Методы оптимизации. Решения задач (Поспелов) (2003) (1125436)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

 ! (a, b), −∞ < a b < +∞ " "!"" #$ ! (a,Smax {|a|,|b|} (0) $ !!$$ b) ⊆∞1min a + n , b n=1 ⊂ (a, b) ! a ∈/ (a, b)% &'"" " " [a, b] ! (a, b) (!$! " " f [a, b] f (t) > f (a), ∀ t ∈ (a, b).# %) " ! f !" !' !!$ {tk }∞k=1 "" a # ! !" !' !!$ *! ! (a, b)% ! f (tk ) −−−→ f (a) k→∞! * ∀ε > 0 ∃N ∈ N :n N =⇒ |f (tn ) − f (a)| < ε, ! f (tn ) < f (a) + ε,#+%! !" !' !!$ {tk }∞k=1 !' !$ ∞! ε " n = n ({tk }k=1, ε) # % #+% ! ! inf f (t) = f (a).t∈(a,b)) " ! # % " f * ! ,! $ " " " ! - " " * !" ' -!$ U "!"" " R !.$ !$ U = R # R "!"" % (!$ " " .

* "/ !$ ! ! ! [a, +∞) #! (−∞, b]% ' ! - '" " f (t) !"+ [a, +∞) !"" . ! limt→+∞ f (t) = δ ! f (t) > δ, ∀ t a1+ δ ! f (t) = t−a+1+ ($ . C[a, b] "!"" $ U = f (t) ∈ C[a, b] f (t)C[a,b] 1 0$U C[a, b] !" (!" !$ ρ !$ !!$$ hk (t) −−−→ h(t) hk (t) ∈ U, ∀ k k→∞1 ! ∀ε > 0 ∃N ∈ N :k N =⇒ max |fk (t) − f (t)| < ε,t∈[a,b]! |fk (t) − f (t)| < ε, ∀ t ∈ [a, b] ! fk (t) 1 ! |f (t)| < 1 + ε, ∀ t ∈ [a, b] - ε '$ ' !$ ! |f (t)| 1, ∀ t ∈ [a, b] ! f (t) 1 ) " f (t) ! ""!!$ - ' f (t) ∈ U (!" !$ !!$ .

C[a, b] "" !!$$ ! . C[a, b] - !!$$ "!"" {fk (t)}∞k=1 t−a1 − n b−a, a t < a + b−a,kfk (t) =b−a0,a + k t b.! fk (t) −−−→ f (t) ∈ C[a, b] maxt∈[a,b] |f (t)| 1 1→∞ ∀ε > 0 ∃N ∈ N : N =⇒ max |fk (t) − f (t)| < ε.t∈[a,b]3! ! {fk (t)}∞k=1 * b−a∀t ∈ a +, b =⇒ |fk (t)| < ε⇐⇒−ε < fk (t) < εk|fk (a) − 1| < ε⇐⇒1 − ε < fk (a) < 1 + ε.#2%#4%#5%)" #2% ε < 12 #4% #5% → ∞ ! f (t) a ! f (t) ∈ C[a, b] - ' !'" !!$$ {fk (t)}∞=1 !∞!$ {fk (t)}k=1 ! ! #!!$ . C[a, b]% $ U 22 ($ C[a, b] "!"" ! b!" f, g = a f (t)g(t) dt "!"" !$' (!" !$ C[a, b] 6 ! ' $ !" !" "!"" " !" " ! 7 " $ !$ ! ! !$ ! ( f, f = 0 ⇔ f ≡ 0 [a, b] ! 8 $" " t0 [a, b] |f (t)| ε > 0 - !!!$ " " δ $ Uδ* #!$ ! t0 % f (t) > 2δ - 2 bδδ3δ22> 0,f, f =f (t) dt f (t) dt >· =228Uδa f, f = 0 - ' C[a, b] !$ "!""! !" $ C[a, b] "!"" !$' !$ !" " (!" * !$ !∞!$ {fk (t)}k=1 ⊂ C[a, b] ! ρ(f, g) = f − g, f − g ! " ' a = −1, b = 1 ⎧1⎪−1,t∈−1,−,⎨ 1 1 nfn (t) = nt, t ∈ − n , n ,⎪⎩1,t ∈ n1 , 1 .(!$ $ * !!$$ "!"" !$8 11 n2ρ(fn , fn+m (t)) =|fn (t) − fn+m (t)| dt = |fn (t) − fn+m (t)|2 dt=1−n−11n+m1− n+m2(nt − (n + m)t) dt + 21n1n+m2(1 − nt) dt =11−−−−−→ 0.n n + m n,m→∞) " ! !!$ ρ "!""" " # !$ !$" " " ! !$ " !$4 !$" " '$⎧⎪⎨−1,f (t) = 0,⎪⎩1, %t ∈ [−1, 0) ,t = 0,t ∈ (0, 1] .1 C[a, b] "!"" ! !$ .

