Частично упорядоченные множества (1127207)
Текст из файла
ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü IV: ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà×àñòü IV×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûåìíîæåñòâà1 / 85ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü IV: ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâàÎñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ÷.ó. ìíîæåñòâÐàçäåëû1Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ÷.ó. ìíîæåñòâ2Îïåðàöèè íàä ÷.ó. ìíîæåñòâàìè3Ëèíåàðèçàöèÿ4Çàäà÷è c ðåøåíèÿìè5Ìîäåëè Êðèïêå2 / 85ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü IV: ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà3 / 85Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ÷.ó. ìíîæåñòâ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà: îïðåäåëåíèå è ïðèìåðûÎïðåäåëåíèåÏàðó P = h P, 6 i, ãäå P íåïóñòîå ìíîæåñòâî, à 6 ðåôëåêñèâíîå, àíòèñèììåòðè÷íîå è òðàíçèòèâíîå áèíàðíîåîòíîøåíèå íà í¼ì, íàçûâàþò ÷àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûììíîæåñòâîì (ñîêðàù¼ííî ÷.ó. ìíîæåñòâîì, àíãë.
poset).Ðåôëåêñèâíîñòü (R): x 6 x;Àíòèñèììåòðè÷íîñòü (AS): (x 6 y) N (y 6 x) ⇒ x = y ;Òðàíçèòèâíîñòü (T): (x 6 y) N (y 6 z) ⇒ x 6 z .Ïðèìåðûh P(M ), ⊆ i êëàññè÷åñêèé ïðèìåð ÷.ó. ìíîæåñòâà(óïîðÿäî÷èâàíèå ìíîæåñòâ ïî âêëþ÷åíèþ, M 6= ∅);h N, 6 i è h N, | i äâà óïîðÿäî÷èâàíèÿ îäíîãî ìíîæåñòâà.ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü IV: ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà4 / 85Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ÷.ó. ìíîæåñòâÏðåäïîðÿäêèÂîïðîñÏóñòü M ìíîæåñòâî ëþäåé, h(x) ðîñò, à w(x) âåñ÷åëîâåêà x.Îïðåäåëèì íà îòíîøåíèå ρ íà M :xρy ⇒ (h(x) 6 h(y)) N (w(x) 6 w(y)).ßâëÿåòñÿ ëè ρ îòíîøåíèåì ÷àñòè÷íîãî ïîðÿäêà íà M ?Îòâåò. Íåò.
ρ ðåôëåêñèâíî è òðàíçèòèâíî, íî íå ÿâëÿåòñÿàíòèñèììåòðè÷íûì îòíîøåíèåì: xρy N yρx 6⇒ x = y (ìîãóòíàéòèñü äâà ÷åëîâåêà ñ îäèíàêîâûìè ðîñòîì è âåñîì).Îòíîøåíèÿ ñî ñâîéñòâàìè (R) è (T) íàçûâàþòdefïðåäïîðÿäêàìè.Ïîíÿòíîå îáîçíà÷åíèå: a < b = (a 6 b)N(a 6= b)ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü IV: ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà5 / 85Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ÷.ó.
ìíîæåñòâ×.ó. ìíîæåñòâî P = h P, 6 i îñíîâíûå ïîíÿòèÿ:åñëè (x 6 y) ∨ (y 6 x), òî x è yîíè íåñðàâíèìû (x y );ïîëíûé (ëèíåéíûé) ïîðÿäîê,ñðàâíèìû(x ∼ y ), èíà÷ååñëè ∀ x, y : x ∼ y ;åñëè â P íåò íè îäíîé ïàðû ðàçëè÷íûõ ñðàâíèìûõýëåìåíòîâ, òî ýòî òðèâèàëüíî óïîðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî;xy (y íåïîñðåäñòâåííîx), x l y , åñëè x 6 z 6 y ⇒ (z = x) ∨ (z = y);íåïîñðåäñòâåííî ïðåäøåñòâóåòñëåäóåò çà{x ∈ P | a 6 x 6 b} èíòåðâàë[ a, b ];defv1 < . . . < vn = [v1 , . .
