Методы оптимизации. Решения задач (2010) (1125430), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Òàê êàêP 2 = P , òî Im P ⊥ ker PèP h − h ∈ Ker P . Òîãäàèìååì:hP g, hi = hP g, hi + hP g, P h − hi = hP g, P hi ,è, àíàëîãè÷íî,14. ÏóñòüHhg, P hi = hP g, P hi.Ýòî è âëå÷åòP = P ∗.L åãî çàìêíóòîå ïîäïðîñòðàíñòâî, x0 ∈ H, U = x0 + L.p = P h åñòü ïðîåêòîð íà U òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âûïîëíåíûp ∈ U è hp − h, li = 0 ∀l ∈ L. ãèëüáåðòîâî,Äîêàçàòü, ÷òîäâà óñëîâèÿ:Íåîáõîäèìîñòü. ÏóñòüPU h- ïðîåêòîðHíàU.Ïî îïðåäåëåíèþ ïðîåêòîðà èìååì:PU h = Argmaxu∈U hh − u, h − ui = x0 +Argmaxv∈L hh − x0 − v, h − x0 − vi = x0 +PL (h−x0 ),ãäåPL h ïðîåêòîðHíàL.ÒîãäàPU h − h = x0 + PL (h − x0 ) − h = (x0 − PL (x0 )) − (h − PL (h)).x ∈ Hhp − h, li = 0 ∀l ∈ L.Ïî ðåçóëüòàòàì ïðåäûäóùåé çàäà÷è, äëÿ ëþáîãî âîîáùå âåêòîðàx − PL (x) ∈ Ker PL ,8 Î÷åâèäíî,÷òî è äîêàçûâàåò ñîîòíîøåíèå÷òî âñÿêîå ïîäïðîñòðàíñòâî âûïóêëî.6âåðíî, ÷òîÄîñòàòî÷íîñòü.

ÏóñòüP h íàñòîÿùèéïðîåêòîðHíàL. Òîãäà äëÿ íåãî âûïîëíåíîíåîáõîäèìîå óñëîâèå:hP h − h, li = 0 ∀l ∈ L,hp − h, li = 0 ∀l ∈ L.Ïîëîæèì â ýòèõ ñîîòíîøåíèÿõl = Ph − pè âû÷òåì:hP h − h, P h − pi − hp − h, P h − pi = 0 ⇐⇒ hP h − p, P h − pi = 0,÷òî íåèçáåæíî âëå÷åòP h = p.{u ∈ H : hc, ui = β} â ãèëüáåðòîâîì{u = (u1 , u2 , . . . , un ) ∈ Rn : αi 6 ui 6 βi , i =15. Âû÷èñëèòü ïðîåêöèè òî÷åê íà ãèïåðïëîñêîñòüïðîñòðàíñòâå1, 2, . . . , n}âHè íà ïàðàëëåëåïèïåäRn .Ðåøåíèå ýòèõ çàäà÷ ìîæíî íàéòè â êíèãå: Âàñèëüåâ Ô.Ï.

×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷, êîòîðóþ âûäàâàëè â áèáëèîòåêå. Ñì. ãëàâà 4, Ÿ4, Ïðèìåðû 2 è3. Õîòÿ ïðèìåð 2 â ýòîé êíèãå áåðåòñÿ íå â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå, à âRn ,ëåãêîçàìåòèòü, ÷òî åäèíñòâåííîå ìåñòî, ãäå èñïîëüçóåòñÿ êîíå÷íîìåðíîñòü - ýòî â ññûëêå íàñîîòâåòñòâóþùóþ òåîðåìó; íå ëåêöèÿõ æå àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìà äîêàçûâàëàñü â ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ.4Èòåðàöèîííûå ìåòîäû (Çàäà÷è 16-17)16. Âûïèñàòü ÿâíîå âûðàæåíèå äëÿ øàãàìèçàöèè êâàäðàòè÷íîãî ôóíêöèîíàëàαk â ìåòîäå ñêîðåéøåãî ñïóñêà â çàäà÷èJ(u) = 12 hAu, ui − hf, ui, ãäå A = A∗ > 0.17. Íàéòè è èññëåäîâàòü íà íåâûðîæäåííîñòü âñå óãëîâûå òî÷êè ìíîæåñòâàR4 : u > 0, Au = b},U = {u ∈ãäåA=5ìèíè-111−1 3 13,b =1 21Ìåòîäû ñíÿòèÿ îãðàíè÷åíèé (Çàäà÷è 18-24)18.

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îòäåëèìîñòè òî÷êè îò íåïóïñòîãî ìíîæåñòâà âRn .Äîêàçàòåëüñòâî ñìîòðè âî âñå òîé æå êíèæêå ×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷,ãëàâà 4, Ÿ5. Èíòåðåñóþùèåñÿ âîïðîñîì ãëóáæå ìîãóò òàêæå ïîñìîòðåòüñëåäóþùóþ êíèãó: Ïîëîâèíêèí Å.Ñ., Áàëàøîâ Ì.Â., Ýëåìåíòû âûïóêëîãî è ñèëüíîâûïóêëîãî àíàëèçà, Ì.: Ôèçìàòëèò, 2007. Ñìîòðè ãëàâó 1, Ÿ1.9.A ∈ L(H → F ), H, F ãèëüáåðòîâû.H = Im A∗ ⊕ ker A.19. ÏóñòüÏîñêîëüêóÄîêàçàòü, ÷òî òîãäàF = Im A ⊕ ker A∗ ,Im A çàìêíóòîå ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî â F , òî ïî òåîðåìå Ëåâè, èçâåñò9F = Im A ⊕ (Im A)⊥ .

Èìååì:íîé íàì èç êóðñà ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà , èìååì:y ∈ (Im A)⊥ ⇐⇒ hy, Axi = 0 ∀x ∈ H ⇐⇒ hA∗ y, xi = 0 ∀x ∈ H ⇐⇒ A∗ y = 0,÷òî è îçíà÷àåò, ÷òîy ∈ ker A∗ .Âòîðîå ñîîòíîøåíèå âûòåêàåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâåA.9 Ñì.Êîëìîãîðîâ-Ôîìèí, Ãëàâà III, Ÿ4, Òåîðåìà 7.7(A∗ )∗ =n- ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî; îòîáðàæåíèå G(U ) : H → R äèôôåðåíöèðóån0Tìî ïî Ôðåøå è G (u) = [g1 (u), g2 (u), . . . , gn (u)] ∈ L(H → R ) - åãî ïåðâàÿ ïðîèçâîäíàÿ.0∗Äîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîð (G (u)) äåéñòâóåò ïî ïðàâèëó20. ÏóñòüH(G0 (u))∗ =nXλk gk0 (u), λ = [λ1 , . .

. , λn ]T ∈ Rn .k=1Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî, çàïèñûâàÿ îïåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé Ôðåøå,  0(g1 (u))(h)g1 (u + h) g2 (u + h)   (g20 (u))(h)   + o(khk),=......0(gn (u))(h)gn (u + h)gk ∈ L(H → R), ÷òî, ñ ó÷åòîì îòîæäåñòâëåíèÿ ïî Ðèññó, äàåògk0 (u) ∈ H . Òîãäà èìååì:ïîëó÷àåì, ÷òîhgk0 (u), hi ,0h(G (u))h, λi =nX*hgk0 (u), hi λk=nXk=1k=1÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.8(gk0 (u))(h) =+λk gk0 (u), h= h(G0 (u))∗ λ, hi ,.

Характеристики

Список файлов учебной работы