! !$' - ' C[a, b] "!"" !$' !$ 4 ($ 9!!!: L2 (a, b) "!"" 7 9!!!:U = u(t) ∈ L2 (0, 2π) −1 u(t) 1,t ∈ (0, wπ) .;!$" !!$$ {cos nt}∞n=1 ! U !$" !$ "" L2 !!$$ (!$ $ {cos nk t}∞k=1 " L2 - L2 ! * !$" !!$$ {cos nk t}∞k=1 "!"" !$ !" !'m, ∈ N, m = !"" #" !$$ cos nm t cos n t% 2πρ(cos nm t, cos n t) =(cos nm t − cos n t)2 dt02π=0cos2nm t dt +2πcos202π=0n t dt − 22πcos nm t cos n t dt0cos2nm t dt +2π0cos2 n t dt =√2π > 0.- ' * !!$ *! ! 9!!!: L2 (0, 2π) !$" !$ "" !!$ 9!!!: L2 (a, b) ' " "!"" 5 !" x ! ! 1f (x + h) = f (x) + f1 · h + f2 · h2 + o h2 ,2 " "!"" * 57 x3 sin x1 , x = 0,f (x) =0,x = 0.0 $ ! " " 3x2 sin x1 − x cos x1 , x = 0,f (x) =0,x = 0.) " ! ! . ! #h = 0%g(h) =3h2 sin h1 − h cos h1f (h) − f (0)11== 3h sin − coshhhh h → 0 ! (!" * $ '1! !!$$ {hk }∞k=1 , hk = πk 8g(hk ) = − cos1= (−1)k+1 c,k→∞hk∀ c ∈ R.(!" ." !$ $ !" f (x) ! ! (!$ 0f (h) = o h2 = 0 + 0 · h + · h2 + o h2 .2< $ J(u) ∈ C 2 (H) ($ !$ ! J (u + h) − J (u), gH =01J (u + th)h, gH dt = J (u + θh)h, gH , θ ∈ [0, 1],!" u, h, g ∈ H 0' J(v) = J (v), gH : H → R.

) !$ F (t) = u + th : R → H; F (t) = h. ) * '" !! =$&' ! J(F (t)) ∈ C 1 (R)J (u + h) − J (u), gH = J(F (1)) − J(F (0)) =<01(J(F (t))) dt. ! * 1J (F (t))F (t) dt.0-$ $ !$ 7 !$' "8J (F (t)) = (J (F (t)), g)H ) ∈ H H ∗ ,!!$J (u + h) − J (u), gH =10F (t) = h ∈ H,J (u + th)h, gH dt.#<%) !" ! #<% $ > )!$ !1Au, uH − f, uH ,2 !$' H J(u) =A ∈ L(H → H),f ∈ H,7 J H 1A(u + h), u + hH − f, u + hH211= Au, uH − f, uH + (Au, hH + Ah, uH + Ah, hH ) − f, hH2211= J(u) + (Au, hH + h, A∗ uH ) − f, hH + Ah, hH2211(A + A∗ ) u − f, h= J(u) ++ Ah, hH .22HJ(u + h) =! !1 Ah, h 1 Ah h 1 A h2 = o(h).HHHHH222- ' G(u) = J (u) = 12 (A + A∗ ) u − f = J (u) = G (u) (!"* G(u)8G(u + h) =1(A + A∗ ) (u + h) − f2111= (A + A∗ ) u − f + (A + A∗ ) h = G(u) + (A + A∗ ) h.222- ' G (u) = J (u) =12(A + A∗ )>? )!$ ! J(u) = g (uH ) g : R → R 6 " " G(u) = uH ( ! u = 0@! ! $ ! J(u) G(u) !$ u = 0 = ! G(u) ! # !$.

