Теормин (extended) (2003) (1125525)
Текст из файла
1Теоремы существованияОпределение. Множество M называется метрическим, если на нём задано отображение ρ : M × M → R1+ , называемое метрикой и удовлетворяющее трём аксиомам:1) ρ(u, v) = ρ(v, u) ∀u, v ∈ M (симметричность);2) ρ(u + v, w) 6 ρ(u, w) + ρ(v, w) ∀u, v, w ∈ M (неравенство треугольника);3) ρ(u, v) > 0 ∀u, v ∈ M, ρ(u, v) = 0 ⇔ u = v (неотрицательность).ρОпределение. Последовательность {uk } сходится по метрике ρ (uk → u) в метрическом пространстве M, если ρ(uk , u) → 0 при k → ∞.Определение. Последовательность {uk } называется фундаментальной, еслиρ(ui , uj ) → 0 при i, j → ∞.Определение.
Метрическое пространство M называется полным, если любая фундаментальная последовательность в этом пространстве сходится к элементу из M.Определение. Функция J(u) называется непрерывной [полунепрерывной снизу] (полунепрерывной сверху) в точке u0 , если для любой сходящейся к u0 последовательности элементов {uk } из U существует предел lim J(uk ) = J(u0 )k→∞lim J(uk ) 6 J(u0 ) (см.
рис. 1.)lim J(uk ) > J(u0 )k→∞k→∞Определение. Множество U называется компактным (ρ-компактом) в M, если улюбой последовательности {uk } из U существует сходящаяся к элементу из U подпоследовательность {ukm }.Введём ряд обозначений:inf J(u) = J∗ ,u∈Usup J(u) = J ∗ ;u∈UU∗ = {v ∈ U|J(v) = J∗ };u∗ = argmin J(u) ∈ U∗ .u∈UТеорема 1 (метрический вариант теоремы Вейерштрасса).
Пусть M — метрическое пространство, множество U ⊆ M — компакт, функция J(u) полунепрерывнаснизу на U. Тогда:1) J∗ > −∞;2) U∗ 6= ∅;3) из того, чтоJ(uk ) → J∗ при k → ∞,следует, что ρ(uk , U∗ ) → 0.uk ∈ UОпределение. Задачи, удовлетворяющие условиям (выводам) Теоремы 1 называюткорректно поставленными в метрическом пространстве M.1Определение. Линейное пространство L называется нормированным, если существует такая функция kuk : L → R1 , называемая нормой, что:1) kαuk = |α|·kuk ∀u ∈ L, ∀α ∈ R (неотрицательная однородность);2) ku + vk 6 kuk + kvk ∀u, v ∈ L (неравенство треугольника);3) kuk > 0 ∀u ∈ L, kuk = 0 ⇔ u = 0 (неотрицательность).Если в пункте 3) выполнено лишь условие u = 0 ⇒ kuk = 0, то kuk называют полунормой.Определение.
Множество U называется ограниченным в M, если существуетu0 ∈ M и R < 0 такие, что для всех u из U выполняется условие ρ(u, u0 ) 6 R.Определение. Нормированное линейное пространство L, полное относительно метрики ρ(u, v) = ku − vk, называется ба́наховым.Определение.
Линейное пространство L называется евклидовым, если на нём заданоскалярное произведение hu, vi : L × L → R1 :1) hu, vi = hv, ui∀u, v ∈ L (симметричность);2) hu + v, wi = hu, wi + hv, wi3) hαu, vi = α hu, vi∀u, v, w ∈ L (линейная аддитивность);∀u, v ∈ L, ∀α ∈ R (линейная однородность);4) hu, ui > 0, hu, ui = 0 ⇔ u = 0 (неотрицательность).pВ любом евклидовом пространстве kuk = hu, ui является нормой (евклидовой нормой),а ρ(u, v) = ku − vk — метрикой.Определение.
Евклидово пространство H, полное относительно метрикиpρ(u, v) = hu − v, u − viH ,называется ги́льбертовым. В дальнейшем буквой H будем обозначать гильбертовы пространства.Определение. Последовательность {uk }nk=1 ⊂ H называется слабо сходящейся к элеслабоменту u0 ∈ H(uk → u0 ), если ∀h ∈ H huk , hiH → hu0 , hiH при k → ∞.Замечание. Из сходимости в метрике H следует слабая сходимость, но не наоборот.Определение. Множество U называется слабо компактным (слабым компактом),если у любой последовательности {uk } из U существует подпоследовательность {ukm },слабо сходящаяся к точке u0 ∈ U.Замечание.
