Краткий справочник по цилиндрическим и сферическим функциям (1127880)
Текст из файла
СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ1. Цилиндрические функции1.1. Определение и взаимосвязь цилиндрических функцийУравнение Бесселяt2 Z00 (t) + tZ0 (t) + t2 − ν 2 Z(t) = 0.(1.1)Всякое решение уравнения Бесселя называется цилиндрической функцией.Теорема 1.1.Утв.Общее решение уравнения Бесселя (1.1) задаётся каждой из формулZν (t) = c1 Jν (t) + c2 Nν (t) = c3 Hν(1) (t) + c4 Hν(2) (t),ν ∈ R.ν 6∈ Z.Zν (t) = c5 Jν (t) + c6 J−ν (t)1.2.
Рекуррентные формулы для цилиндрических функцийДля функций Бесселя и Неймана имеют место следующие рекуррентные формулы: −ν 0[tν Zν ]0 (t) = tν Zν−1 (t),t Zν (t) = −t−ν Zν+1 (t).(1.2)2νZν (t) + Zν−1 (t) = 0.(1.3)tДля функций Бесселя и Неймана с целочисленным порядком ν = n ∈ Z верно равенствоZν+1 (t) −Z−n (t) = (−1)n Zn (t),n ∈ Z.(1.4)1.3.
Интегральные формулы для функций БесселяИнтегралы Ломмеля:ZxxtJν (αt)Jν (βt)dt = 2α − β2αJν+1 (αx)Jν (βx) − βJν (αx)Jν+1 (βx) ,α 6= β,(1.5)ν > −1.(1.6)0222Zx 1x2ν202t Jν (αt) dt =αJν (αx) +x − 2Jν (αx) ,22α0Имеют место и более общие формулы:Zba br µk Z(µm r)Z0 (µk r) − µm Z(µk r)Z0 (µm r) arZ(µk r)Z(µm r)dr =;µ2m − µ2kkZ(µr)k2 =Zb1rZ2 (µr)dr =2"ν2r2 − 2µr=br=b #2Z2 (µr)+ r2 (Z0 ) (µr).aгде Z(t) – произвольные решения уравнения Бесселяν20 0(tZ ) + t −Z = 0,t-1-r=at ∈ (a, b),r=a(1.7)(1.8)СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИа µk в формуле (1.7) – положительные решения уравнения α1 Jν (µ a) + β1 µJν0 (µ a) α1 Nν (µ a) + β1 µNν0 (µ a) α2 Jν (µ b) + β2 µJν0 (µ b) α2 Nν (µ b) + β2 µNν0 (µ b) = 0.(1.9)1.4.
Поведение функций Бесселя и НейманаТеорема 1.2 (Поведение в окрестности нуля).∞,ν < 0, ν ∈6 Z;Утв.0,ν < 0, ν ∈ Z;Jν (+0) =1,ν = 0;0,ν > 0;Nν (+0) = ∞,ν ∈ R; .1.5. Задачи Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [0, R]Опр. 1.1. Через M мы будем обозначать следующий класс функций:Lν (u)√ ∈ L2 (0, R).ru(r) ∈ C 2 (0, R];Задачей Штурма-Лиувилля для уравнения Бесселя на [0, R] мы будем называтьзадачу:Найти числа λ и функции 0 6≡ u(r) ∈ M из условий:2r ∈ (0, R), ν > 0; −(ru0 )0+ νr u = λru,u(+0) < ∞;(1.10)αu(R) + βu0 (R) = 0,α, β > 0, α + β > 0.При этом функции u 6≡ 0 называются собственными функциями задачи ШтурмаЛиувилля, а числа λ – собственными числами задачи Штурма-Лиувилля.Теорема 1.3.Утв.1. Все собственные числа задачи Штурма-Лиувилля неотрицательны и кратности 1.Утв.2.
Число λ = 0 есть собственное число задачи Штурма-Лиувилля тогда и толькотогда, когда ν = α = 0, и ему соответствует собственная функция u(r) ≡ const.Теорема 1.4.Утв.Все положительные собственные числа задачи Штурма-Лиувилля и соответствующие им собственные функции имеют вид:"#!(ν) 2(ν)µµr(ν)kkλk =,Jν,k ∈ N,RR(ν)где µk – положительные корни уравненияαR Jν (µ) + βµJν0 (µ) = 0.-2-СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИТеорема 1.5.Утв. 1. Функция√r ϕ(r) разлагается в ряд Фурье на интервале (0, R)√r ϕ(r) =∞Xαkν√r Jνk=1αkν1=21Jν0 (µνk ) + 12 1 −2ν22[µνk ]Jν2(µνk )µνk rR1· 2·R,(1.11)ZRrϕ(r)Jνµνk rRdr,0(ν)где µk – положительные корни уравненияαR Jν (µ) + βµJν0 (µ) = 0.√Утв. 2.