·, ·H ·H!$" '" ·, · · %G(u + h) = u + h = u + h, u + h = u2 + 2 u, h + h2u, h h2= u 1 + 2+.u2u2- $ ! !" ' o(1) h → 0 !$$" ! -! !" " !"8u, hu, h + o (h) .G(u + h) = u 1 ++ o (h) = G(u) +uu2- ' ! !G(u) = G (u) =u,uu = 0.3! ! ! J(u) = J (u) = g (u) G (u) = g (u) ·u,uu = 0.! $ ! ! u = 0 ! $ G(u) J(u) !G(u + h) ==u+hu+hu+h==u + hu + h, u + hu2 + 2 u, h + h21u+h·u1 + 2 u,h+u2h2u2.(!" !" !$" ! -! !" #* 8 ! "" ! h → 0%8u u, hu+hhu, h−G(u + h) == G(u) ++ o (h) .1−2 + o (h)uuuu3?- ' G(u) "!"" ! G (u)[h] = G(u) [h] =u u, hh−,uu3u = 0. J(u) ! # !$"$ $ g (u) ! !$%8J(u + h) = g (u + h) G(u + h) = g (u + h) (G(u) + G (u) [h] + o (h))u, h+ o (h) (G(u) + G (u) [h] + o (h))= g u +uu, h= g (u) + g (u)+ o (h) (G(u) + G (u) [h] + o (h))uu, h= J(u) + g (u)G(u) + g (u) G (u)[h] + o (h) .u- ' ! ! J(u) "!"" !u, hG(u) + g (u) G (u)[h]uu u, hu, hh,−u + g (u)= g (u)uu2u3J (u)[h] = J (u)[h] = g (u)u = 0.7 $ ! ! ! 6 G(u) 6 !- ! h = G(0 + h) = G(0) + a, h + o (h) = a, h + o (h)!" a ∈ H 7 !$ b ∈ H : b = 0, ⊥ a $a, b = 0 ' '$ !!$$ hn = nb ) *! ! ! 1b=o,nn ! ' n1 # ! n% ! 0 = b −−−→ 0 !n→∞b = 0 - ' ! G(u) ! !!$ ! $ (!" !" J(u) ! !$" !$$" ! ) ! " ! J(u) ' " ! g ∈ C 2 (R) J (0)- ! "$ g(t) = t2 J (0) = 0 J (0) = 0AA )!$ ! J(u) =|y(x; u) − z(x)|2 dx0 L2 (0, ) y(x) = y(x; u) 6 .

(k(x)y (x)) − q(x)y(x) = −u(x), 0 < x < ,y(0) = 0, y() = 0,k(x) k0 > 0, q(x) 0 6 !" k(x) q(x) #% ' ! ' . ! B $ y u !" $ y(x; u) = L(x)[u] L(x) 6 ! L2 (0, ) ) * ! ' ! J(u) =|y(x; u) − z(x)|2 dx = L(x)[u] − z(x)2L2 (0,) .0C J (u) = 2L∗ (x)[L(x)[u] − z(x)] = L(x) L∗ (x) C ' !$ !" . !$ 7 !$ ⎧⎪G(x, s) x !' s, 0 x , 0 < s < ,⎪⎪⎪⎨(k(x)G (x, s)) − q(x)G(x, s) = 0,x ∈ [0, ] \ {s},x⎪G(0, s) = G(, s) = 0,s ∈ [0, ],⎪⎪⎪⎩G (s + 0, s) − G (s − 0, s) = 1 ,s ∈ (0, ).k(s) .! !" * . D 3 $.

