AA3-1(GF-II) (1127139), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

IIЗадачи с решениямиЗадача ПГ-26...Найти минимальный многочлен m(x) ∈ F5 [x], который имееткорень α3 , где α — примитивный элемент поляF = F5 [x]/ x2 + x + 2 .73 / 78ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. IIЗадачи с решениями73 / 78Задача ПГ-26...Найти минимальный многочлен m(x) ∈ F5 [x], который имееткорень α3 , где α — примитивный элемент поляF = F5 [x]/ x2 + x + 2 .Решение1. Известно, что минимальный многочлен m(x) в полехарактеристики 5 вместе с корнем α3 содержит все смежные с23ним (α3 )5 = α15 , (α3 )5 = α75 , (α3 )5 = α375 и т.д.ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа.

IIЗадачи с решениями73 / 78Задача ПГ-26...Найти минимальный многочлен m(x) ∈ F5 [x], который имееткорень α3 , где α — примитивный элемент поляF = F5 [x]/ x2 + x + 2 .Решение1. Известно, что минимальный многочлен m(x) в полехарактеристики 5 вместе с корнем α3 содержит все смежные с23ним (α3 )5 = α15 , (α3 )5 = α75 , (α3 )5 = α375 и т.д.22. В поле F52 будет α5 −1 = α24 = 1 ⇒ смежный класс,образованный α3 содержит только два элемента α3 и α15(т.к.

α75 = α24·3+3 = α3 ) ⇒ минимальный многочлен m(x)имеет степень 2 и может быть представлен какm(x) = (x − α3 )(x − α15 ) = x2 − (α3 + α15 )x + α18 .ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. IIЗадачи с решениямиЗадача ПГ-26...m(x) = x2 − (α3 + α15 )x + α183. Найдём коэффициенты многочлена m(x) учётомα2 = −α − 2 = 4α + 3:α3 = α · α2 = α(4α + 3) = 4α2 + 3α == 4(4α + 3) + 3α = 4α + 2,α15 = (α3 )5 = (4α + 2)5 = 4α5 + 2 == 4α2 α3 + 2 = 4(4α + 3)(4α + 2) + 2 == 4(α2 + 1) + 2 = 4(4α + 4) + 2 = α + 3,α3 + α15 = 4α + 2 + α + 3 = 0,α18 = α3 α15 = (4α + 2)(α + 3) == 4(4α + 3) + 4α + 1 = 3.74 / 78ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. IIЗадачи с решениямиЗадача ПГ-26...m(x) = x2 − (α3 + α15 )x + α183.

Найдём коэффициенты многочлена m(x) учётомα2 = −α − 2 = 4α + 3:α3 = α · α2 = α(4α + 3) = 4α2 + 3α == 4(4α + 3) + 3α = 4α + 2,α15 = (α3 )5 = (4α + 2)5 = 4α5 + 2 == 4α2 α3 + 2 = 4(4α + 3)(4α + 2) + 2 == 4(α2 + 1) + 2 = 4(4α + 4) + 2 = α + 3,α3 + α15 = 4α + 2 + α + 3 = 0,α18 = α3 α15 = (4α + 2)(α + 3) == 4(4α + 3) + 4α + 1 = 3.В итоге:m(x) = x2 + 3.74 / 78ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. IIЧто надо знатьРазделы1Поля вычетов по модулю простого числа2Вычисление элементов в конечных полях3Линейная алгебра над конечным полем4Корни многочленов над конечным полем5Существование и единственность поля Галуа из pnэлементов6Циклические подпространства7Задачи с решениями8Что надо знать75 / 78ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа.

IIЧто надо знать76 / 78Конечное поле и его характеристика. Мультипликативнаягруппа, примитивный элемент поля Галуа и егонахождение. Основная теорема алгебры.Алгоритм Евклида и его применение.Теорема Безу и расширенный алгоритм Евклида.Неприводимые многочлены: существование и нахождениенеприводимых многочленов в конечных полях. Построениеконечных полей с помощью неприводимых многочленов(привести пример). Изоморфизм конечных полей.Векторное пространство многочленов. Базис в Fnp .

ПоляГалуа как векторные пространства. Подполя конечногополя.ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. IIЧто надо знать77 / 78Минимальные многочлены над конечным полем: примерыи свойства. Корнями какого многочлена являются всеэлементы конечного поля? Делителями какого многочленаявляются все неприводимые многочлены n-й степени?Теорема о степени любого неприводимого делителяnмногочлена xp −1 − 1.Теорема о корнях неприводимого многочлена. Многочленынад конечным полем: решение уравнений.Как решать уравнения, когда корней нет (алгоритмнахождения всех корней многочлена f (x)над полем Галуа Fp )?Мультипликативная группа расширения поля.Существование неприводимого многочлена степени n надполем Fp .ПРИКЛАДНАЯ АЛГЕБРА. Часть I: Конечные поля или поля Галуа. IIЧто надо знать78 / 78Лемма о числе неприводимых нормированных многочленовиз Fnp .

Среднее число неприводимых многочленов.Изоморфизм полей Галуа с одинаковым числом элементов.Теорема о неприводимом нормированном многочлене —делителе порождающего элемента идеала.Циклическое пространство: определение и примеры.Количество и степени неприводимых делителей xn − 1..

Характеристики

Список файлов лекций