PA_full (1127144), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Убеждаемся, что многочлен f (x) = x4 + 3x3 + 2x2 + x + 4не имеет линейных делителей:f (x) 6= 0 ни при одном x = 0, 1, 2, 3, 4.2. Перебирая неприводимые многочлены степени 2 надполучаемf (x) = (x2 + x + 1)(x2 + 2x + 4).5,Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачиЗадача (ПГ-8)Разложить на неприводимые множители над полем вычетов помодулю 2 все нормированные многочлены второй степени от x.119 / 432Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачи119 / 432Задача (ПГ-8)Разложить на неприводимые множители над полем вычетов помодулю 2 все нормированные многочлены второй степени от x.Решениеf1 (x) = x2 = x · x,f2 (x) = x2 + 1 = (x + 1)2 ,f3 (x) = x2 + x = x · (x + 1),f4 (x) = x2 + x + 1 � неприводим.Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачиЗадача (ПГ-9)Разложить на неприводимые множители над полем вычетов домодулю 2 все нормированные многочлены третьей степени от x.120 / 432Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачи120 / 432Задача (ПГ-9)Разложить на неприводимые множители над полем вычетов домодулю 2 все нормированные многочлены третьей степени от x.Решениеf1 (x) = x3 ,f2 (x) = x3 + 1 = (x + 1)(x2 + x + 1),f3 (x) = x3 + x = x(x + 1)2 ,f4 (x) = x3 + x2 = x2 (x + 1),f5 (x) = x3 + x + 1 � неприводим,f6 (x) = x3 + x2 + 1 � неприводим,f7 (x) = x3 + x2 + x = x(x2 + x + 1),f8 (x) = x3 + x2 + x + 1 = (x + 1)3 .Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачиЗадача (ПГ-10)Найти все нормированные многочлены второй степени от x,неприводимые над полем вычетов по модулю 3.121 / 432Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачиЗадача (ПГ-10)Найти все нормированные многочлены второй степени от x,неприводимые над полем вычетов по модулю 3.РешениеДолжно быть: f (0) 6= 0, f (1) 6= 0, f (2) 6= 0.121 / 432Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачи121 / 432Задача (ПГ-10)Найти все нормированные многочлены второй степени от x,неприводимые над полем вычетов по модулю 3.РешениеДолжно быть: f (0) 6= 0, f (1) 6= 0, f (2) 6= 0.
Переборомкоэффициентов в выражении x2 + bx + c, находим подходящиемногочлены:f1 (x) = x2 + 1,f2 (x) = x2 + x + 2,f3 (x) = x2 + 2x + 2.Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачиЗадача (ПГ-11)Найти все нормированные многочлены третьей степени от x,неприводимые над полем вычетов по модулю 3.122 / 432Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачиЗадача (ПГ-11)Найти все нормированные многочлены третьей степени от x,неприводимые над полем вычетов по модулю 3.РешениеДолжно быть: f (0) 6= 0, f (1) 6= 0, f (2) 6= 0.122 / 432Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачи122 / 432Задача (ПГ-11)Найти все нормированные многочлены третьей степени от x,неприводимые над полем вычетов по модулю 3.РешениеДолжно быть: f (0) 6= 0, f (1) 6= 0, f (2) 6= 0.f1 (x) = x3 + 2x + 1,f2 (x) = x3 + 2x + 2,f3 (x) = x3 + x2 + 2,f4 (x) = x3 + 2x2 + 1,f5 (x) = x3 + x2 + x + 2,f6 (x) = x3 + x2 + 2x + 1,f7 (x) = x3 + 2x2 + x + 1,f8 (x) = x3 + 2x2 + 2x + 2.Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачиЗадача (ПГ-12)12Проверить, что F = 7 [x]/(x2 + x 1) является полем.Выразить обратный к 1 x в F в базисе { 1, x }.123 / 432Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачиЗадача (ПГ-12)12Проверить, что F = 7 [x]/(x2 + x 1) является полем.Выразить обратный к 1 x в F в базисе { 1, x }.Решение1f (x) = x2 + x 1, f (0) = 6, f (1) = 1, f (2) = 5, f (3) = 4,f (4) = 6, f (5) = 1, f (6) = 6 )многочлен f (x) � неприводим в 7 и F � поле (= 27 ).123 / 432Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачи123 / 432Задача (ПГ-12)12Проверить, что F = 7 [x]/(x2 + x 1) является полем.Выразить обратный к 1 x в F в базисе { 1, x }.Решение1f (x) = x2 + x 1, f (0) = 6, f (1) = 1, f (2) = 5, f (3) = 4,f (4) = 6, f (5) = 1, f (6) = 6 )многочлен f (x) � неприводим в 7 и F � поле (= 27 ).227= { ax + b | a, b 27,x2 = 1x = 6x + 1 }(ax + b) · (6x + 1) = .
