Теормин (extended) (2003) (1125525), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Тогда J(u) дифференцируемапо Фреше в L2 и её производная имеет видJ 0 (u) = Hu (x(t), u(t), t, ψ(t)) .Если, кроме того, u(t) — оптимальное управление в задаче (1), то необходимо выполняется линеаризованный принцип максимума:hHu (x(t), u(t), t, ψ(t)) , u(t)iRr = min hHu (x(t), u(t), t, ψ(t)) , viRr .v∈V8(15)Регуляризация некорректно поставленныхэкстремальных задач по ТихоновуНапомним, что экстремальная задача минимизации функционала J(u) называется корректно поставленной в случае, когда1) J∗ существует (конечно);2) множество оптимальных решений U∗ не пусто;3) из того, что последовательность J(uk ) (uk допустимы) сходится к J∗ следует, чтосоответствующая последовательность uk сходится к u∗ .В зависимости от типа сходимости uk → u∗ корректность задачи может быть, соответственно, сильной и слабой.

Следующий пример показывает, что эти типы корректностине эквивалентны.Пример. (слабо корректная задача, не являющаяся сильно корректной)Рассмотрим следующую задачу минимизации:ZTJ(u) =x2 (t) dt → inf,x0 (t) = u(t), 0 < t < T,x(0) = 0,0u ∈ U = {u ∈ L2 (0, T ) | u(t) ∈ [−1; 1] почти всюду}Ранее было доказано, что множество U (“параллелепипед” в L2 ) — слабый компакт,а функционал J(u) слабо полунепрерывен снизу.

Можно также показать, что J∗ > −∞(J∗ = 0), оптимальной является точка u∗ = 0 и, более того, U состоит из одной этойточки: U = {0} =6 ∅. Таким образом, пункты 1) и 2) в определении корректности выполняются. По Теореме 2 получаем, что задача является слабо корректно поставленной.Докажем, что она не сильно корректно поставлена.Берём последовательностьπkt∈ C∞ [0, T ] ⊂ L2 (0, T ) ⇒ uk ∈ U.uk (t) = sinTТогда соответствующие xk сходятся к 0:Tπkt k→∞⇒ 0.xk (t) =1 − cosπkT{z}|6229То есть, J(uk ) → 0 = J∗ , но в тоже время сходимости по kT k→∞kuk − u∗ k2L2 = kuk − 0k2L2 =9 0.2И задача не является сильно корректно поставленной.Перейдём к теме пункта.

Пусть, как обычно, требуется решить задачу минимизацииJ(u) → inf,u ∈ U ⊆ H,(1)но при этом мы будем считать, что известно лишь приближенное значение функции J(u)(U задано точно). Положим, что отличие известного значения функции от истинногоудовлетворяет неравенству˜ − J(u)| 6 δ 1 + kuk2H , δ > 0, ∀u ∈ U.2|J(u)Это означает, что ошибка может быть довольно большой на “периферии”, но достаточна мала, если u близко к 0.Выбор такого рода ограничения обусловлен следующими рассуждениями.

Рассмотрим функционал J(u) = kAu−f k2F (A ∈ L(H → F), f ∈ F). Если порождающий оператор˜задан неточно с некоторой ошибкой kà − Ak 6 h, J(u)= kÃu − f k2F , то для соответствующих квадратичных функционалов ошибка принимает вид˜ − J(u)| 6 h· max kf k2F , 1 + h + 2kAk · 1 + kuk2H 6 δ 1 + kuk2H ,|J(u)то есть получаем (2) (эту оценку можно получить из того, что kAu−ÃukF 6 kA−Ãk·kuk).А. H. Тихонов в 1960-х годах предложил метод, позволяющий решать подобного родазадачи. Суть метода в том, что от исходной задачи мы переходим к экстремальной задачеследующего вида:˜ + α·kuk2 → inf,Tα (u) = J(u)α > 0,u ∈ U.(3)Функционал Tα называют функционалом Тихонова. α — некий стабилизирующийфункционал.При переходе к такой задаче нам достаточно найти такое ũ ∈ U, чтоTα (ũ) 6 inf Tα (u) + ε,u∈Uε > 0.(4)Теорема 28.

Пусть в задаче (1) J∗ > −∞, U 6= ∅, множество U выпукло и замкнутов гильбертовом пространстве H, функционал J(u) выпукл и полунепрерывен снизу, выполняется условие (2), ũ выбирается по правилу (4), параметры δ, α, ε стремятся к 0,→ 0. Тогдапричём δ+εα˜J(ũ)→ J∗ , kũ − u∗ kH → 0,где u∗ = argmin kukH — нормальное решение задачи (1).u∈U∗30.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)