В случае α = ν = 0, функция r ϕ(r) разлагается в ряд Фурье на интервале (0, R)√α002= 2Rr ϕ(r) =ZRrϕ(r)dr,αk00α00√r+∞Xµ r√k,αk0 r J0Rk=12=2J1 (µk ) + J0 (µk )| {z }1· 2·2 R(1.12)ZRµ rkrϕ(r)J0dr.R0=0где µk – положительные корни уравнения J1 (µ) = 0.√Заметим, что в формуле (1.11) можно (и нужно) сократить на r. Зачем же его писать? Этоделается для того, чтобы разлагаемая функция, даже если она будет неограничена в окрестности нуля, попал в нужный класс, то есть в класс функций, для которых справедлива теоремаСтеклова, и ряд (1.11) сходился равномерно даже в окрестности нуля.2. Сферические функции2.1. Полиномы ЛежандраОпр.
2.1. Уравнение Лежандра:d2 dy(t)(1 − t )+ λy(t) = 0,dtdtt ∈ (−1, 1).(2.1)Заметим, что точки t = ±1 являются особыми для данного уравнения, – старший коэффициент уравнения в этих точках обращается в ноль.Большинство решений (2.1) в t = ±1 уходит в бесконечность. Однако физический интереспредставляют решения, ограниченные на всём отрезке t ∈ [−1, 1]. Таким образом, возникает-3-СПРАВОЧНИКспектральная задача:ddth—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИi(1 − t2 ) dy(t)+ λy(t) = 0,dtt ∈ (−1, 1);(2.2) y(±1) < ∞.Свойства спектральной задачи (2.2) описывает теорема:Теорема 2.1.Усл.Утв.Ограниченная функция y(t) 6≡ 0 есть решение уравнения (2.1).1) λ = n(n + 1), где n = 0, 1, 2, .
. . ;2) функция y(t) является полиномом степени n, называемым полиномом Лежандра, и может быть найдена по формуле Родрига:n dn 21y(t) = Pn (t) = n · n t − 1.2 n! dt(2.3)Теорема 2.2 (Рекуррентные формулы).Утв.Имеют место следующие соотношения:основные:(n + 1)Pn+1 (t) − (2n + 1) t Pn (t) + nPn−1 (t) = 0,100Pn (t) =Pn+1(t) − Pn−1(t) ,2n + 1дополнительные:0Pn−1(t) = t Pn0 (t) − nPn (t),00Pn0 (t) = t Pn−1(t) + nPn−1(t),20(1 − t )Pn (t) = nPn−1 (t) − n t Pn (t),n > 1;(2.4)n > 1;(2.5)n > 1;n > 1;n > 1.(2.6)(2.7)(2.8)Кроме приведённых формул, также весьма полезны следующие соотношения:Pn (−t) = (−1)n Pn (t),Pn (−1) = (−1)n ,n > 1;(−1)m (2m)!P2m+1 (0) = 0,P2m (0) =,m > 0.22m (m!)2Выпишем первые несколько полиномов Лежандра:Pn (1) = 1,(2.9)(2.10)3t2 − 15t3 − 3t,P3 (t) =;(2.11)2263t5 − 70t3 + 15t35t4 − 30t2 + 3P4 (t) =,P5 (t) =;(2.12)88231t6 − 315t4 + 105t2 − 5P6 (t) =,...(2.13)16Приведём также первые несколько выражений стандартных полиномов вида tk через полиномы Лежандра:11231 = P0 (t),t = P1 (t),t =P0 (t) + 2P2 (t) ,t =3P1 (t) + 2P3 (t) ;(2.14)3511t4 =7P0 (t) + 20P2 (t) + 8P4 (t) ,t5 =27P1 (t) + 28P3 (t) + 8P5 (t) .(2.15)3563P0 (t) = 1,P1 (t) = t,P2 (t) =-4-СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИТеорема 2.3 (Разложение в ряд по полиномам Лежандра).Усл.f (t) ∈ C 2 [−1, 1].Утв.f (t) разлагается в следующий ряд Фурьеf (t) =∞XZ12k + 1fk =2fk Pk (t),k=0f (t)Pk (t)dt,t ∈ [−1, 1].(2.16)−1При этом ряд (2.16) сходится к f (t) равномерно на всём сегменте [−1, 1].Теорема 2.4 (Разложение в ряд по полиномам Лежандра от косинусов).Усл.F (θ) ∈ C 2 [0, π].Утв.F (θ) разлагается в следующий ряд ФурьеF (θ) =∞X2k + 1Fk =2Fk Pk (cosθ),k=0ZπF (θ)Pk (cos θ) sin θdθ,θ ∈ [0, π].