. , vn ] öåïü n, à ñîâîêóïíîñòüïîïàðíî íåñðàâíèìûõ ýëåìåíòîâ àíòèöåïü â P;öåïü ìàêñèìàëüíàÿ (íàñûùåííàÿ), åñëè ïðè äîáàâëåíèè êíåé ëþáîãî ýëåìåíòà îíà ïåðåñòà¼ò áûòü öåïüþ;def> äâîéñòâåííûé ê 6 ïîðÿäîê: 6d = >.ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü IV: ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà6 / 85Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ÷.ó. ìíîæåñòâÄèàãðàììû Õàññå◦◦◦◦◦◦◦◦[[[◦[[ ◦[◦Äèàãðàììû Õàññå ÷åòûð¼õ íåòðèâèàëüíûõ íåïîìå÷åííûõòð¼õýëåìåíòíûõ ÷.ó. ìíîæåñòâ.◦ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü IV: ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâàÎñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ÷.ó.
ìíîæåñòâÄèàãðàììà Õàññå ÷.ó. ìíîæåñòâà h { 1, . . . , 18}, | i16[[ 12 [[ 8[[96 [4' 15 [AA '10''' 14'''[[[''A''A[''''A'A'''''A''3 hh 11 hhhh2 [[ 13 5 AAA '7''' 17hhhh[ AA''''hh A''A''1187 / 85ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü IV: ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà8 / 85Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ÷.ó. ìíîæåñòâÄèàãðàììû Õàññå: äà èëè íåòÂîïðîñ: ýòî äèàãðàììû Õàññå?A ◦ AAAA◦ [◦[◦◦ehh 444c hh AAA444 dhA A abÎòâåò. Íåò! Ïðàâèëüíî:A ◦ AAAA◦ [◦[◦◦df[[[[ cabÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü IV: ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâàÎñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ÷.ó.
ìíîæåñòâÄèàãðàììû âñåõ 4-ýëåìåíòíûõ ÷.ó. ìíîæåñòâ9 / 85ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü IV: ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâàÎñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ÷.ó. ìíîæåñòâÄèàãðàììà D(180) âñåõ äåëèòåëåé ÷èñëà 180 = 22 32 5Îäíà èç ìàêñèìàëüíûõ öåïåé èèíòåðâàë [ 3, 60 ].×. ó. ìíîæåñòâî, âñå èíòåðâàëûêîòîðîãî êîíå÷íû ëîêàëüíî êîíå÷íîå10 / 85ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü IV: ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà11 / 85Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ÷.ó. ìíîæåñòâÇàäà÷àÏîñòðîèòü äèàãðàììó Õàññå âñåõ ïîäïîëåé ïîëÿGF 218,óïîðÿäî÷åííûõ ïî âêëþ÷åíèþ.Ðåøåíèå.
Fnp ⊆ Fkp ⇔ k | n. Âñå äåëèòåëè ÷èñëà 18 = 2 · 32 :D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 }.GF 218GFGF[[[2''''2[[[2'''6GF 23[[[[GF (2)'''GF 29[[[ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü IV: ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâàÎñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ÷.ó. ìíîæåñòâ×.ó. ìíîæåñòâà: îñîáûå ýëåìåíòûÎïðåäåëåíèåÝëåìåíò u ∈ P ÷.ó. ìíîæåñòâà h P, 6 i íàçûâàþò:ìàêñèìàëüíûì,åñëè u 6 x ⇒ u = x,ìèíèìàëüíûì, åñëè u > x ⇒ u = x,íàèáîëüøèì, åñëè x 6 u,íàèìåíüøèì, åñëè x > uäëÿ ëþáûõ x ∈ P .Ýëåìåíòíàèáîëüøèé, åñëè âñå äðóãèå ýëåìåíòû ñîäåðæàòñÿ â í¼ì;ìàêñèìàëüíûé, åñëè íåò ýëåìåíòîâ, ñîäåðæàùèõ åãî(àíàëîãè÷íî äëÿ íàèìåíüøåãî è ìèíèìàëüíîãî ýëåìåíòîâ).12 / 85ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü IV: ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâàÎñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ÷.ó.
