Справочник - Специальные функции (1127883)
Текст из файла
СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ1. Введение. Оператор Лапласа в криволинейных координатахСпециальные функции возникают в задачах математической физики, содержащих операторЛапласа∂2∂2∆≡+...+,x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ,∂x21∂x2nпри записи уравнений в криволинейных координатах.1.1. Оператор Лапласа в полярных координатахПолярные координаты (r, ϕ) задаются на плоскости R2 соотношениями:x = r cos ϕ,y = r sin ϕ.Оператор Лапласа в полярных координатах (r, ϕ) принимает вид∂u1 ∂2u1 ∂r+ 2.∆u =r ∂r∂rr ∂ϕ2(1.1)1.2.
Оператор Лапласа в цилиндрических координатахЦилиндрические координаты (r, ϕ, z) задаются в пространстве R3 соотношениями: x = r cos ϕ,y = r sin ϕ,z = z.Оператор Лапласа принимает вид1 ∂∆u =r ∂r∂ur∂r+1 ∂2u ∂2u+.r2 ∂ϕ2 ∂z 2(1.2)1.3. Оператор Лапласа в сферических координатахCферические координаты (r, θ, ϕ) задаются в R3 соотношениями: x = r sin θ cos ϕ,y = r sin θ sin ϕ,z = r cos θ.Оператор Лапласа принимает вид1 ∂1∂∂u1∂2u2 ∂u∆u(r, θ, ϕ) = 2r+ 2sin θ+ 2 2r ∂r∂rr sin θ ∂θ∂θ θ r sin θ ∂ϕ2(1.3)1.4.
Оператор Лапласа в сферически симметричном случаеnПустьp в пространстве R функция u = u(r) зависит только от сферического радиусаr = x21 + . . . + x2n . Тогдаn−1 01 dn−1 du(r)r= u00 (r) +u (r),n > 2.(1.4)∆u = n−1rdrdrr-1-СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ2. Факториалы и Гамма-функция ЭйлераОпр. 2.1.
Гамма-функцией Эйлера называетсяZ+∞Γ(x) ≡tx−1 e−t dt,x > 0.(2.1)0Одним из замечательных свойств Гамма-функции является равенствопри n ∈ Z+ .Γ(n + 1) = n!(2.2)Поэтому, чтобы упростить дальнейшие выкладки и формулы, обобщим школьное определениефакториалаn! = 1 · 2 · . . . · n,n∈Nна множество действительных чисел ν > −1.Опр. 2.2.
Факториалом действительного числа ν > −1 называется числоZ+∞ν! ≡tν e−t dt,ν ∈ R,ν > −1.(2.3)0Теорема 2.1 (Простейшие свойства факториала).1)ν! > 0ν > −1;2)0! = 1;3)ν! = 1 · 2 · . . . · ν,ν ∈ N;π,sin πν4)(ν − 1)! (−ν)! =5)(ν + 1)ν! = (ν + 1)!0 < ν < 1;Последнее соотношение (доказываемое однократным интегрированием по частям выражениядля (ν + 1)!) является особенно важным. Перепишем его в виде1ν!=ν+1(ν+1)!(2.4)C помощью последнего равенства функцию ν!1 можно определить для −2 < ν 6 −1, затем для−3 < ν 6 −2, и т. д. В результате получим функцию ν!1 , определенную при всех ν ∈ R.Пользуясь так определенной функцией ν!, легко получить из равенства 4) теоремы 2.11= sinππν ,(ν − 1)! (−ν)!ν ∈ R.(2.5)Заметим, в частности, что как из (2.4), так и из (2.5) получается тождество1 = 0,(−n)!n ∈ N.-2-(2.6)СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ3.
Цилиндрические функции3.1. Уравнение Бесселя. Определение цилиндрических функцийОпр. 3.1. Уравнениеx2 w00 (x) + x w0 (x) + x2 − ν 2 w(x) = 0(3.1)будем называть стандартным уравнением Бесселя индекса ν. Решения уравнения (3.1)называются цилиндрическими функциями.Здесь ν – фиксированный индекс (параметр), зависящий от конкретной задачи.Обычно рассматривается один из следующих случаев:• ν ∈ Z+ = {0, 1, 2, 3, .