!"" y(x; u) = −G(x, s)u(s) ds = L(x)[u].0& $ L(x) 6 " 1 ! D ! "!"" ' " M(x)[y] = (k(x)y (x)) − q(x)y(x) -' J (u) = 2L(x)[L(x)[u] − z(x)] = 2G(x, t)G(t, s)u(s) ds + z(t) dt =200G(x, t)G(t, s)u(s) ds dt + 200G(x, t)z(t) dt,0 G(x, s) !"" !$ EE $ H 6 !$' L 6 ($ " H L "!"" ! " # !$" H L%0' !$ " H L P - L !" ' ! # ! ! !"% # !% " P h ! !" !' h ∈ H 7 !" H " L !$ !" L⊥ ) * '"!' *! h ∈ H H 6 !$' !" h = h1 + h2 , h1 ∈ L, h2 ∈ L⊥ *arg min ρ(u, h) = arg min ρ (u, h1 + h2 ) = arg min u − h1 − h2 , u − h1 − h2 u∈Lu∈Lu∈L= arg min u − h1 − h2 , u − h1 − h2 u∈L= arg min u2 − 2 u, h1 + h1 2 + h2 2 .u∈LB u2 − 2 u, h1 + h1 2 + h2 2 = u − h1 2 + h2 2 h2 2 , " u = h1 - 'h1 = arg min ρ(u, h).u∈L0 ! $ !$ " P 0$ P ! " '! ' 6 "$P 7 !" 8P u, v = u, P ∗ v ,∀ u, v ∈ H.)!$" ! *! !$' L !$ !8 u = u1 +u2 , v = v1 +v2 u1 , v1 ∈ L, u2 , v2 ∈ L⊥ - !$" ! !$P u, v = u1 , v1 + v2 = u1 , v1 = u1 + u2 , v1 = u, P v .- ' !$ " "!"" ! " $ x0 6 *! H x0 + L 6 ' ($ p = prx0 +L h !$ ! p ∈ x0 + L, p − h, H = 0, ∀ ∈ L3! h x0 + L (!" * min u − h, u − h = min x0 + g − h, x0 + g − h .u∈x0 +Lg∈L7 !" '$" * " !$ " f (g) = g2 + 2 g, x0 − 2 g, h , g ∈ L.)!$" !" x0 h ! L !$!8 h = h1 + h2 , x0 = x1 + x2 , h1 , x1 ∈ L, h2 , x2 ∈ L⊥ ! * f (g) = g2 − 2 g, h1 − x1 = g − (h1 − x1 )2 − h1 − x1 2 h1 − x1 2 , ! ! " g = h1 − x1 ∈ L -' " x0 + L *! !$' H p = x0 + h1 − x1 = x2 + h1 .0 '$ .

!"8 !$p − h, = x2 − h2 , = 0, x2 − h2 ∈ L⊥ ($ "8 !" * $ *! p h ! ! !$ !!$ L8p − h, = x0 + g − h, = x1 + x2 + g − h1 − h2 , = x1 − h1 + g, = 0, !"" !" ∈ L 1 x1 −h1 +g ⊥ L x1 −h1 +g ∈ L L 6 ! H 1 g = h1 − x1 + )!$ !$ {u ∈ H | x, uH = β} !$' H !!! Rn{u = (u1 , . . . , un ) ∈ Rn | αi ui βi , i = 1, . . . , n} .= h !$ !$' $ c = 0 - ! ! βc! p = h − h, c cc 2 + c2 (!$p, c = h, c − h, c+c2c2+β= β.c2c2) " "" p − h, u − p = 0!" !' u ! 3! !$ ! # "!"" !$% * p 6 " h !$7 !!! Π Rn 3! ! !" " Rn h "!""arg minu∈Πn(ui − hi )2i=10 " !8 $ h " s, s n Π #' " ' ' $ * s % ) * ! " #!$ %p=h1 , .

. . , hs ,arg minus+1 ∈{αs+1 ,βs+1 }|us+1 − hs+1 | , . . . , arg min |un − hn | .un ∈{αn ,βn }2 )$ " !" . αk . ! J(u) = 12 Au, uH − f, uH ! A∗ = A 00' . !" ! '8αk = arg min J(uk − αJ (uk )).α0D # >% J (u) = 12 (A + A∗ )u − f " ! " J (u) = Au − f - ' $! !8F (α) = J(uk − αAuk + αf )1= A(uk − αAuk + αf ), uk − αAuk + αf − f, uk − αAuk + αf .2! " ' !F (α) =!"= α2 ( 12 A3 uk , uk −Auk , Af + 12 Af, f )−α Auk − f 2 + 12 Auk , uk −f, uk .21 $ α !$ !"1 !$ ! '8 ! ' !!$ $#Auk − f 2.αk = arg min F (α) = max 0, 3A uk , uk + Af, f − 2 Auk , Af α0F! ' !$ αk = 0 F! ' ! $ ! !$ * * ! αk = 04 = ! U = {u ∈ R4 | u 0, Au = b} 1 1 3 13A=, b=,1 −1 1 21 !$ $(!" ! " !$" ! 0 rg A = 2 * ' < !' A 7." "!""! .$ 8⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞205000⎜1⎟⎜0⎟⎜0⎟⎜0⎟⎜5⎟⎜0⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜3⎟⎜ ⎟u1 = ⎜⎝0⎠ , u2 = ⎝1⎠ , u3 = ⎝ 0 ⎠ , u4 = ⎝1⎠ , u5 = ⎝0 ⎠ , u6 = ⎝1⎠ .400−2003) ' ! 8 u1 , u2 , u3 , u5 - u3 " !$ 0!$ #!% !" ' ! U * "!"" u1 , u5 !$ ' !!$ u2 6 "5 ($ ! ! .

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов учебной работы