ìíîæåñòâÎñîáûå ýëåìåíòû ÷.ó. ìíîæåñòâà: ïðèìåð• ìàêñèìàëüíûå ýëåìåíòû;• ìèíèìàëüíûé è íàèìåíüøèé ýëåìåíò;Íàèáîëüøèé (1) è íàèìåíüøèé (0) ãðàíè÷íûå ýëåìåíòû. êîíå÷íîì ÷.ó. ìíîæåñòâå èìååòñÿ êàê ìèíèìóì ïî îäíîìóìàêñèìàëüíîìó è ìèíèìàëüíîìó ýëåìåíòó.13 / 85ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü IV: ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâàÎñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ÷.ó. ìíîæåñòâ×.ó. ìíîæåñòâî h { 1, . . .
, 18}, | i16[[ 12 [[ 8[[96 [4' 15 [AA '10''' 14'''['A''[[''[A'''AA'A''13' ''3 hh 11 2 [57' 17Ahhhh [''A'hhhh[ AA'A'''hh 'A A''1181 íàèìåíüøèé ýëåìåíò, • ìàêñèìàëüíûå.14 / 85ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü IV: ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâàÎñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ÷.ó. ìíîæåñòâÐàíæèðîâàííûå ÷.ó. ìíîæåñòâàÖåïíîå óñëîâèå Æîðäàíà-ÄåäåêèíäàÂñå ìàêñèìàëüíûå öåïè ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ ñðàâíèìûìèýëåìåíòàìè ýëåìåíòàìè ëîêàëüíî êîíå÷íîãî ÷.ó. ìíîæåñòâàèìåþò îäèíàêîâóþ äëèíó.Åñëè ÷.ó.
ìíîæåñòâî óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþÆîðäàíà-Äåäåêèíäà è èìååò íàèìåíüøèé ýëåìåíò 0, òî îíîðàíæèðóåìî, ò.å. íà í¼ì ìîæíî îïðåäåëèòü ôóíêöèþ ðàíãà ρ:12ρ(0) = 0;a l b ⇒ ρ(b) = ρ(a) + 1è òàêîå ìíîæåñòâî èìååòñëîè.Åñëè ìíîæåñòâî ðàíæèðóåìî, òî ëþáîéåãî ñëîé (íî íå òîëüêî!) ÿâëÿåòñÿ àíòèöåïüþ.15 / 85ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü IV: ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâàÎñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ÷.ó. ìíîæåñòâÏîðÿäêîâûå ãîìîìîðôèçìûÎïðåäåëåíèåÎòîáðàæåíèå ϕ : P → Pñîîòâåòñòâåííî0íîñèòåëåé ÷.ó.
ìíîæåñòâ íàçûâàåòñÿ(ìîíîòîííûì, ïîðÿäêîâûì ãîìîìîðôèçìîì),åñëè x 6 y ⇒ ϕ(x) 6 ϕ(y);îáðàòíî èçîòîííûì, åñëè ϕ(x) 6 ϕ(y) ⇒ x 6 y ;àíòèèçîòîííûì, åñëè x 6 y ⇒ ϕ(x) > ϕ(y).èçîòîííûìÅñëè ϕ èçîòîííî, îáðàòíî èçîòîííî è èíúåêòèâíî, òî ýòîϕ0âëîæåíèå èëè (ïîðÿäêîâûé) ìîíîìîðôèçì ( P ,→ P ).Ñþðúåêòèâíûé ìîíîìîðôèçì (ïîðÿäêîâûé) èçîìîðôèçìϕ(P ∼= P 0 èëè P ∼= P 0 ).Èçîìîðôèçì ÷.ó. ìíîæåñòâà â ñåáÿ àâòîìîðôèçì.(ïîðÿäêîâûé)16 / 85ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü IV: ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà17 / 85Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ÷.ó.