. .}, в этом случае ν чаще обозначают через n;• ν ∈ R,ν > 0;• ν ∈ R;• ν ∈ C (такой общий случай рассматривать не будем).Опр. 3.2. Уравнениеr2 W00 (r) + r W0 (r) + λ2 r2 − ν 2 W(r) = 0,r > 0,(3.2)будем называть уравнением Бесселя индекса ν со спектральным параметром λ.Лемма 3.1.При λ 6= 0 решения уравнений (3.1) и (3.2) связаны соотношением:W(r) = w(λr).(3.3)Замечание 3.1. При λ = 0 уравнение (3.2) превращается в уравнение Эйлераr2 W00 (r) + rW0 (r) − ν 2 W(r) = 0.Общее решение уравнения (3.2) при λ = 0 выражается формулами:• ν=0=⇒W(r) = c1 + c2 ln r;• ν 6= 0=⇒W(r) = c1 rν + c2 r−ν .Поскольку в основном случае λ 6= 0, в силу леммы 3.1, уравнение (3.2) сводится к уравнению (3.1), то изучают, в основном, уравнение (3.1).Общее решение (3.1) выражается через специальные функции, чаще всего неэлементарные.-3-СПРАВОЧНИКТеорема 3.1.лами—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИОбщее решение стандартного уравнения Бесселя (3.1) выражается форму-wν (x) = C1 Jν (x) + C2 Nν (x) = C3 Hν(1) (x) + C4 Hν(2) (x),wν (x) = C5 Jν (x) + C6 J−ν (x),(1)ν ∈ R.ν 6∈ Z.(3.4)(3.5)(2)Здесь Jν (x) – функция Бесселя, Nν – функция Неймана, Hν (x), Hν (x) – функции Ханкеля(см.
определения 3.3 и 3.4.)Следствие 3.1. Общее решение уравнения Бесселя (3.2) со спектральным параметромλ 6= 0 выражается формуламиWν (r) = c1 Jν (λr) + c2 Nν (λr) = c3 Hν(1) (λr) + c4 Hν(2) (λr),Wν (r) = c5 Jν (λr) + c6 J−ν (λr),ν ∈ R.ν 6∈ Z.Опр. 3.3. Для любого ν ∈ R функцияJν (x) ≡∞Xk=0∞ x 2k+ν x ν X x 2k(−1)k(−1)k··=k! (k + ν)!22k! (k + ν)!2k=0(3.6)называется функцией Бесселя индекса ν.Подчеркнем, что формула (3.6) определяет Jν (x) при любом ν ∈ R, причем Jν (x) и J−ν (x)удовлетворяют одному и тому же уравнению (3.1).
Если ν 6∈ Z, то Jν (x) и J−ν (x) – два линейно независимых решения (3.1) (см. (3.5)).Если ν = n ∈ Z+ , тоJ−n (x) = (−1)n Jn (x).(3.7)Поэтому формула (3.5) не годится при ν = n ∈ Z+ и вводятся другие цилиндрические функции: Неймана и Ханкеля (см. (3.4)).Опр. 3.4. Функция Неймана определяется так:Nν (x) ≡1[Jν (x) cos(πν) − J−ν (x)] ,sin(πν)ν 6∈ Z;1 ∂Jν (x)n ∂J−ν (x)Nn (x) ≡ lim Nν (x) =− (−1),ν→nπ∂ν∂νν=n(3.8)n ∈ Z.(3.9)Первая и вторая функции Ханкеля задаются равенствами:Hν(1) (x) ≡ Jν (x) + iNν (x),Hν(2) (x) ≡ Jν (x) − iNν (x)(3.10)Замечание 3.2.
Функцию Неймана Nν (x) часто называют функцией Вебера и обозначаютYν (x). Выражение (3.9) получается при раскрытии предела lim Nν (x) по правилу Лопиталя.ν→n-4-СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИЯвный вид функции Nn (x) известен, но очень громоздок и на практике не используется.(1)(2)Замечание 3.3. Функции Ханкеля Hν (x) и Hν (x) удобны при выходе аргумента x в ком(1)плексную плоскость C. Функция Hν (z) «хорошо ведет себя» в верхней полуплоскости(2)Im z > 0 (подобно eiz ), а функция Hν (x) – в нижней полуплоскости Im z < 0 (аналогично e−iz ).3.2.
