Конечные поля (часть 2) (1127161), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениями84 / 86Задача ПГ-27...Вычисляем:2x5 = x2 x = x(4x + 3)2 = x(x2 + 4x + 4) == x(4x + 3 + 4x + 4) = x(3x + 2) = 3x2 + 2x == 2x + 4 + 2x = 4x + 4.Ответ: { 3, x, 4x + 4 }.ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениямиЗадача ПГ-28Является ли многочлен x2 + x + 2 ∈ F5 [x] примитивным?85 / 86ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениями85 / 86Задача ПГ-28Является ли многочлен x2 + x + 2 ∈ F5 [x] примитивным?Решение. Порядок мультипликативной группы GF (52 ) есть25 − 1 = 24 = 23 · 3. Определим порядок элемента её x, длякоторого x2 = −x − 2 = 4x + 3.Поскольку простые делители2 и 3,проверим 24 суть 24равенство xd = 1 для d ∈ 24=12,23 =8 .Имеем:x4 =(x2 )2 = (4x + 3)2 = x2 + 4x + 4 = . .

. = 3x + 2 6= 1,x8 =(x4 )2 = (3x + 2)2 = −x2 + 2x + 4 = . . . = 3x + 1 6= 1.x12 =x8 x4 = (3x + 1)(3x + 2) = −x2 + 4x + 2 . . . = 4 6= 1.Т.о. deg x = 24 и рассматриваемый многочлен примитивен.ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениями86 / 86Задача ПГ-29Являются ли полиномы Жегалкина многочленами над полемF2 ?ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениями86 / 86Задача ПГ-29Являются ли полиномы Жегалкина многочленами над полемF2 ?Решение.

В общем случае — нет!Под многочленами над полем Fp понимаются многочлены отформальной переменной x 6∈ Fp ; именно они образуют кольцоFp [x].Полиномы Жегалкина можно рассматривать как многочленыот конечного числа переменных, т.е. как элементыF2 [x1 , . . . , xn ].Пример:f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = x1 x2 x4 + x2 x3 + x1 x4 + x2 + x3 + 1ю.

Характеристики

Список файлов учебной работы