Конечные поля (часть 2) (1127161), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениями44 / 86Задача ПГ-4Производная многочлена f 6= 0 над полем характеристики pтождественно равна 0.Доказать, что этот многочлен приводимый.Решение.производная монома (xn )0 = nxn−1 тождественно равна 0iff n ≡p 0 ⇔ p | n;f 0 = 0 ⇒ показатели степеней всех мономов многочленаf делятся на p;поэтому f (x) = g(xp ) = g p (x).ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениямиЗадача ПГ-5Доказать, что любая функция f :представлена многочленом.Fnp → Fnp может быть45 / 86ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениями45 / 86Задача ПГ-5Доказать, что любая функция f :представлена многочленом.Fnp → Fnp может бытьРешение.Можно, например, использовать интерполяционный многочленЛагранжа:Q(x − b)Xb ∈ Fnp r{a}Q.f (x) =f (a)(a − b)na ∈ Fpb ∈ Fnp r{a}ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА.
Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениямиЗадача ПГ-6Многочлен f (x) = x5 + x3 + x2 + 1 ∈ F2 [x] разложить нанеприводимые множители.46 / 86ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениями46 / 86Задача ПГ-6Многочлен f (x) = x5 + x3 + x2 + 1 ∈ F2 [x] разложить нанеприводимые множители.Решение.
В поле1F2 имеем x − 1 = x + 1.f (1) = 0 ⇒ 1 — корень f .2Делим f (x) на x + 1, получаем x4 + x3 + x + 1 = f1 (x).3f1 (1) = 0 ⇒ 1 — корень f1 ;f1x+1= x3 + 1 = f2 (x).4f2 (1) = 0 ⇒ 1 — корень f2 ;f2x+1= x2 + x + 1.5Многочлен x2 + x + 1 неприводим.Ответ: x5 + x3 + x2 + 1 = (x + 1)3 (x2 + x + 1).ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениямиЗадача ПГ-7Многочлен f (x) = x3 + 2x2 + 4x + 1 ∈ F5 [x] разложить нанеприводимые множители.47 / 86ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениями47 / 86Задача ПГ-7Многочлен f (x) = x3 + 2x2 + 4x + 1 ∈ F5 [x] разложить нанеприводимые множители.Решение.1f (2) = 23 + 2 · 22 + 4 · 22 + 1 = 25 ≡5 0, (x − 2) ≡5 (x + 3)2x3 + 2x2 + 4x + 1x+3x3 + 3x2x2 + 4x + 24x2 + 4x4x2 + 2x2x + 12x + 103многочлен f1 = x2 + 4x + 2 неприводим вF5Ответ: x3 + 2x2 + 4x + 1 = (x + 3)(x2 + 4x + 2).ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА.
Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениямиЗадача ПГ-8Многочлен f (x) = x4 + x3 + x + 2 ∈ F3 [x] разложить нанеприводимые множители.48 / 86ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениямиЗадача ПГ-8Многочлен f (x) = x4 + x3 + x + 2 ∈ F3 [x] разложить нанеприводимые множители.Решение.10, 1, 2 — не корни f (x) ⇒ f (x) линейных делителей несодержит.2Неприводимые многочлены надF3 степени 2:x2 + 1,x2 + x + 2,x2 + 2x + 2.3Подбором получаем: f (x) = (x2 + 1)(x2 + x + 2).Ответ: (x2 + 1)(x2 + x + 2).48 / 86ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениями49 / 86Задача ПГ-9Многочлен f (x) = x4 + 3x3 + 2x2 + x + 4 ∈ F5 [x] разложитьна неприводимые множители.ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениями49 / 86Задача ПГ-9Многочлен f (x) = x4 + 3x3 + 2x2 + x + 4 ∈ F5 [x] разложитьна неприводимые множители.Решение.1.
f (x) 6= 0 ни при каком x = 0, 1, 2, 3, 4, т.е. f (x) не имеетлинейных делителей.2. Перебирая неприводимые многочлены степени 2 надполучаемОтвет: f (x) = (x2 + x + 1)(x2 + 2x + 4).F5 ,ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениями50 / 86Задача ПГ-10Разложить на неприводимые множители над полем вычетов помодулю 2 все нормированные многочлены второй степени от x.ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА.
Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениями50 / 86Задача ПГ-10Разложить на неприводимые множители над полем вычетов помодулю 2 все нормированные многочлены второй степени от x.Решение.f1 (x) = x2 = x · x,f2 (x) = x2 + 1 = (x + 1)2 ,f3 (x) = x2 + x = x · (x + 1),f4 (x) = x2 + x + 1 — неприводим.ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениямиЗадача ПГ-11Разложить на неприводимые множители все нормированныемногочлены третьей степени из F2 [x].51 / 86ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА.
Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениямиЗадача ПГ-11Разложить на неприводимые множители все нормированныемногочлены третьей степени из F2 [x].Решение. Вычисляя значения многочленов при x = 0, 1,приходим к выводу, чтоf1 (x) = x3 = x · x · x,f2 (x) = x3 + 1 = (x + 1)(x2 + x + 1),f3 (x) = x3 + x = x(x + 1)2 ,f4 (x) = x3 + x2 = x2 (x + 1),f5 (x) = x3 + x + 1 — неприводим,f6 (x) = x3 + x2 + 1 — неприводим,f7 (x) = x3 + x2 + x = x(x2 + x + 1),f8 (x) = x3 + x2 + x + 1 = (x + 1)3 .51 / 86ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА.
Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениямиЗадача ПГ-12Найти все нормированные многочлены 2-й степени,неприводимые над полем вычетов по модулю 3.52 / 86ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениямиЗадача ПГ-12Найти все нормированные многочлены 2-й степени,неприводимые над полем вычетов по модулю 3.Решение.Должно быть: f (0) 6= 0, f (1) 6= 0, f (2) 6= 0.52 / 86ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениями52 / 86Задача ПГ-12Найти все нормированные многочлены 2-й степени,неприводимые над полем вычетов по модулю 3.Решение.Должно быть: f (0) 6= 0, f (1) 6= 0, f (2) 6= 0.Перебором коэффициентов в выражении x2 + bx + c, находимподходящие многочлены:f1 (x) = x2 + 1,f2 (x) = x2 + x + 2,f3 (x) = x2 + 2x + 2.ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА.
Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениямиЗадача ПГ-13Найти все нормированные многочлены 3-й третьей степени,неприводимые над полем вычетов по модулю 3.53 / 86ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениямиЗадача ПГ-13Найти все нормированные многочлены 3-й третьей степени,неприводимые над полем вычетов по модулю 3.Решение.
Должно быть: f (0) 6= 0, f (1) 6= 0, f (2) 6= 0.53 / 86ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениямиЗадача ПГ-13Найти все нормированные многочлены 3-й третьей степени,неприводимые над полем вычетов по модулю 3.Решение. Должно быть: f (0) 6= 0, f (1) 6= 0, f (2) 6= 0.f1 (x) = x3 + 2x + 1,f2 (x) = x3 + 2x + 2,f3 (x) = x3 + x2 + 2,f4 (x) = x3 + 2x2 + 1,f5 (x) = x3 + x2 + x + 2,f6 (x) = x3 + x2 + 2x + 1,f7 (x) = x3 + 2x2 + x + 1,f8 (x) = x3 + 2x2 + 2x + 2.53 / 86ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА.
Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениями54 / 86Задача ПГ-1412Проверить, что F = F7 [x]/ x2 + x − 1 является полем.Выразить обратный к 1 − x в F в базисе 1, x .ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениями54 / 86Задача ПГ-1412Проверить, что F = F7 [x]/ x2 + x − 1 является полем.Выразить обратный к 1 − x в F в базисе 1, x .Решение.¶ a(x) = x2 + x − 1, a(0) = 6, a(1) = 1, a(2) = 5, a(3) = 4,a(4) = 6, a(5) = 1, a(6) = 6 ⇒многочлен a(x) — неприводим в F7 и F — поле ( ∼= F27 ).ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА.
Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениями54 / 86Задача ПГ-1412Проверить, что F = F7 [x]/ x2 + x − 1 является полем.Выразить обратный к 1 − x в F в базисе 1, x .Решение.¶ a(x) = x2 + x − 1, a(0) = 6, a(1) = 1, a(2) = 5, a(3) = 4,a(4) = 6, a(5) = 1, a(6) = 6 ⇒многочлен a(x) — неприводим в F7 и F — поле ( ∼= F27 ).·F27 = ax + b | a, b ∈ F7 , x2 = 1 − x = 6x + 1(ax + b) · (6x + 1) = . .
. = (2a + 6b)x + (6a + b) = 16a + b = 1a=1⇒a + 3b = 0b=2Проверка: (6x + 1)(x + 2) = 6x2 + 13x + 2 = 1 + 7x = 1.ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениями55 / 86Задача ПГ-15Найти порядок элемента x + x2 в мультипликативной группе1 поля F [x]/ x4 + x + 1 ;22 поля F [x]/ x4 + x3 + 1 .2ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениями55 / 86Задача ПГ-15Найти порядок элемента x + x2 в мультипликативной группе1 поля F [x]/ x4 + x + 1 ;22 поля F [x]/ x4 + x3 + 1 .2Решение.x + x2 = x(x + 1)¶ x4 = x + 1(x2 + x)2 = x4 + x2 = x2 + x + 1,(x2 + x)3 = x(x + 1)(x2 + x + 1) = x(x3 + 1) == x4 + x = x + 1 + x = 1.Ответ: 3.ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА.
Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениями56 / 86Задача ПГ-15...· x4 = x3 + 1(x2 + x)2 = x4 + x2 = x3 + x2 + 1,(x2 + x)3 = x(x + 1)(x3 + x2 + 1) = x(x4 + x2 + x + 1) == x(x3 + x2 + x) = x4 + x3 + x2 = x2 + 1,(x2 + x)4 = (x2 + x)(x2 + x)3 = (x2 + x)(x2 + 1) == x4 + x2 + x3 + x = x3 + 1 + x2 + x3 + x == x2 + x + 1,...— долго и сложноПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля (поля Галуа) IIЗадачи с решениямиЗадача ПГ-15...α4 = α3 + 1, x = α, β = α2 + αРешениеα4 = α3 + 1α5 = α4 + α = α3 + α + 1α6 = α2 (α3 + 1) = α3 + α2 + α + 1α7 = α4 + α3 + α2 + α = α2 + α + 1α8 = α3 + α2 + αα9 = α4 + α3 + α2 = α2 + 1α10 = α3 + 1α11 = α4 + α2 = α3 + α2 + 1α12 = α4 + α3 + α = α + 1α13 = α2 + α = β.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