Рекуррентные формулы для цилиндрических функцийДля функций Бесселя и Неймана имеют место следующие рекуррентные формулы:d −νx Jν (x) = −x−ν Jν+1 (x).dxd[xν Jν (x)] = xν Jν−1 (x),dx2νJν (x),Jν+1 (x) − Jν−1 (x) = −2Jν0 (x),xпричем формулы (3.12) легко получаются из (3.11).Аналогично, для функций Неймана,Jν+1 (x) + Jν−1 (x) =d[xν Nν (x)] = xν Nν−1 (x),dxd −νx Nν (x) = −x−ν Nν+1 (x).dx(3.11)(3.12)(3.13)2νNν (x),Nν+1 (x) − Nν−1 (x) = −2Nν0 (x).(3.14)xДля функций Бесселя и Неймана с целочисленным порядком ν = n ∈ Z верно равенствоNν+1 (x) + Nν−1 (x) =J−n (x) = (−1)n Jn (x),N−n (x) = (−1)n Nn (x),n ∈ Z.(3.15)3.3. Интегральные формулы для функций БесселяИнтегралы Ломмеля:ZRRrJν (αr)Jν (βr)dr = 2α − β2αJν+1 (αR)Jν (βR) − βJν (αR)Jν+1 (βR) ,α 6= β,(3.16)0222ZR R21ν202Jν (αR) ,r Jν (αr) dr =αJν (αR) +R − 222α0-5-ν > −1.(3.17)СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИСледствие 3.2.1) Если µn , n ∈ N, есть корни уравненияαJν (µ) + βJν0 (µ) = 0,то функции Jν (µk r) и Jν (µm r) при k 6= m ортогональны: ZRJν (µk r), Jν (µm r) ≡ rJν (µk r)Jν (µm r)dr = 0.02) Справедливо выражение для нормы функции Jν (µr):ZRkJν (µr)k ≡rJν2 (µr)drR 2 µ2=22Jν0 (µR)1+2ν2R − 2µ2Jν2 (µR).0Имеют место и более общие формулы1 :Zba br µk w(µm r)w0 (µk r) − µm w(µk r)w0 (µm r) a;rw(µk r)w(µm r)dr =µ2m − µ2kkw(µr)k2 =Zbrw2 (µr)dr =12"2r2 −νµ2r=br=b #2w2 (µr)+ r2 (w0 ) (µr).ar=a(3.18)(3.19)r=aгде w(x) – произвольные решения уравнения Бесселяx2 w00 (x) + xw0 (x) + x2 − ν 2 w(x) = 0,(3.1)а µk в формуле (3.18) – положительные решения уравнения α1 Jν (µ a) + β1 µJν0 (µ a) α1 Nν (µ a) + β1 µNν0 (µ a) α2 Jν (µ b) + β2 µJν0 (µ b) α2 Nν (µ b) + β2 µNν0 (µ b)(Здесь α1,2 > 0,β1,2 > 0, = 0.(3.20)|αi | + |βi | =6 0.)3.4.
Поведение функций Бесселя и Неймана3.4.1. Поведение в окрестности нуляТеорема 3.2 (Поведение функций Бесселя в окрестности нуля).J0 (0) = 1,Jν (0) = 0,при ν > 0подробнееJν (x) ∼J−ν (0+) = ∞,при ν > 0, ν 6∈ Z,подробнееJ−ν (x) ∼11ν!x ν21(−ν)!x −ν2В них возникает необходимость при решении задач в полом цилиндре 0 < a 6 r 6 b.-6-x → 0+,,,x→0+.СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИТеорема 3.3 (Поведение функций Неймана в окрестности нуля).Nν (0+) = ∞,подробнее:N0 (x) ∼2πx → 0+,ln x,Nν (x) ∼ − (ν−1)!πNn (x) ∼ −2πx −ν2,· x−n ,ν > 0,ν 6∈ Z,n∈Nx → 0+,x→0+.На рисунке ниже приведены графики некоторых функций.3.4.2. Поведение на бесконечностиТеорема 3.4 (Поведение функций Бесселя и Неймана на бесконечности).Справедливы следующие асимптотические формулы:q 32πJν (x) = πxcos x − πν−+Ox− 2 ,x → +∞;24q32Nν (x) = πxsin x − πν− π4 + O x− 2 ,x → +∞.23.5.