(2.17)0При этом ряд (2.17) сходится к F (θ) равномерно на всём сегменте [0, π].2.1.1. Общий вид гармонической функции, не зависящей от ϕВ случае, когда гармоническая функция u(r, θ, ϕ) не зависит от угла ϕ, имеют место следующие представления этой функции:• в шаре радиуса R, то есть при r < R:u(r, θ) =∞XAn Pn (cos θ) r nn=0R(2.18)• вне шара радиуса R, то есть при r > R:∞X n+1Ru(r, θ) =Bn Pn (cos θ)rn=0(2.19)• в шаровом слое, то есть при R1 < r < R2 :u(r, θ) =∞XAn Pn (cos θ) rn +n=0∞Xn=0BnPn (cos θ)rn+1(2.20)Опр.
2.2. Функции Pn (cos θ) называются сферическими, более точно зональными сферическими функциями порядка n.Функции Pn (cos θ) rn называются шаровыми функциями порядка n. В декартовых координатах шаровые функции представляют собой однородные гармонические полиномы от (x, y, z)степени n:Xun (x, y, z) =ap,q,s xp y q z s ,∆un = 0.p+q+s=n-5-СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИPn (cos θ)мы будем называть внешними шаровыми или внешаровыми функциrn+1ями порядка n.Функции2.1.2. Производящая функцияМногие свойства полиномов Лежандра удобно доказывать, ипользуя следующее разложение:∞X1√=Pn (t)rn ,21 − 2rt + tn=0|r| < 1,∀t ∈ [−1, 1].(2.21)В данном случае Pn (t) – коэффициенты ряда, а функция левой части имеет своё название:Опр.
2.3. Функция √1называется производящей функцией для полиномов1 − 2rt + t2Лежандра.2.2. Присоединённые функции ЛежандраЗдесь мы будем рассматривать следующее уравнение: dm22 dy(t)(1 − t )+ λ−y(t) = 0,dtdt1 − t2t ∈ (−1, 1).(2.22)Теорема 2.5.Усл.Утв.Ограниченная функция y(t) 6≡ 0 есть решение уравнения (2.22).1) λ = n(n + 1), где n = 0, ∞;2) функция y(t), называемая присоединённой функцией Лежандра порядкаk, может быть найдена по формуле:y(t) = Pnm (t) = 1 − t2 m2 dm Pn (t)·,dtmm = 0, n;(2.23)(0)3) при этом Pn (t) ≡ Pn (t) – полиномы Лежандра, а Pnm (t) ≡ 0 при всех m > n.Опр.
2.4. ФункцииPnm (cos θ) cos kϕ,Pnm (cos θ) sin kϕ,называются сферическими гармониками.-6-m = 0, n,n = 0, ∞,(2.24)СПРАВОЧНИК—СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИТеорема 2.6 (Разложение в ряд по сферическим гармоникам).Усл.g(θ, ϕ) ∈ C 2 , θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π], g(θ, ϕ + 2π) = g(θ, ϕ).Утв.g(θ, ϕ) разлагается в следующий ряд Фурье#"k∞XXαk0Pk (cos θ) +Pkm (cos θ) (αkm cos(mϕ) + βkm sin(mϕ)) ,g(θ, ϕ) =2m=1k=0αkm2k + 1 (k − m)!=·2π(k + m)!βkm =2k + 1 (k − m)!·2π(k + m)!Z2πZπdϕ cos(mϕ)00Z2πZπdϕ sin(mϕ)0(2.25)g(θ, ϕ) Pkm (cos θ) sin θdθ,(2.26)g(θ, ϕ) Pkm (cos θ) sin θdθ,(2.27)0При этом ряд (2.25) сходится к g(θ, ϕ) абсолютно и равномерно наθ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π].3.
Приложение. Оператор Лапласа в криволинейных координатахПриведём для полноты картины вид оператора Лапласа в наиболее часто встречающихся типах криволинейных координат – в цилиндрических и сферических.3.1. Оператор Лапласа в цилиндрических координатахВ цилиндрических координатах x = r cos ϕ,y = r sin ϕ,z=zоператор Лапласа принимает вид:∆u(r, ϕ, z) =11 rur + 2 uϕϕ + uzz .rrr3.2. Оператор Лапласа в сферических координатахВ сферических координатах x = r sin θ cos ϕ,y = r sin θ sin ϕ,z = r cos θоператор Лапласа принимает вид:1 1 1∆u(r, θ, ϕ) = 2 r2 ur + 2sin θuθ + 2 2 uϕϕ ,rr sin θrθr sin θ-7-.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