. . = (2a + 6b)x + (6a + b) = 1⇢⇢6a + b = 1a=1)a + 3b = 0b=2Проверка: (6x + 1)(x + 2) = 6x2 + 13x + 2 = 1 + 7x = 1.Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачи124 / 432Задача (ПГ-13)Найти порядок элемента x + x2 в мультипликативной группе12поляполя2 [x]/(x24[x]/(x4+ x + 1);+ x3 + 1).Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачи124 / 432Задача (ПГ-13)Найти порядок элемента x + x2 в мультипликативной группе12поляполя2 [x]/(x24[x]/(x4+ x + 1);+ x3 + 1).Решениеx + x2 = x(x + 1)1x4 = x + 1(x2 + x)2 = x4 + x2 = x2 + x + 1,(x2 + x)3 = x(x + 1)(x2 + x + 1) = x(x3 + 1) == x4 + x = x + 1 + x = 1.Ответ: 3.Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачи2125 / 432x4 = x3 + 1(x2 + x)2 = x4 + x2 = x3 + x2 + 1,(x2 + x)3 = x(x + 1)(x3 + x2 + 1) = x(x4 + x2 + x + 1) == x(x3 + x2 + x) = x4 + x3 + x2 = x2 + 1,(x2 + x)4 = (x2 + x)(x2 + x)3 = (x2 + x)(x2 + 1) == x4 + x2 + x3 + x = x3 + 1 + x2 + x3 + x == x2 + x + 1,...Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачиЗадача (ПГ-14)Найти количество неприводимых многочленов123степени 7 над полем 2 ;степени 6 над полем 5 ;степени 24 над полем 3 .126 / 432Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачи126 / 432Задача (ПГ-14)Найти количество неприводимых многочленов123степени 7 над полем 2 ;степени 6 над полем 5 ;степени 24 над полем 3 .РешениеPmdm = pnm|n1d7 =?Pm|7mdm = 27 = 1 · d1 + 7 · d7 = 128.d1 = 2 (x, x + 1) ) d7 = (1282)/7 = 126/7 = 18.Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачи127 / 432Задача (ПГ-15)Чему равно произведение всех ненулевых элементов поля6?2Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачи127 / 432Задача (ПГ-15)Чему равно произведение всех ненулевых элементов поля6?2РешениеВсе ненулевые элементы поляx26162являются корнями уравнения1 = x631 = 0.По теореме Виета их произведение равно свободному члену,т.е.