ìíîæåñòâÈäåàëû è ôèëüòðû ÷.ó. ìíîæåñòâÎïðåäåëåíèåÏîäìíîæåñòâî J ýëåìåíòîâ ÷.ó. ìíîæåñòâà h P, 6 iíàçûâàåòñÿ åãî (ïîðÿäêîâûì) èäåàëîì, åñëè(x ∈ J) N (y 6 x) ⇒ y ∈ J.Ïîäìíîæåñòâî F ýëåìåíòîâ P íàçûâàåòñÿ åãîôèëüòðîì, åñëè(ïîðÿäêîâûì)(x ∈ F ) N (x 6 y) ⇒ y ∈ F .∅ è âñ¼ ÷.ó. ìíîæåñòâî P èäåàëû.íåñîáñòâåííûåïîðÿäêîâûåÂàæíîå ñâîéñòâî: îáúåäèíåíèå è ïåðåñå÷åíèå ïîðÿäêîâûõèäåàëîâ åñòü ïîðÿäêîâûé èäåàë.Îáîçíà÷åíèå: J(P ) ìíîæåñòâî âñåõ ïîðÿäêîâûõ èäåàëîâ ÷.ó.ìíîæåñòâà P .ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü IV: ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà18 / 85Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ÷.ó. ìíîæåñòâÊîíóñûÎïðåäåëåíèåÏóñòü h P, 6 i ÷.ó.
ìíîæåñòâî è A ⊆ P . Ìíîæåñòâà AM è AOAM = x ∈ P | ∀ a ( a 6 x) è AO = x ∈ P | ∀ a ( x 6 a)AAíàçûâàþòñÿ âåðõíèì è íèæíèì êîíóñàìè ìíîæåñòâà A, à èõýëåìåíòû âåðõíèìè è íèæíèìè ãðàíÿìè ìíîæåñòâà Añîîòâåòñòâåííî.Äëÿ îäíîýëåìåíòíîãî ìíîæåñòâà A = {a} aM è aO .Ïîíÿòíî, ÷òî åñëè a 6 b, òî aM ∩ bO = [ a, b ].xO = hxi = J(x) èäåàë, à xM ôèëüòð P ;òàêèå èäåàëû è ôèëüòðû íàçûâàþò ãëàâíûìè.Êîíå÷íîïîðîæä¼ííûé èäåàë:k[defh a1 , . .
. , ak i =ai O , ai aj , i 6= j .i=1ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ. ×àñòü IV: ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâàÎñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ÷.ó. ìíîæåñòâÊîíóñû: ïðèìåð16Âåðõíèé è íèæíèé êîíóñûìíîæåñòâà { 2, 3 }[[ 12 [[ 8[[96 [4' 15 [AA '10''' 14'''['A''[[''A['''A''''A''A''133 hh 11 2 [5717'Ahhhh [''Ahhhh[ AA'A''''hh 'A'A''11819 / 85ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.
×àñòü IV: ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà20 / 85Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ÷.ó. ìíîæåñòâÈäåàëû: ïðèìåð16Èäåàë h 6, 15 i[[ 12 [[ 8[[96 [4' 15 [AA '10''' 14'''[A''[['''A[''A'' ''A''A''133 hh 11 2 [5717'Ahhhh [''Ahhhh[ AA'A''''hh A''A''118ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.
×àñòü IV: ×àñòè÷íî óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâàÎñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ÷.ó. ìíîæåñòâÒî÷íûå ãðàíèÎïðåäåëåíèåÏóñòü h P, 6 i ÷.ó. ìíîæåñòâî è A ⊆ P .Íàèìåíüøèé ýëåìåíò â AM íàçûâàåòñÿ òî÷íîé âåðõíåéãðàíüþ ìíîæåñòâà A (ñèìâîëè÷åñêè sup A).Íàèáîëüøèé ýëåìåíò â AO íàçûâàåòñÿ òî÷íîé íèæíåéãðàíüþ ìíîæåñòâà A (ñèìâîëè÷åñêè inf A).Ïðèìåð ( sup A è/èëè inf A ìîãóò è íå ñóùåñòâîâàòü){a, b}M = {c, d}, íî ìíîæåñòâî {c, d}íå èìååò èíôèìóìà ⇒ sup{a, b} îòñóòñòâóåò.Àíàëîãè÷íî, îòñóòñòâóåò inf{c, d}.21 / 85ÏÐÈÊËÀÄÍÀß ÀËÃÅÁÐÀ.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
