Определение давления на поверхности тела и сопротивления, обусловленного давлением (1125743), страница 2
Текст из файла (страница 2)
На вопрос почему с, можно считать одинаковым для маленькой модели и для реальной конструкпии отвечает П вЂ” теорема, которая говорит, что безразмерные величины (типа с,) не могут зависеть от размерных величин — то есть неважно, каков размах крыльев обтекаемой конструкции — десять метров или десять сантиметров — безразмерная величина будет одинакова, если соблюдается геометрическое подобие.
Конечно, кроме геометрического еше должно быть соблюдено физическое подобие, другими словами должны быть одинаковы все безразмерные харак,о'г' Е теристики обтекания. В частности, число Рейнольдса Ве =— н безразмерная комбинация, значит величина с, от него зависит. Таких безразмерных комбинаций в реальной задаче может быть достаточно много. К наиболее важным, помимо Ке можно отнести число Маха н )„' Е М„= —, число Фрула Рг = —, число Струхала ЯЬ = — — хараклзв ле' =)„г тернов время задачи). Однако, если мы будем рассматривать степень влиянна каждого из этих чисел на обтекание, то окажется, что, скажем, лля статических задач (т -+ с ) число Струхаля становится несущественным; при обтекании тела тяжелой жидкостью (например, водой) число Фруда влияет на течение, в случае же аэромеханики — обтекания «легким» газом, число Фруда учитывать не имеет смысла.
То же самое можно сказать о числе Маха при существенно дозвуковых течениях (когда скорость потока много меньше скорости звука азв . В итоге получается, что единственным важным параметром для с„является число Рейиольдса. Зависимость с от Ке для плохообтекаемых тел весьма характерна На рисунке 3 приведена такая зависимость для шара (качественно гра- фик с =Ке для цилиндра точно такой же, толъко цифры несколько иные). Р) Я РВ Рнс.
3 Как видно из ~рафниь при малых числах Рейнолъдса козффициент сопротивления падает (в соответствии с формулой Стокса). Затем веление продолжается более медленно вплоть до Ке 5.10~, где достигается локальный минимум сопротивления. В области чисел Рейиолъдса 2 10 -2 10 безразмерное сопротивление с остается п)ицпически 4 5 посплнпплм. При Ке ~2+3.10 наступает кризис сопротивления, вы- 5 званный турбулентностью — сопротивление палает примерно в 4 -5 раз. Задача данного практикума — найти одну точку на аналогичной кривой с„(Ке) для цилиндра Плоские задачи азрогндромеханнин В аэромеханике очень важной проблемой яаляется задача обтекания несущих поверхностей (крыльев). В случае дозвукового течения крылья большого удлинения обладают преимуществом, поскольку у них мала индукпвная составляющая сопротивления. Для таких крыльев пространственные эффекты обтекания проявляются только аблизи кромок — в относительно небольшой области, поэтому большую часть потока, обтекающего крыло можно считать двумерным Удобно рассмотреть предельный случай — крыло бесконечного размаха, но здесь аозникает следующая проблема: при вычислении коэффициента с лля крыла бесконечного размаха придется интегрировать по бесконечно большой поверхности.
Чтобы обойти эту проблему введем грю4ниьное соиротиеление крыла за счет давления и соответствующий ему коэффициент профильного сопротивления. В крыле (не обязательно бесконечного размаха) можно выделить профиль — сечение плоскостью х =сопгг, где г — координата, направленная вдоль образующей крыла. Профильным сопротивлением, обусловленным лавлением. назовем следующий интеграл Хд = ~рсовгай с где! — элемент контура. Очевидно, что проинтегрировав профильные сопротивления по размаху крыла, мы получим обычное сопротивление: То есть Х' можно считать производной по координате г от обычного сопротивления Х.
Но, обычно, величину профильного сопротивления интерпретируют следующим образом — если нз крыла выделить элемент длины равный единице на досткючном удалении от кромки крыла, то сопротивление этого элемента будет г,+1 Х= )ХНг=Х' ~о в силу того, что профильное сопротивление, в данном случае не зависит от к н интервал интегрирования равен единице. 24 Итмс профнлыюе сопротивление — это есть сопротивление элемента крыла единичной длины, который расположен достаточно лалеко от кромок крыла Для коэффнцненча профнлъного сопротивления, обусловленного давлением можно написать формулу с' = ~с'„соя шй' с где 1- безразмерный элемент интегрирования по контуру. Обтекание контура ндеальной жндмостью Итак, задача обтекания крыла воздухом, может быть сушсственно упрошена в силу большой удлиненностн крыла — можно считать течение двумерным — и в силу большого числа Рейнольдса — можно считать что все вязкие эффекты сосредоточены а тонком, по сравнению с размервмн крыла, пограничном слое, а вне пограничного слоя, который прытическн не меняет форму крылоного профняя, можно считать обтекаемый воздух идеальной жидкостью.