1 ⌘2 1.(⇤)Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачи128 / 432Задача (ПГ-16)Чему равна сумма всех элементов поля7.3Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачи128 / 432Задача (ПГ-16)Чему равна сумма всех элементов поля7.3РешениеВсе элементы поляx3737являются корнями уравненияx = x2187x = 0.(⇤)По теореме Виета их сумма равна коэффициенту перед x2186 ,т.е. 0.Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачи129 / 432Задача (ПГ-17)Для поля 23 = 3 [x]/( 2x2 + x + 2) построить таблицусоответствий между полиномиальным и степеннымпредставлением для ненулевых элементов.С помощью данной таблицы вычислить выражение12x + 1(2x)7 (2).(x)9 (x + 2)Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачи129 / 432Задача (ПГ-17)Для поля 23 = 3 [x]/( 2x2 + x + 2) построить таблицусоответствий между полиномиальным и степеннымпредставлением для ненулевых элементов.С помощью данной таблицы вычислить выражение12x + 1(2x)7 (2).(x)9 (x + 2)Решениеchar23= 3, поэтому2x2 + x + 2 ⌘3 x2 + x + 2 = f (x).Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачи129 / 432Задача (ПГ-17)Для поля 23 = 3 [x]/( 2x2 + x + 2) построить таблицусоответствий между полиномиальным и степеннымпредставлением для ненулевых элементов.С помощью данной таблицы вычислить выражение12x + 1(2x)7 (2).(x)9 (x + 2)Решениеchar2⇤323= 3, поэтому2x2 + x + 2 ⌘3 x2 + x + 2 = f (x).содержит 32 1 = 8 элементов и все они могут бытьпредставлены как степени ↵i , i = 1, 8 примитивного элемента ↵.Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачи129 / 432Задача (ПГ-17)Для поля 23 = 3 [x]/( 2x2 + x + 2) построить таблицусоответствий между полиномиальным и степеннымпредставлением для ненулевых элементов.С помощью данной таблицы вычислить выражение12x + 1(2x)7 (2).(x)9 (x + 2)Решениеchar2⇤323= 3, поэтому2x2 + x + 2 ⌘3 x2 + x + 2 = f (x).содержит 32 1 = 8 элементов и все они могут бытьпредставлены как степени ↵i , i = 1, 8 примитивного элемента ↵.Если элемент x окажется примитивным, то положим ↵ = x и,поскольку вычисления в 23 проводятся по mod f (x), будем иметьx2 + x + 2 = 0 ) x2 = x 2 = 2x + 1.Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачиРешение (продолжение;130 / 432x2 = 2x + 1)x2 = 2x + 1 ,x3 = x · x2 = x(2x + 1) = 2x2 + x = 2(2x + 1) + x = 2x + 2 ,x4 = x · x3 = x(2x + 2) = 2x2 + 2x = 2(2x + 1) + 2x = 2 ,x5 = x · x4 = 2x ,x6 = x · x5 = 2x2 = 2(2x + 1) = x + 2 ,x7 = x · x6 = x(x + 2) = x2 + 2x = 2x + 1 + 2x = x + 1 ,x8 = (проверочка) x · x7 = x(x + 1) = x2 + x = 2x + 1 + x = 1 .� т.е.
x � примитивный элемент (повезло, иначе его пришлось быискать);Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачи130 / 432Решение (продолжение;x2 = 2x + 1)x2 = 2x + 1 ,x3 = x · x2 = x(2x + 1) = 2x2 + x = 2(2x + 1) + x = 2x + 2 ,x4 = x · x3 = x(2x + 2) = 2x2 + 2x = 2(2x + 1) + 2x = 2 ,x5 = x · x4 = 2x ,x6 = x · x5 = 2x2 = 2(2x + 1) = x + 2 ,x7 = x · x6 = x(x + 2) = x2 + 2x = 2x + 1 + 2x = x + 1 ,x8 = (проверочка) x · x7 = x(x + 1) = x2 + x = 2x + 1 + x = 1 .� т.е.
x � примитивный элемент (повезло, иначе его пришлось быискать); теперь вычислим значение выражения ( 28 = 256 ⌘3 1):12x + 1(2x)7 (2)1= 2(x)9 (x + 2)xx7x8 x7 x8==x9 x6x2x15= x6 1 = x + 2 1 = x + 1.Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачиЗадача (ПГ-18)Для поля 23 = 3 [x]/(x2 + 1) построить таблицу соответствиймежду полиномиальным и степенным представлением для всехненулевых элементов поля.131 / 432Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачиЗадача (ПГ-18)Для поля 23 = 3 [x]/(x2 + 1) построить таблицу соответствиймежду полиномиальным и степенным представлением для всехненулевых элементов поля.РешениеВ данном поле x2 + 1 = 0 ) x2 = 1 ⌘3 2.1. Найдём порядок элемента x ) проверим степени,являющиеся делителями 32 1 = 8, т.е.