Из того, что множество U является компактом, следует, что оно является слабым компактом, но не наоборот. Например единичный шар в H представляетслабый компакт, но компактом не является.2Определение. Функция J(u) называется слабо непрерывной (слабо полунепрерывной снизу) в точке u0 , если для любой слабо сходящейся к u0 последовательности {uk }существует пределlim J(uk ) = J(u0 )k→∞( lim J(uk ) > J(u0 ))k→∞Замечание. Из слабой непрерывности функции J(u) следует её “обычная” непрерывность, но не наоборот.Теорема 2 (слабый вариант теоремы Вейерштрасса).
Пусть H — гильбертовопространство, U — слабый компакт в H, функция J(u) слабо полунепрерывна снизу наU. Тогда:1) J∗ > −∞;2) U∗ 6= ∅;3) любая слабая предельная точка любой минимальной последовательности принадлежит множеству U∗ (минимальная последовательность есть такая последоk→∞вательность {uk }, что J(uk ) → J∗ ).Определение. Задачи, удовлетворяющие условиям Теоремы 2 называют слабо корректно поставленными в M.Определение. Множество U называется выпуклым, если точка αu + (1 − α)v принадлежит множеству U для любых u и v из U и любого α из отрезка [0, 1].Определение. Функция J(u) называется выпуклой на выпуклом множестве U, еслидля любых точек u и v из множества U и для любого α из отрезка [0, 1] выполняетсянеравенство J(αu + (1 − α)v) 6 αJ(u) + (1 − α)J(v).Достаточное условие слабой компактности в HЕсли множество U выпукло, замкнуто и ограничено, то U слабо компактно (без доказательства).Достаточное условие слабой полунепрерывности снизу в HЕсли функция J(u) выпукла и полунепрерывна снизу на множестве U, то J(u) слабополунепрерывна снизу на этом множестве (без доказательства).Определение.
Пусть X, Y — нормированные пространства, F : X → Y. Отображение Fназывается дифференцируемым по Фреше́ [Frechet] в точке x0 , еслиF (x0 + h) = F (x0 ) + F 0 (x0 )h + o(khkX ) ∀h ∈ X,где F 0 (x0 ) ∈ L(X → Y) — линейный оператор (производная Фреше), причёмko(khkX )kY→ 0 при khkX → 0.khkXВ случае, когда X = H — гильбертово, Y = R1 , имеем:J(u0 + h) = J(u0 ) + J 0 (u0 )h + o(khkH ).J 0 (u0 ) ∈ H∗ = L(H → R1 ) — пространство линейных непрерывных функционалов над H,сопряжённое к H.3Теорема (Рисс).
[КФ, гл. IV, §2, п.3]Пространство H изоморфно сопряжённому пространству H∗ : H w H∗ , т.е. для любогоэлемента f из H∗ существует единственный элемент hf из H такой, чтоf (h) = hhf , hiH ∀h ∈ H, причём kf kH∗ = khf kHЗамечание. Если у функции J(u) : H → R1 существует вторая производная J 00 (u),то приращение функции J(u) в точке u0 представимо в виде:1J(u0 + h) = J(u0 ) + hJ 0 (u0 ), hi + hJ 00 (u0 )h, hi + o(khk2 ).2Теорема (о производной сложной функции). [КФ, гл.X]Пусть X, Y, Z — нормированные пространства, F : X → Y, G: Y → Z, существует производная функции F в точке x0 , существует производная функции G в точкеy0 = F (x0 ).
Тогда существует производная сложной функции GF : X → Z в точке x0 ,причём(GF )0 (x0 ) = G0 (y0 )F 0 (x0 )Формулы конечных приращенийВведём ряд обозначений:C(U) — класс непрерывных на U функций;Lip(U) — класс Липшиц-непрерывных на U функций (т.е. функций, для которыхвыполняется условие |f (u) − f (v)| 6 L·ku − vkH , где L — константа Липшица);C1 (U) — класс непрерывно дифференцируемых функций;C2 (U) — класс дважды непрерывно дифференцируемых функций.Утверждение.
Для функции J(u) ∈ C1 (U) и ∀u, v ∈ U выполняется следующееравенство:Z1J(u) − J(v) = hJ 0 (v + t(u − v)), u − viH dt = hJ 0 (v + θ(u − v)), u − viH , где θ ∈ [0, 1].043Задачи управления линейной динамической системойЗдесь мы рассмотрим простейшую задачу оптимального управления при следующихусловиях:x0 (t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f (t),t0 < t < T,x(t0 ) = x0 ,u(t) ∈ U ⊆ L2r (t0 , T ), (1)здесь A(t) = {aij (t)} — матрица (оператор)порядка n×n, B(t) = {bij (t)} — матрица порядка n×r, f (t) = {fi (t)} — матрица порядка n×1, то есть n-мерный вектор столбец;моменты времени t0 , T, а также точка x0 заданы; U — заданное множество из L2r (t0 , T );x(t, u) = x(t) = (x1 (t), . .
