈ C 2 , θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π], g(θ, ϕ + 2π) = g(θ, ϕ). Тогда g(θ, ϕ)разлагается в следующий ряд Фурье#"k∞XXαk0Pk (cos θ) +Pkm (cos θ) (αkm cos(mϕ) + βkm sin(mϕ)) ,(4.25)g(θ, ϕ) =2m=1k=0αkm2k + 1 (k − m)!=·2π(k + m)!βkm =2k + 1 (k − m)!·2π(k + m)!Z2πZπdϕ cos(mϕ)00Z2πZπdϕ sin(mϕ)0При этом ряд (4.25)θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π].сходитсяg(θ, ϕ) Pkm (cos θ) sin θdθ,(4.26)g(θ, ϕ) Pkm (cos θ) sin θdθ,(4.27)0кg(θ, ϕ)-15-абсолютноиравномернона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