2 и 4:131 / 432Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачи131 / 432Задача (ПГ-18)Для поля 23 = 3 [x]/(x2 + 1) построить таблицу соответствиймежду полиномиальным и степенным представлением для всехненулевых элементов поля.РешениеВ данном поле x2 + 1 = 0 ) x2 = 1 ⌘3 2.1. Найдём порядок элемента x ) проверим степени,являющиеся делителями 32 1 = 8, т.е. 2 и 4:x2 = 2, x4 = 1.Следовательно, элемент deg x = 4 и x не являетсяпримитивным элементом.
Также не являются примитивнымивсе степени элемента x: x2 = 2, x3 = 2x, x4 = 1.Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачиРешение (продолжение)2. Найдём порядок элемента x + 1:(x + 1)2 = x2 + 2x + 1 = 2x, (x + 1)4 = (2x)2 = 2,т.е. x + 1 оказался примитивным элементом.132 / 432Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачи132 / 432Решение (продолжение)2. Найдём порядок элемента x + 1:(x + 1)2 = x2 + 2x + 1 = 2x, (x + 1)4 = (2x)2 = 2,т.е. x + 1 оказался примитивным элементом. Его степени:↵ = x + 1,↵5 = 2(x + 1) = 2x + 2,↵2 = 2x,↵6 = ↵2 · ↵4 = x,↵3 = 2x(x + 1) = 2x + 1,↵4 = (↵2 )2 = 2,↵7 = x(x + 1) = x + 2,↵8 = (↵4 )2 = 1.Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачи132 / 432Решение (продолжение)2.
Найдём порядок элемента x + 1:(x + 1)2 = x2 + 2x + 1 = 2x, (x + 1)4 = (2x)2 = 2,т.е. x + 1 оказался примитивным элементом. Его степени:↵ = x + 1,↵5 = 2(x + 1) = 2x + 2,↵2 = 2x,↵6 = ↵2 · ↵4 = x,↵3 = 2x(x + 1) = 2x + 1,↵4 = (↵2 )2 = 2,↵7 = x(x + 1) = x + 2,↵8 = (↵4 )2 = 1.Заметим, что вычисление очередной степени ↵i+j часто бываетудобным провести как ↵i · ↵j , а не как ↵ · ↵i+j 1 .Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачиЗадача (ПГ-19)В факторкольце 3 [x]/(x4 + 1) найти все элементы главногоидеала x2 + x + 2 .133 / 432Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачиЗадача (ПГ-19)В факторкольце 3 [x]/(x4 + 1) найти все элементы главногоидеала x2 + x + 2 .Решение1. Сначала проверим, является ли многочленf (x) = x2 + x + 2 делителем x4 + 1?133 / 432Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачи133 / 432Задача (ПГ-19)В факторкольце 3 [x]/(x4 + 1) найти все элементы главногоидеала x2 + x + 2 .Решение1. Сначала проверим, является ли многочленf (x) = x2 + x + 2 делителем x4 + 1?x4 + 1 = (x2 + x + 2) · (x2 + 2x + 2) � да!Поэтому искомый идеал составят многочлены кольца (т.е.степени не выше 3), кратные f (x):x2 + x + 2 =(x2 + x + 2) · (ax + b) | a, b 23.Проведём умножение:(x2 + x + 2) · (ax + b) = ax3 + (a + b)x2 + (2a + b)x + 2b.Прикладная алгебраПоля ГалуаЗадачи134 / 432Решение (продолжение)2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