Кроме того, поскольку предполагается, что скоростн много меньше скорости звука, течение можно считать не- Данная задача, несмотря на существенные упрощения осталась все равно достаточно сложной в силу нелинейности уравнений, описывающих зто теченне. Однако, она допускает аналитическое решение. Уравнение неразрывности в декартовых координатах можно записать дк дг — + — =0 ~Ъ бг здесь и н т — компоненты скорости. Поскольку на крыло набегает безвнхревой поток н нет источников тепла, то в ндеалъном газе можно считать, что вихрей не будет н в самом течении. Поскольку течение плоское, то у завнхренностн в всего одна хкомпонента: дв дг в,= — — =0 ф бг Два послелннх уравнения составляют условии Коши-Рнмана— то есть нз функций и н г можно составить голоморфную функцию комплексного переменного х = х+ 0 . Можно, так же понимать этн два соотношения как замкнутую систему уравненнй с граничными условиями: то есть равномерный поток У на удалении от тела и условие непротекания на поверхности обтекаемого тела, Некоторое неудобство при решении такой задачи состоит в том, что на поверхности в граничное условие входят обе переменные и и н Поэтому, обычно, в таком виде задача обтекания не формулируется.
Гораздо удобнее воспользовавшись условием отсутствия вихрей в потоке, которое означает, что для поля скоростей Ч можно найти потенциал ~р: ар дх бег бг Затем можно подставить эти соотношения в уравнение неразрывности— получится уравнение Лапласа: азу ду — + — =О С граничньпи условием только для ф на поверхности контура С -о Такого рода задача называется задачек Нейчона. Можно пойти другим путем — в двумерном течении, в силу уравнения неразрывности, всегда можно ввести функцию тошс Од И=— бу Ор к= —— ай Подставив эту функцию «и в уравнение отсутствия вихря, опять получим уравнение Лапласа дм др — + — =О Ог ~г Граничные условия для гр: 4~= Это задачаДврихле. 26 Можно решать задачу Неймана, вли задачу Дирихле„но гораздо удобнее воспользоваться теорией функций комплексного переменного— ведь функции «г н м так же как н и и г удовлетворяют условиям Коши-Римана и «г = у+ «зг является голоморфной функцией; преобразование, переводелее физическую плоскость х на плоскость «г является конформным (конформность обеспечивает условие непротекания).
Поскольку линии тока соответствуют линиям ~у = солят, на плоскости зг линии тока окал«угся горизонтальными прямыми, а обтекаемый контур — отрезком на координатной линии р. То есп„если мы решили задачу обтекания, значит мы нашли функцию «г „конформно переводящую наш контур на отрезок, лежащий на оси р (рис 4). УФ «Ы ! Верно и обратное — если мы нашли конформное отображение, переводящее наш контур С в отреюк — значит мы можем определить все пэраметры течения. Например, продифференцировав и, мы получим комплексно-сопряженную скорость: 27 др ,д~ и" = — + ~' — = и -й дх дх Взяв действительную часть м' мы получим х- компоненту скорости, взяв мнимую часть с обратным знаком — получим у- компоненту.
Для определения коэффициента давления с, необходимо воспользоваться интегралом Бернулли: К мю ел 1 Р Р г,2 Конечно, для определения течения около произвольного крылового профиля довольно трудно найти такое конформное отображение м и обычно такую задачу приходится решать численно (например, можно заменить профияь ломаной и воспользоваться интегралом Шварца), однако, для цилиндра данная задача решается достаточно просто.
Обтекание цилиндра идеальной жидкостью Фушпшя, отображающая внешность круга радиуса и на отрезок на горизонтальной оси называется функцией Жуковского: и=К я+в Конформносп данного отображения обеспечивает условия непротекания на поверхности тела. На бесконечном удалении от цилиндра должно выполняться условие одноролности поля течения.
С помощью дифференцирования и можно убедиться в справедливости этого условия: При г -+ со сопряженная скорость стремится к К . (Таким образом, сопряжение этого коэффициента в функции Жуковского — граничное условие на бесконечности). Далее удобно использовать тригонометрический вид комплексного числа я =ге (г- радиус комплексного числа, 0-его аргумент). Нас Ю интересуют газодинамические параметры только на поверхности цилиндра, то есть г = Ю. Тогда, нз безразмерного соотношения, соответствующего интегралу Бернулли, получится и'/ К =1- е 2сд н 28 ср — — ! — (1-е )(1 — е ' ) Перейдя от мнимых экспонент к обычным тригонометрическим фушщням, получим теоретическое распределение давления на поверхности цилиндра в зависимости от угла О между осью х и радиусом точки на поверхности: с =1-4 в1в д 2 (') Зная функцию распределения давления на поверхности с (д), можно найти силу, действующую со стороны идеальной жидкости нв обтекаемое тело.
В случае цилиндра удобно воспользоваться полярной системой координат. Якобиан полярной системы координат равен Я, то Ш 1 есть й = Ыд. Следователыю, вв' = — = — ад. Поскольку двя цилинд2й 2 ра сова =совО, получаем х с „= — ) с (д) сов дед В эксперименте угол удобно отсчитывать не от оси х, а от точки растекания: О=я-О. Окончательно получаем формулу лля коэффициента лобового сопротивления х с„' =- ~с,(д)сов(д)Ыд -л где угол д отсчитывается от точки растекания в лобовой части цилиндра. Еели в зту формулу подставить закон с,„полученный с помощью метода конформных отображений, получим Г с„' = — )(1 — 4вш 9)сов(д)Ид = О (вв) 2 'Этот результат и должен был получиться в соответствии с парадоксом Даламбера Забегая вперед можно сказать, что результаты эксперимента будут другими.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