Цилиндрические функции полуцелого индексаИмеет место следующий важный факт: функции Бесселя и Неймана полуцелого индекса ν = n + 12 , где n ∈ Z, являются элементарными функциями.Простейший случай:Теорема 3.5.rr2J− 1 (x) =cos x,2πxr2N− 1 (x) =sin x,2πx2sin x;2πxr2N 1 (x) = −cos x.2πxJ 1 (x) =-7-(3.21)(3.22)СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИДоказательство.
Формулы (3.21) сразу получаются из определения функций Бесселя черезряд∞∞ x 2k+ν X x 2k+νX(−1)k(−1)kJν (x) =··=.(3.6)Γ(k + ν + 1)k!2(k + ν)!k!2k=0k=0Подставим в (3.6) индекс ν = − 21 :∞X x 2k− 12 1(2n − 1)!! √(−1)k ·J− 1 (x) == Γ n+=π =2222nΓ k − 12 + 1 k!k=0rr∞∞2 X2 X(−1)k 2k(−1)k2k=·x=· x2k =2kπx k=0 2 (2k − 1)!!k!πx k=0 (2k − 1)!!(2k)!!rr∞2 X (−1)k 2k2=·x ≡· cos x.πx k=0 (2k)!πxПервая формула (3.21) доказана. Теперь докажем вторую формулу:∞X x 2k+ 12 (−1)k1(2n − 1)!! √ ·= Γ n+=J 1 (x) =π =1n2222Γk++1k!2k=0rr∞∞(−1)k1 X (−1)k 2k+12 X2k+1·x=· x2k+1 ==2πx k=0 22k (2k + 1)!!k!πx k=0 (2k + 1)!!(2k)!!rr∞2 X (−1)k2· x2k+1 ≡· sin x.=πx k=0 (2k + 1)!πxДля доказательства равенств (3.22) воспользуемся определением функций Неймана для нецелого индекса:Nν (x) =Для ν = −121[Jν (x) cos(πν) − J−ν (x)] ,sin(πν)ν 6∈ Z; .получаем:N− 1 (x) =2 π11J(x)cos−− J 1 (x) = J 1 (x), −2222sin − π2| {z }| {z }=0=−1откуда сразу следует первое равенство (3.22).
Аналогично, для ν = 12 имеем:1 π J 1 (x)cosN 1 (x) =− J− 1 (x) = −J− 1 (x),π 2222sin| {z 2 }| {z 2 }=0=1откуда сразу следует второе равенство (3.22).Общий случай:-8-(3.8)СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИТеорема 3.6.n2 n+ 1dsin x2Jn+ 1 (x) = (−1)·x,n ∈ N,2πxdxxrn2 n+ 1dcos xJ−n − 1 (x) =·x 2,n ∈ N.2πxdxxNk+ 1 (x) = (−1)k+1 J−k − 1 (x),k ∈ Z.rn22Доказательство. Из рекуррентных соотношений −ν 0[xν wν ]0 (x) = xν wν−1 (x),x wν (x) = −x−ν wν+1 (x)получаем формулуdx dxm ±νx wν (x) = (±1)m x±ν−m wν∓m (x),m ∈ Z+ .(3.23)(3.24)(3.25)(3.11)(3.26)Отсюда и из (3.21) получим доказываемые равенства (3.23) и (3.24).Для доказательства равенства (3.25) воспользуемся определением функций Неймана длянецелого индекса:Nν (x) =Для ν = k +121[Jν (x) cos(πν) − J−ν (x)] ,sin(πν)имеем:Nk+ 1 (x) =2ν 6∈ Z; .1π1 (x)cosJ− J−k− 1 (x) = (−1)k+1 J−k− 1 (x).πk+k+ 2π22sin πk + 2|{z 2 }|{z}=0=(−1)k+1-9-(3.8)СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ3.6.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
