Задачи для подготовки к экзамену (1127341)
Текст из файла
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТимени М.В. ЛОМОНОСОВАФакультет Вычислительной математики и кибернетикиЗадачи по ТП для подготовки к экзамену по курсу«Прикладная алгебра»(5 семестр, III поток, 2013/14 уч. год)Задача № 1 (ТП)Найдите порядок стабилизаторов произвольной (a) вершины, (б) ребра и(в) грани куба при действии группы октаэдра O на соответствующие элементы.Какие перестановки в них содержатся?Решение.(a) Пусть O действует на вершины куба и v — некоторая вершина.Тогда Stab(v) ∼= Z3 — группа вращений на 120◦ (в выбранном направлении) вокруг диагонали куба, проходящей через данную вершину (подгруппа O) и | Stab(v)| = 3.(б) Пусть O действует на рёбра куба и e — некоторое ребро.Тогда Stab(e) ∼= Z2 — группа вращений на 180◦ вокруг оси, проходящейчерез середины рёбер (данного и ему противоположного) куба (подгруппаO) и | Stab(e)| = 2.(в) Пусть O действует на грани куба и f — некоторая грань.Тогда Stab(f ) ∼= Z4 — группа вращений на 90◦ (в выбранном направлении) вокруг вокруг оси, проходящей через середины граней (данной и ейпротивоположной) куба, (подгруппа O) и | Stab(v)| = 4.Задача № 2 (ТП)Сколькими геометрически различными способами три абсолютно одинаковыемухи могут усесться в вершинах правильного семиугольника, нарисованного налисте бумаги?Решение.Множество T — вершины семиугольника, на которые действует группаZ7 = h t i, t7 = e.Элемент g ∈ Z7et, t2 , .
. . , t6T ype(g)w(g)h 7, 0, . . . ix71h 0, . . . , 1 ix771 7Цикловой индекс: P (Z7 ) =x1 + 6x7 .71Число различных раскрасок в 2 цвета (муха есть/нет), при условии окраски ровно 3-х вершин из 7-и — коэффициент u3 при y 3 после подстановкиx1 7→ y + 1, x7 7→ y 7 + 1 в P (Z7 ): 17 317(y + 1) + 6(y + 1) =... +y + ... .W =7737!5·6u3 === 5.7 · 3! · 4!3!Задача № 3 (ТП)Определить число различных раскрасок граней 4-х угольной пирамиды в 3цвета.Задача № 4 (ТП)Найти цикловой индекс группы симметрии правильного треугольника.Задача № 5 (ТП)Сколько различных ожерелий можно составить из 7-ми круглых бусин двухцветов (красного и синего).Решение.Задача может быть перреформулировна: сколькими различными способамиможно раскрасить вершины правильного семиугольника в два цвета?Группа симметрии правильного семиугольникаD7 = h t, f i , t7 = f 2 = e , |D7 | = 2 · 7 = 14.—группадиэдра:D7 = h e, t, t2 , t3 , t4 , t5 , t6 , f, tf, t2 f, t3 f, t4 f, t5 f, t6 f i.Действует она на вершины правильного семиугольника — т.е.
имеет место транзитивное самодействие.Элемент g ∈ D7et, t2 , . . . , t6f, tf, . . . , t6 fT ype(g)h 7, 0, . . . ih 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1 ih 1, 3, 0, . . . iw(g)x71x7x1 x321 7x1 + 6x7 + 7x1 x32 .141 7Число различных раскрасок в r цветов —r + 6r + 7r4 .14128 + 12 + 112252127 + 12 + 7 · 16 === 18Для r = 2 имеем141414Цикловой индекс: PD7 =Задача № 6 (ТП)Найти число различных вариантов раскраски вершин тетраэдра в 2 и 3 цвета.Решение.Группа вращений тетраэдра — T = h t, f i, t3 = f 2 = e, |T | = n = 12, где2t — вращение на 120◦ вокруг оси, проходящей через центр грани и противоположную вершину тетраэдра, hti ∼= Z3 , всего таких осей — 4;f — вращение на 180◦ вокруг оси, проходящей через середины противоположных рёбер, hf i ∼= Z2 , всего таких осей — 3.T = h e, t, t2 , f, tf, t2 f, f t, f t2 , t2 f, t2 f t, tf t, tf t2 i.Обозначим через V множество граней тетраэдра; |V | = N = 4 (в силу самодвойственности тетраэдра можно решать задачу раскраски его граней).
Перенумеруем грани тетраэдра цифрами 1, 2, 3 и 4 и считаем, что ось вращения,задаваемого элементом группы t проходит через центр грани 1.T ype(g)Элемент g ∈ Te = (1)(2)(3)(4) h 4, 0, 0, 0 it = (1)(234)h 1, 0, 1, 0 ih 0, 2, 0, 0 if = (12)(34)Цикловой индекс: P (T : V ) =α#Col(2) =w(g) Кол-воx411x1 x382x23121 4x1 + 8x1 x3 + 3x22 .1216 + 4434 + 11 · 3281 + 9924 + 11 · 22== 5 . #Col(3) === 15 .12121212Задача № 7 (ТП)Найти число различных вариантов раскраски вершин куба в 2 и 3 цвета.Задача № 8 (ТП)Найти цикловой индекс группы симметрии правильного n -угольника (группыдиэдра) Dn .Задача № 9 (ТП)Имеются плоские бусины, окрашенные с одной стороны в красный, синий и зелёный цвета. Из них составляют ожерелья, содержащие по 6 в равноотстоящихточках окружности.
Определитьа) число различных 2-х и 3-х цветных ожерелий;б) число цветных ожерелий с одной красной бусиной?Решение.Здесь везде — транзитивное самодействие циклической группы из 6 элементов.3а) Общее число ожерелий.|T | = N = 6 , G ∼= Z6 = h g i , g 6 = e.P (Z6 ) =1X6/dϕ(d) xd=6d: d|6d = 1, 2, 3, 6 . ϕ(1) = ϕ(2) = 1, ϕ(3) = ϕ(6) = 2 .1 6x1 + x32 + 2x23 + 2x6 = W (x1 , . . . , x6 ).=6r = 2 цвета ⇒ xk = 2; k = 1, 2, . . .
, 6 .1 684#Col(2) =2 + 23 + 2 · 22 + 2 · 2 == 14.66r = 3 цвета ⇒ xk = 3;1 6780#Col(3) =3 + 33 + 2 · 32 + 2 · 3 == 130.66б) Полагаем y1 = y , y2 = y3 = 1 (следим только за бусинами красного цвета,которому отвечает y1 ). Найдём коэффициент u1 при подстановкеx1 = y + 2, x2 = y 2 + 2, x3 = y 3 + 2.ii1h1h(y+2)6 +(y 2 +2)3 +2(y 3 +2)2 +2(y 6 +2) =u0 +u1 y+u2 y 2 +. . .+u6 y 6 =W =66i1h=. . . + 6 · 25 y + . . . + u6 y 6 .6Число ожерелий с ровно одной красной бусиной — u1 = 32.Задача № 10 (ТП)Для раскраски сторон квадрата на стеклянной пластинке используют 3 цвета —красный, синий и зелёный. Сколько можно получить1) разнораскрашенных квадратов?2) квадратов с одним красным ребром и не более 2-х синих?4.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