. , xn (t)) — решение (траектория), соответствующая управлению u = u(t) = (u1 (t), . . . , ur (t)) ∈ L2r (t0 , T ). Также мы считаем известной траекторию,разницу с которой мы минимизируем — y(t).Критериями качества управления могут выступать различные функционалы, например:J1 (u) = |x(T, u) − y|2Rn → inf — терминальный квадратичный функционал(2)илиZTJ2 (u) =|x(t, u) − y(t)|2Rn dt → inf — интегральный квадратичный функционал(3)t0Минимизация терминального квадратичного функционала позволят добиться точности в достижении конечной точки. Интегрального — близости траектории к заданной.Определение. При u(t) ∈ L2 (t0 , T ) под решением задачи Коши (1) понимается непрерывная на отрезке [t0 , T ] функция x(t), удовлетворяющая интегральному уравнениюZt(A(τ )x(τ ) + B(τ )u(τ ) + f (τ )) dτ,x(t) = x0 +t ∈ [t0 , T ]t0При этом функционалы A(t), B(t), F (t) должны принадлежать классу измеримыхпо Лебегу и ограниченных функций L∞ (t0 , T ).! 1pRTC = limНапомним, что kukL∞ (t0 ,T ) =inf|u(t)|p dtp→∞C>0:|u(t)|6C п.в.t0Редуцируем исходную задачу к линейной, положив x = x1 + x2 , где 0 0x1 = Ax1 + Bux2 = Ax2 + fx1 (t0 ) = 0,x2 (t0 ) = x0 .Заметим, что во второй системе нет неизвестного управления, а значит можно найти x2 .
При такой редукции критериальные функционалы можно представить какJ1 (u) = | x1 (T, u) − (y − x2 (T )) |2 = kA1 u − f k2Rn ,| {z } |{z}=A1 u=f ∈Rn5ZTJ2 (u) =t0| x1 (t, u) − (y − x2 (t)) |2 dt = kA2 u − f kL2 (t0 ,T ) .| {z } | {z }=A2 u=f ∈L2 (t0 ,T )Таким образом, для решения задачи (1), (2) или задачи (1), (3) необходимо минимизировать нормы kA1 u−yk2 и kA2 u−yk2 соответственно, где операторы A1 и A2 задаютсяследующим образомA1 u = x(T, u): L2 (t0 , T ) → Rn ,A2 u = x(t, u): L2 (t0 , T ) → L2 (t0 , T ).Для дальнейших рассуждений докажем, что операторы A1 и A2 ограничены, то естьдля соответствующих норм kAuk 6 c·kuk. Из (1) и определения решения задачи Кошиимеем t ZtZ|x(t)| = (A(τ )x(τ ) + B(τ )u(τ )) dτ 6 (|A(τ )||x(τ )| + |B(τ )||u(τ )|) dτ.t0t0Так как A(t), B(t) ∈ L∞ , то модули под знаком интеграла можно оценить сверхуконстантами, тогда получим, что |x(t)| не превосходитZtZt|x(τ )| dτ.|u(τ )| dτ + CACBt0t0Можно загрубить оценку, заменив момент времени на максимальный, тогда в силунеравенства Коши-Буняковского полученное выражение меньше или равноCBpZt|x(τ )| dτ.T − t0 kukL2 + CAt0Эта оценка верна для всех t ∈ [t0 , T ].
Далее нам понадобится лемма ГронуоллаБеллмана. Напомним её формулировку без доказательства.Лемма (Гронуолл-Беллман). [В2, стр. 30–31, лемма 2], [АТФ, стр. 189]Пусть функция ω(t) удовлетворяет условиюZt0 6 ω(t) 6 b + aω(τ ) dτ(b > 0, a > 0).t0Тогда верно неравенство ω(t) 6 b·ea(t−t0 ) .Из приведённых рассуждений можно сделать вывод, что функционалы J1 (u) и J2 (u)слабо полунепрерывны снизу на L2 , откуда следует следующая6Теорема 3 (о существовании оптимального управления задач (1), (2) и (1), (3)).Пусть A(t), B(t), f (t) ∈ L∞ (t0 , T ); y(t) ∈ L2 (t0 , T ), x0 ∈ Rn , y ∈ Rn .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
